高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练解三角形 32页

考点14 解三角形 ‎【考点分类】‎ 热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】在中，，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】在△ABC中, 则 = ( ) (A) (B) (C) (D) ‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】在，内角所对的边长分别为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】的内角的对边分别是，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.【2013年全国高考新课标（I）文科】已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设的内角所对边的长分别为，若,则角=（ ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎8．（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则 ‎（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（2012年高考（陕西理））在中,角所对边长分别为,若,则 的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（2012年高考（湖北文））设的内角所对的边分别为,若三边的长为连续的三个正整数,且,,则为（　　）‎ A．4∶3∶2 B．5∶6∶‎7 ‎C．5∶4∶3 D．6∶5∶4‎ ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】如图，在中，已知点在边上，,, , 则的长为__ ___ . ‎ ‎12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）.‎ ‎13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】中，,是的中点，若，则________.‎ ‎14．（2012年高考（重庆文））设△的内角 的对边分别为,且,‎ 则____.‎ ‎15．（2012年高考（北京理））在△ABC中,若,,,则________.‎ ‎16．（2012年高考（湖北理））设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角_________.‎ ‎17.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】‎ 设的内角A、B、C的对边分别为.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若，求C.‎ ‎18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】‎ 在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A.‎ ‎(I)求cosA的值，‎ ‎(II)求c的值.‎ ‎19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】‎ ‎20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】在中，角的对边分别为，且 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影.‎ ‎21.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种 路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、‎ 乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，‎ 在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长 ‎1260 m ，经测量，，.‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】‎ 设的内角所对的边分别为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎24.【2013年全国高考新课标（I）理科】‎ 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.‎ ‎(1)若PB=，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.‎ A B C P ‎25.（2012年高考（安徽文））设的内角所对的边为,且有 ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(II) 若,,为的中点,求的长.‎ ‎26．（2012年高考（课标文））已知,,分别为三个内角,,的对边,.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若=2,的面积为,求,.‎ ‎27．（2012年高考（江苏））在中,已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ‎28．（2012年高考（大纲文））中,内角A.B.C成等差数列,其对边满足,求.‎ ‎29．（2012年高考（辽宁理））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.‎ 解：(1)由已知 ‎ ‎(2)解法一:,由正弦定理得 ‎ ‎【方法总结】‎ ‎(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．‎ ‎(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．‎ ‎(3)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．‎ 热点二、利用正余弦定理判断三角形形状 ‎30.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 （ ）‎ ‎ (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 ‎31.（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（　　）‎ A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.‎ ‎【方法总结】‎ 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：‎ ‎1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；‎ ‎2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ 热点三、利用正余弦定理求三角形面积 ‎32.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎33.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】在锐角△ABC中，内角的对边分别为， 且，‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小.‎ ‎（Ⅱ) 若，求△ABC的面积.‎ ‎34.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】‎ ‎△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值. ‎ ‎35.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】如图，在等腰直角 中，，，点在线段上.‎ ‎(Ⅰ) 若，求的长；‎ ‎（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值.‎ 因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．‎ ‎36.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】‎ 在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△的面积，，求的值.‎ ‎ ‎ ‎37.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】‎ 在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△的面积，，求的值.‎ ‎ ‎ ‎38.（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(Ⅰ)求证:成等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若,求△的面积S.‎ ‎39.（2012年高考（江西理））‎ 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ ‎40．（2012年高考（浙江理））在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.‎ ‎(Ⅰ)求tanC的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化；‎ ‎2．除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 ‎ ①S＝＝p·r(p是周长的一半，即p＝‎ ‎ ，r为内切圆半径)；②S＝(R为外接圆半径)．‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1．考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.[来源:学*科*网]‎ ‎2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．‎ ‎3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．‎ 二．命题方向 ‎1．利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．‎ ‎2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.‎ 三．规律总结 基础梳理 ‎1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：‎ ‎(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；‎ ‎(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．‎ ‎2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A ‎＝，cos B＝，cos C＝.‎ ‎3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.‎ ‎4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b[来源:学科网ZXXK]‎ a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.‎ 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．‎ 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：‎ ‎(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎1. 【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2. 【天津一中2012—2013学年高三数学一月考】在∆ABC中,A,B,C为内角,且,则∆ABC是 ‎ ‎( ) ‎ A.等腰三角形　 B.直角三角形 ‎ C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形　‎ ‎3. 【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】在ΔABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinBb B.a