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- 2021-05-13 发布
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2016年上海市春季高考数学试卷
一.填空题(本大题共12题,每题3分,共36分)
1.复数3+4i(i为虚数单位)的实部是 .
2.若log2(x+1)=3,则x= .
3.直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为 .
4.函数的定义域为 .
5.三阶行列式中,元素5的代数余子式的值为 .
6.函数的反函数的图象经过点(2,1),则实数a= .
7.在△ABC中,若A=30°,B=45°,,则AC= .
8.4个人排成一排照相,不同排列方式的种数为 (结果用数值表示).
9.无穷等比数列{an}的首项为2,公比为,则{an}的各项的和为 .
10.若2+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根,则a= .
11.函数y=x2﹣2x+1在区间[0,m]上的最小值为0,最大值为1,则实数m的取值范围是 .
12.在平面直角坐标系xOy中,点A,B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点,且满足,则的最小值为 .
二.选择题(本大题共12题,每题3分,共36分)
13.若sinα>0,且tanα<0,则角α的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.半径为1的球的表面积为( )
A.π B. C.2π D.4π
15.在(1+x)6的二项展开式中,x2项的系数为( )
A.2 B.6 C.15 D.20
16.幂函数y=x﹣2的大致图象是( )
A. B. C. D.
17.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为( )
A.1 B.2 C.(1,0) D.(0,2)
18.设直线l与平面α平行,直线m在平面α上,那么( )
A.直线l平行于直线m B.直线l与直线m异面
C.直线l与直线m没有公共点 D.直线l与直线m不垂直
19.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N*)的第(ii)步中,假设n=k时原等式成立,那么在n=k+1时需要证明的等式为( )
A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
20.关于双曲线与的焦距和渐近线,下列说法正确的是( )
A.焦距相等,渐近线相同 B.焦距相等,渐近线不相同
C.焦距不相等,渐近线相同 D.焦距不相等,渐近线不相同
21.设函数y=f(x)的定义域为R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
22.下列关于实数a,b的不等式中,不恒成立的是( )
A.a2+b2≥2ab B.a2+b2≥﹣2ab C. D.
23.设单位向量与既不平行也不垂直,对非零向量、有结论:
①若x1y2﹣x2y1=0,则;
②若x1x2+y1y2=0,则.
关于以上两个结论,正确的判断是( )
A.①成立,②不成立 B.①不成立,②成立
C.①成立,②成立 D.①不成立,②不成立
24.对于椭圆.若点(x0,y0)满足.则称该点在椭圆C(a,b)内,在平面直角坐标系中,若点A在过点(2,1)的任意椭圆C(a,b)内或椭圆C(a,b)上,则满足条件的点A构成的图形为( )
A.三角形及其内部 B.矩形及其内部
C.圆及其内部 D.椭圆及其内部
三.解答题(本大题共5题,共8+8+8+12+12=48分)
25.如图,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为,底面边长为3,求异面直线BC1与AC所成的角的大小.
26.已知函数,求f(x)的最小正周期及最大值,并指出f(x)取得最大值时x的值.
27.如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是24cm,灯深10cm,求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
28.已知数列{an}是公差为2的等差数列.
(1)a1,a3,a4成等比数列,求a1的值;
(2)设a1=﹣19,数列{an}的前n项和为Sn.数列{bn}满足,记(n∈N*),求数列{cn}的最小项(即对任意n∈N*成立).
29.对于函数f(x),g(x),记集合Df>g={x|f(x)>g(x)}.
(1)设f(x)=2|x|,g(x)=x+3,求Df>g;
(2)设f1(x)=x﹣1,,h(x)=0,如果.求实数a的取值范围.
二卷一.选择题:
30.若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则ϕ的一个值是( )
A.0 B. C.π D.2π
31.在复平面上,满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是( )
A.两个点 B.一条线段 C.两条直线 D.一个圆
32.已知函数y=f(x)的图象是折线ABCDE,如图,其中A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2),若直线y=kx+b与y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则k的取值范围是( )
A.(﹣1,0)∪(0,1) B. C.(0,1] D.
二.填空题:
33.椭圆的长半轴的长为 .
34.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30°,则该圆锥的侧面积为 .
35.小明用数列{an}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨,方法为:当第k天下过雨时,记ak=1,当第k天没下过雨时,记ak=﹣1(1≤k≤31),他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第k天有雨时,记bn=1,当预报第k天没有雨时,记bn=﹣1记录完毕后,小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25,那么该月气象台预报准确的总天数为 .
三.解答题:
36.对于数列{an}与{bn},若对数列{cn}的每一项cn,均有ck=ak或ck=bk,则称数列{cn}是{an}与{bn}的一个“并数列”.
(1)设数列{an}与{bn}的前三项分别为a1=1,a2=3,a3=5,b1=1,b2=2,b3=3,若{cn}是{an}与{bn}一个“并数列”求所有可能的有序数组(c1,c2,c3);
(2)已知数列{an},{cn}均为等差数列,{an}的公差为1,首项为正整数t;{cn}的前10项和为﹣30,前20项的和为﹣260,若存在唯一的数列{bn},使得{cn}是{an}与{bn}的一个“并数列”,求t的值所构成的集合.
2016年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题(本大题共12题,每题3分,共36分)
1.复数3+4i(i为虚数单位)的实部是 3 .
【考点】复数的基本概念.
【分析】根据复数的定义判断即可.
【解答】解:复数3+4i(i为虚数单位)的实部是3,
故答案为:3.
2.若log2(x+1)=3,则x= 7 .
【考点】对数的运算性质;函数的零点.
【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可.
【解答】解:log2(x+1)=3,可得x+1=8,解得x=7.
故答案为:7.
3.直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为 .
【考点】两直线的夹角与到角问题.
【分析】由题意可得直线的斜率,可得倾斜角,进而可得直线的夹角.
【解答】解:∵直线y=x﹣1的斜率为1,故倾斜角为,
又∵直线y=2的倾斜角为0,
故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为,
故答案为:.
4.函数的定义域为 [2,+∞) .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可.
【解答】解:由x﹣2≥0得,x≥2.
∴原函数的定义域为[2,+∞).
故答案为[2,+∞).
5.三阶行列式中,元素5的代数余子式的值为 8 .
【考点】高阶矩阵.
【分析】根据余子式的定义可知,在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号(﹣1)i+j,求出其表达式的值即可.
【解答】解:元素5的代数余子式为:(﹣1)1+3||=(4×2+1×0)=8.
∴元素5的代数余子式的值为8.
故答案为:8.
6.函数的反函数的图象经过点(2,1),则实数a= 1 .
【考点】反函数.
【分析】由于函数的反函数的图象经过点(2,1),可得函数的图象经过点(1,2),即可得出.
【解答】解:∵函数的反函数的图象经过点(2,1),
∴函数的图象经过点(1,2),
∴2=+a,解得a=1.
故答案为:1.
7.在△ABC中,若A=30°,B=45°,,则AC= .
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】利用正弦定理即可计算求解.
【解答】解:∵A=30°,B=45°,,
∴由正弦定理,可得:AC===2.
故答案为:2.
8.4个人排成一排照相,不同排列方式的种数为 24 (结果用数值表示).
【考点】计数原理的应用.
【分析】根据题意,由排列数公式直接计算即可.
【解答】解:4个人排成一排照相,不同排列方式的种数为A44=24种,
故答案为:24.
9.无穷等比数列{an}的首项为2,公比为,则{an}的各项的和为 3 .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】{an}的各项的和=,即可得出.
【解答】解:{an}的各项的和为: ==3.
故答案为:3.
10.若2+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根,则a= ﹣4 .
【考点】复数代数形式的混合运算.
【分析】2+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根,则2﹣i(i为虚数单位)也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根,再利用根与系数的关系即可得出.
【解答】解:∵2+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根,
∴2﹣i(i为虚数单位)也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根,
∴2+i+(2﹣i)=﹣a,
解得a=﹣4.
则a=﹣4.
故答案为:﹣4.
11.函数y=x2﹣2x+1在区间[0,m]上的最小值为0,最大值为1,则实数m的取值范围是 [1,2] .
【考点】二次函数在闭区间上的最值.
【分析】根据二次函数的性质得出,求解即可.
【解答】解:∵f(x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴对称轴x=1,
∴f(1)=0,
f(2)=1,f(0)=1,
∵f(x)=x2﹣2x+2在区间[0,m]上的最大值为1,最小值为0,
∴,
∴1≤m≤2,
故答案为:1≤m≤2.
12.在平面直角坐标系xOy中,点A,B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点,且满足,则的最小值为 4 .
【考点】直线与圆的位置关系;向量的三角形法则.
【分析】本题可利用AB中点M去研究,先通过坐标关系,将转化为,用根据AB=2,得到M点的轨迹,由图形的几何特征,求出模的最小值,得到本题答案.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x′,y′).
∵x′=,y′=,
∴=(x1+x2,y1+y2)=2,
∵圆C:x2+y2﹣6x+5=0,
∴(x﹣3)2+y2=4,圆心C(3,0),半径CA=2.
∵点A,B在圆C上,AB=2,
∴CA2﹣CM2=(AB)2,
即CM=1.
点M在以C为圆心,半径r=1的圆上.
∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2.
∴||≥2,∴≥4,
∴的最小值为4.
故答案为:4.
二.选择题(本大题共12题,每题3分,共36分)
13.若sinα>0,且tanα<0,则角α的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】象限角、轴线角.
【分析】由sinα>0,则角α的终边位于一二象限,由tanα<0,则角α的终边位于二四象限,两者结合即可解决问题.
【解答】解:∵sinα>0,则角α的终边位于一二象限,
∵由tanα<0,
∴角α的终边位于二四象限,
∴角α的终边位于第二象限.
故选择B.
14.半径为1的球的表面积为( )
A.π B. C.2π D.4π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】利用球的表面积公式S=4πR2解答即可求得答案.
【解答】解:半径为1的球的表面积为4π×12=4π,
故选:D.
15.在(1+x)6的二项展开式中,x2项的系数为( )
A.2 B.6 C.15 D.20
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可.
【解答】解:(1+x)6的二项展开式中,通项公式为:
Tr+1=•16﹣r•xr,
令r=2,得展开式中x2的系数为:
=15.
故选:C.
16.幂函数y=x﹣2的大致图象是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】利用负指数幂的定义转换函数,根据函数定义域,利用排除法得出选项.
【解答】解:幂函数y=x﹣2=,定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
可排除A,B;
值域为(0,+∞)可排除D,
故选:C.
17.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为( )
A.1 B.2 C.(1,0) D.(0,2)
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】求出,代入向量的投影公式计算.
【解答】解: =1, =1,||=,
∴向量在向量方向上的投影=1.
故选:A.
18.设直线l与平面α平行,直线m在平面α上,那么( )
A.直线l平行于直线m B.直线l与直线m异面
C.直线l与直线m没有公共点 D.直线l与直线m不垂直
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】由已知中直线l与平面α平行,直线m在平面α上,可得直线l与直线m异面或平行,进而得到答案.
【解答】解:∵直线l与平面α平行,直线m在平面α上,
∴直线l与直线m异面或平行,
即直线l与直线m没有公共点,
故选:C.
19.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n(n∈N*)的第(ii)步中,假设n=k时原等式成立,那么在n=k+1时需要证明的等式为( )
A.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
B.1+2+3+…+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
C.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)
D.1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)
【考点】数学归纳法.
【分析】由数学归纳法可知n=k时,1+2+3+…+2k=2k2+k,到n=k+1时,左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),从而可得答案.
【解答】解:∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时,
当n=1左边所得的项是1+2;
假设n=k时,命题成立,1+2+3+…+2k=2k2+k,
则当n=k+1时,左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1),
∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2(k+1),
∴1+2+3+…+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).
故选:D.
20.关于双曲线与的焦距和渐近线,下列说法正确的是( )
A.焦距相等,渐近线相同 B.焦距相等,渐近线不相同
C.焦距不相等,渐近线相同 D.焦距不相等,渐近线不相同
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】分别求得双曲线的焦点的位置,求得焦点坐标和渐近线方程,即可判断它们焦距相等,但渐近线不同.
【解答】解:双曲线的焦点在x轴上,
可得焦点为(±,0),即为(±2,0),
渐近线方程为y=±x;
的焦点在y轴上,
可得焦点为(0,±2),渐近线方程为y=±2x.
可得两双曲线具有相等的焦距,但渐近线不同.
故选:B.
21.设函数y=f(x)的定义域为R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】函数y=f(x)的定义域为R,若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0,反之不成立,例如f(x)=x2.即可判断出结论.
【解答】解:函数y=f(x)的定义域为R,若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0,反之不成立,例如f(x)=x2.
∴“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件.
故选:B.
22.下列关于实数a,b的不等式中,不恒成立的是( )
A.a2+b2≥2ab B.a2+b2≥﹣2ab C. D.
【考点】不等式的基本性质.
【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可.
【解答】解:对于A:a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0,故A恒成立;
对于B:a2+b2+2ab=(a+b)2≥0,故B恒成立;
对于C:﹣ab=≥0,故C恒成立;D不恒成立;
故选:D.
23.设单位向量与既不平行也不垂直,对非零向量、有结论:
①若x1y2﹣x2y1=0,则;
②若x1x2+y1y2=0,则.
关于以上两个结论,正确的判断是( )
A.①成立,②不成立 B.①不成立,②成立
C.①成立,②成立 D.①不成立,②不成立
【考点】向量的线性运算性质及几何意义.
【分析】①假设存在实数λ使得=,则=λ,由于向量与既不平行也不垂直,可得x1=λx2,y1=λy2,即可判断出结论.
②若x1x2+y1y2=0,则=()•=x1x2+y1y2+(x2y1+x1y2)=(x2y1+x1y2),无法得到=0,因此不一定正确.
【解答】解:①假设存在实数λ使得=,则=λ,∵向量与既不平行也不垂直,∴x1=λx2,y1=λy2,
满足x1y2﹣x2y1=0,因此.
②若x1x2+y1y2=0,
则=()•=x1x2+y1y2+(x2y1+x1y2)=(x2y1+x1y2),无法得到=0,因此不一定正确.
故选:A.
24.对于椭圆.若点(x0,y0)满足.则称该点在椭圆C(a,b)内,在平面直角坐标系中,若点A在过点(2,1)的任意椭圆C(a,b)内或椭圆C(a,b)上,则满足条件的点A构成的图形为( )
A.三角形及其内部 B.矩形及其内部
C.圆及其内部 D.椭圆及其内部
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】点A(x0,y0)在过点P(2,1)的任意椭圆C(a,b)内或椭圆C(a,b)上,可得=1, +≤1.由椭圆的对称性可知:点B(﹣2,1),点C(﹣2,﹣1),点D(2,﹣1),都在任意椭圆上,即可得出.
【解答】解:设点A(x0,y0)在过点P(2,1)的任意椭圆C(a,b)内或椭圆C(a,b)上,
则=1, +≤1.
∴+≤=1,
由椭圆的对称性可知:点B(﹣2,1),点C(﹣2,﹣1),点D(2,﹣1),都在任意椭圆上,
可知:满足条件的点A构成的图形为矩形PBCD及其内部.
故选:B.
三.解答题(本大题共5题,共8+8+8+12+12=48分)
25.如图,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为,底面边长为3,求异面直线BC1与AC所成的角的大小.
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高,由A1C1与AC平行,得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角,由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小.
【解答】解:∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为,底面边长为3,
∴,解得h=4,
∵A1C1与AC平行,∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角,
在△A1BC1中,A1C1=3,BC1=BA1=5,
∴cos∠BC1A1==.
∴∠BC1A1=arccos.
∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos.
26.已知函数,求f(x)的最小正周期及最大值,并指出f(x)取得最大值时x的值.
【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象.
【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性和最大值,得出结论.
【解答】解:∵,∴函数的周期为T=2π,
函数的最大值为2,且函数取得最大值时,x+=2kπ+,即x=2kπ+,k∈Z.
27.如图,汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是24cm,灯深10cm,求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px(p>0),点(10,12)代入抛物线方程求得p,进而求得,即灯泡与反光镜的顶点的距离.
【解答】解:建立平面直角坐标系,以O为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴,如图所示:
则:设抛物线方程为y2=2px(p>0),点(10,12)在抛物线y2=2px上,
∴144=2p×10.
∴=3.6.
∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm.
28.已知数列{an}是公差为2的等差数列.
(1)a1,a3,a4成等比数列,求a1的值;
(2)设a1=﹣19,数列{an}的前n项和为Sn.数列{bn}满足,记(n∈N*),求数列{cn}的最小项(即对任意n∈N*成立).
【考点】等差数列的前n项和;等比数列的通项公式.
【分析】(1)利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值.
(2)由已知利用累加法能求出bn=2﹣()n﹣1.从而能求出cn﹣cn﹣1=2n﹣19+2n,由此能求出数列{cn}的最小项.
【解答】解:(1)∵数列{an}是公差为2的等差数列.a1,a3,a4成等比数列,
∴.
解得d=2,a1=﹣8
(2)bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)
=1+
=
=2﹣()n﹣1.
,
,
=2n﹣19+2n
由题意n≥9,上式大于零,即c9<c10<…<cn,
进一步,2n+2n是关于n的增函数,
∵2×4+24=24>19,2×3+23=14<19,
∴c1>c2>c3>c4<c5<…<c9<c10<…<cn,
∴.
29.对于函数f(x),g(x),记集合Df>g={x|f(x)>g(x)}.
(1)设f(x)=2|x|,g(x)=x+3,求Df>g;
(2)设f1(x)=x﹣1,,h(x)=0,如果.求实数a的取值范围.
【考点】其他不等式的解法;集合的表示法.
【分析】(1)直接根据新定义解不等式即可,
(2)方法一:由题意可得则在R上恒成立,分类讨论,即可求出a的取值范围,
方法二:够造函数,求出函数的最值,即可求出a的取值范围.
【解答】解:(1)由2|x|>x+3,得Df>g={x|x<﹣1或x>3};
(2)方法一:,,
由,
则在R上恒成立,
令,a>﹣t2﹣t,,
∴a≥0时成立.
以下只讨论a<0的情况
对于,
=t>0,t2+t+a>0,解得t<或t>,(a<0)
又t>0,所以,
∴=
综上所述:
方法二(2),,
由a≥0.显然恒成立,
即x∈Ra<0时,,在x≤1上恒成立
令,,
所以,
综上所述:.
二卷一.选择题:
30.若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则ϕ的一个值是( )
A.0 B. C.π D.2π
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围,结合选项验证可得.
【解答】解:∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),即sin(﹣x+φ)=sin(x+φ),
∴(﹣x+φ)=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z,
当(﹣x+φ)=x+φ+2kπ时,可得x=﹣kπ,不满足函数定义;
当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时,φ=kπ+,k∈Z,
结合选项可得B为正确答案.
故选:B.
31.在复平面上,满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是( )
A.两个点 B.一条线段 C.两条直线 D.一个圆
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】设z=x+yi,得到|x+yi﹣1|==4,从而求出其运动轨迹.
【解答】解:设z=x+yi,
则|x+yi﹣1|==4,
∴(x﹣1)2+y2=16,
∴运动轨迹是圆,
故选:D.
32.已知函数y=f(x)的图象是折线ABCDE,如图,其中A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(4,1),E(5,2),若直线y=kx+b与y=f(x)的图象恰有四个不同的公共点,则k的取值范围是( )
A.(﹣1,0)∪(0,1) B. C.(0,1] D.
【考点】函数的图象.
【分析】根据图象使用特殊值验证,使用排除法得出答案.
【解答】解;当k=0,1<b<2时,显然直线y=b与f(x)图象交于四点,故k可以取0,排除A,C;
作直线BE,则kBE=,直线BE与f(x)图象交于三点,
平行移动直线BD可发现直线与f(x)图象最多交于三点,
即直线y=与f(x)图象最多交于三点,∴k≠.排除D.
故选B.
二.填空题:
33.椭圆的长半轴的长为 5 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用椭圆性质求解.
【解答】解:椭圆中,
a=5,
∴椭圆的长半轴长a=5.
故答案为:5.
34.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30°,则该圆锥的侧面积为 50π .
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径,代入侧面积公式计算.
【解答】解:∵圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30°,
∴圆锥的底面半径为5,
∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π.
故答案为:50π.
35.小明用数列{an}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨,方法为:当第k天下过雨时,记ak=1,当第k天没下过雨时,记ak=﹣1(1≤k≤31),他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第k天有雨时,记bn=1,当预报第k天没有雨时,记bn=﹣1记录完毕后,小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25,那么该月气象台预报准确的总天数为 28 .
【考点】数列的应用.
【分析】由题意,气象台预报准确时akbk=1,不准确时akbk=﹣1,根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3,即可得出结论.
【解答】解:由题意,气象台预报准确时akbk=1,不准确时akbk=﹣1,
∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3,
∴该月气象台预报准确的总天数为28.
故答案为:28.
三.解答题:
36.对于数列{an}与{bn},若对数列{cn}的每一项cn,均有ck=ak或ck=bk,则称数列{cn}是{an}与{bn}的一个“并数列”.
(1)设数列{an}与{bn}的前三项分别为a1=1,a2=3,a3=5,b1=1,b2=2,b3=3,若{cn}是{an}与{bn}一个“并数列”求所有可能的有序数组(c1,c2,c3);
(2)已知数列{an},{cn}均为等差数列,{an}的公差为1,首项为正整数t;{cn}的前10项和为﹣30,前20项的和为﹣260,若存在唯一的数列{bn},使得{cn}是{an}与{bn}的一个“并数列”,求t的值所构成的集合.
【考点】数列的求和;数列的应用.
【分析】(1)利用“并数列”的定义即可得出.
(2)利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an,公差d,cn,通过分类讨论即可得出.
【解答】解:(1)(1,2,3),(1,2,5),(1,3,3),(1,3,5);
(2)an=t+n﹣1,
设{cn}的前10项和为Tn,T10=﹣30,T20=﹣260,得d=﹣2,c1=6,所以cn=8﹣2n;ck=ak或ck=bk.,
∴k=1,t=6;或k=2,t=3,
所以k≥3.k∈N*时,ck=bk,
∵数列{bn}唯一,所以只要b1,b2唯一确定即可.
显然,t=6,或t=3时,b1,b2不唯一,
.
2016年7月25日
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