高考理科数学集合汇编 135页

普通高等学校招生全国统一考试 ‎[理科数学]‎ 目录 全国卷I 3‎ 全国卷II 10‎ 全国卷III 16‎ 北京卷 22‎ 江苏卷 27‎ 四川卷 34‎ 天津卷 39‎ 山东卷 45‎ 参考答案 51‎ 绝密★启封并使用完毕前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学I 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ ‎ 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设集合，，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（2）设，其中x，y是实数，则 ‎（A）1（B）（C）（D）2‎ ‎（3）已知等差数列前9项的和为27，，则 ‎（A）100（B）99（C）98（D）97‎ ‎（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎（A）1/3 （B）1/2 （C）2/3 （D）3/4‎ ‎（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 ‎（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,)‎ ‎（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 ‎（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π ‎（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎（8）若，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（9）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x，y的值满足 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为 ‎(A)(B) (C) (D)‎ ‎（12）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.‎ ‎(14)的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）‎ ‎（15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为。‎ ‎（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本题满分为12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知 ‎（I）求C；‎ ‎（II）若的面积为，求的周长．‎ ‎（18）（本题满分为12分）‎ 如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．‎ ‎（I）证明平面ABEFEFDC；‎ ‎（II）求二面角E-BC-A的余弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求的分布列；‎ ‎（II）若要求，确定的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎（20） （本小题满分12分）‎ 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，学科&网过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个零点.‎ ‎(I)求a的取值范围；‎ ‎(II)设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.‎ ‎(I)证明：直线AB与O相切；‎ ‎(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.‎ ‎（I）说明C1是哪种曲线，学.科.网并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。‎ ‎（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.‎ ‎（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；‎ ‎（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学II 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ ‎ 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（2）已知集合，，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（3）已知向量，且，则m=‎ ‎（A）－8（B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=‎ ‎（A）（B）（C）（D）2‎ ‎（5）如图，小明从街道的 E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π ‎（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为 ‎（A）x=– (k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) ‎ ‎（C）x=– (k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)‎ ‎（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=‎ ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ ‎（9）若cos(–α)=，则sin 2α=‎ ‎（A） （B） （C）– （D）– ‎（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，学科&网，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知F1，F2是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin,则E的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为则 ‎（A）0 （B）m （C）2m （D）4m 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=.‎ ‎(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.   ‎ ‎（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）‎ ‎（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，学.科网乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。‎ （16） 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=。‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求数列的前1 000项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某险种的基本保费为a ‎（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0. 05‎ ‎（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ ‎（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.   ‎ ‎（I）证明：平面ABCD；‎ ‎（II）求二面角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（I）当t=4，时，求△AMN的面积；‎ ‎（II）当时，求k的取值范围.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎(I)讨论函数的单调性，并证明当>0时，‎ ‎(II)证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲 如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.‎ ‎(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；‎ ‎(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.    ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.‎ ‎（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。‎ ‎（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.‎ ‎（I）求M；‎ ‎（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。‎ 绝密★启封并使用完毕前 ‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学III 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ ‎ 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设集合S=，则ST=‎ ‎(A) [2，3] (B)（-，2][3,+）‎ ‎(C)[3,+） (D)（0，2][3,+）‎ ‎（2）若z=1+2i，则 ‎(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i ‎（3）已知向量,则ABC=‎ ‎(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200‎ ‎（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是 ‎(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 ‎(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎ ‎(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 ‎ ‎(D) 平均气温高于200C的月份有5个 ‎（5）若，则 ‎(A) (B) (C) 1 (D)‎ ‎（6）已知，，，则 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=‎ ‎（A）3‎ ‎（B）4‎ ‎（C）5‎ ‎（D）6‎ ‎（8）在中，，BC边上的高等于,则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎ (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）90‎ ‎（D）81‎ ‎(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是 ‎（A）4π （B） （C）6π （D）‎ ‎（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，学科&网A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎（13）若x，y满足约束条件 则z=x+y的最大值为_____________.‎ ‎（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。‎ ‎（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。‎ ‎（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则__________________.‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项和，，其中0‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式 ‎（II）若 ，求 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 ‎（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明 ‎（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD 上一点，AM=2MD，N为PC的中点.‎ ‎（I）证明MN∥平面PAB;‎ ‎（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：的焦点为F，学科&网平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记的最大值为A.‎ ‎（Ⅰ）求f＇（x）；‎ ‎（Ⅱ）求A；‎ ‎（Ⅲ）证明≤2A.‎ 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.‎ ‎（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4‎ ‎：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；学.科网 ‎（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5‎ ‎：不等式选讲 已知函数 ‎（I）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围. ‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）已知集合A=B=，则 ‎ （A） （B） ‎（C） （D） ‎（2）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为 ‎（A）0 （B）3‎ ‎（C）4 （D）5‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为 ‎（A）1 ‎ ‎（B）2‎ ‎（C）3 ‎ ‎（D）4‎ ‎（4）设a,b是向量，则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的 ‎（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知x,yR,且xyo，则 ‎（A）- （B） ‎（C） (-0 （D）lnx+lny ‎(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A） ‎（B） ‎（C） ‎（D）1‎ ‎(7)将函数图像上的点P（ ，t）向左平移s（s﹥0） 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数的图像上，则 ‎（A）t= ，s的最小值为 （B）t= ，s的最小值为 ‎（C）t= ，s的最小值为 （D）t= ，s的最小值为 ‎（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ‎（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 ‎ ‎（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ ‎（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 ‎ ‎（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题　共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。‎ ‎（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，‎ ‎ 则 =____________________.‎ ‎（12）已知为等差数列，为其前n项和，若 ，，则.‎ ‎（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.‎ ‎（14）设函数 ①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；‎ ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。‎ 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在ABC中，‎ ‎（I）求的大小 ‎（II）求的最大值 ‎（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（I） 试估计C班的学生人数；‎ ‎（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和的大小，（结论不要求证明）‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=,‎ ‎（I）求证：PD平面PAB;‎ ‎（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由。‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 设函数f(x)=xe+bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，‎ ‎（I）求a,b的值；‎ ‎ (I I) 求f(x)的单调区间。‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。‎ 求证：lANllBMl为定值。‎ ‎（20）（本小题13分）‎ ‎ 设数列A：，,…(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ＜，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。‎ ‎（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；‎ ‎(I I)证明：若数列A中存在使得>，则G（A）；‎ ‎(I I I）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于 ‎-。‎ 数学Ⅰ试题（江苏卷）‎ 参考公式 圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.‎ 圆锥的体积公式：Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.‎ 一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.已知集合 则________________. ‎ ‎2.复数 其中i为虚数单位，则z的实部是________________. ‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是_______________. ‎ ‎4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________. ‎ ‎5.函数y= 的定义域是.‎ ‎6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是.‎ ‎7.‎ 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于 ‎10的概率是.‎ ‎8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是.‎ ‎9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 的右焦点，直线 ‎ 与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 ▲ .‎ ‎(第10题)‎ ‎11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上， 其中 ‎ 若 ，则f（5a）的值是.‎ ‎12. 已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是.‎ ‎13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则 的值是. ‎ ‎14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是. ‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在中，AC=6，‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的四倍.‎ (1) 若则仓库的容积是多少？‎ (2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)‎ (1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；‎ (2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；‎ (3) 设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ （1） 设a=2,b=.‎ ① 求方程=2的根;‎ ‎②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ (1) 求数列的通项公式；‎ (2) 对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，‎ 请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．‎ 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）‎ 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.‎ B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）‎ 已知矩阵 矩阵B的逆矩阵 ，求矩阵AB.‎ C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ D.设a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求证：|2x+y-4|＜a.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).‎ ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）设m，nN*，n≥m，求证： ‎ ‎（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（四川卷）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，Z为整数集，则中元素的个数是 ‎（A）3（B）4（C）5（D）6‎ ‎2.设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为 ‎（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4‎ ‎3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 ‎（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度 ‎4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24（B）48（C）60（D）72‎ ‎5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ‎（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）‎ ‎（ A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年 ‎6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 ‎（A）9 （B）18 ‎ ‎（C）20 （D）35‎ ‎7.设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的 ‎（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为 ‎（A）（B）（C）（D）1‎ ‎9.设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 ‎（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)‎ ‎10.在平面内，定点A，B，C，D满足==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎11.cos2–sin2=.‎ ‎12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.‎ ‎13.已知三棱镜的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。‎ 14. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=，则f（-2.5）+ f（1）=。‎ ‎15．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；‎ 当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：‎ ①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；‎ ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.‎ 其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，.‎ ‎（I）若成等差数列，求an的通项公式；‎ ‎(ii)设双曲线的离心率为，且，证明：.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.‎ ‎（I）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（II）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。‎ 绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工类）(天津卷)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎•如果事件，互斥，那么 •如果事件，相互独立，那么 ‎. .‎ ‎•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式.‎ 其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，‎ 表示圆柱的高.表示圆锥的高.‎ 一. ‎ 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科.网 ‎（1）已知集合，，则 ‎ （A） （B）　 ‎ ‎（C） （D）‎ ‎≤‎ ‎≥‎ ‎≥‎ ‎（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ （3） 在中，若，，，‎ 则 （A） ‎ （B）‎ ‎（C） （D）‎ （4） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为 （A） ‎ （B）‎ ‎（C） （D）‎ （5） 设是首项为正数的等比数列，公比为，则 ‎“”是“对任意的正整数，”的 （A） 充要条件　　 ‎ ‎（B）充分而不必要条件 ‎（C）必要而不充分条件　 　‎ ‎（第4题图）‎ ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，学科&网四边形的面积为，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） （C）（D）‎ （7） 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接 并延长到点，使得，则的值为 （A） ‎（B） （C） （D）‎ ‎≥‎ ‎（8）已知函数（，学.科网且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 （A） ‎ （B）‎ ‎（C）{} （D）{} ‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. ‎ ‎2. 本卷共12小题, 共 ‎110分.‎ 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.‎ ‎（9）已知，R，是虚数单位，若，则的值为_____________.‎ ‎（10）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答）‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（第11题图）‎ ‎（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：），学科.网则该四棱锥的体积 为_____________.‎ （12） 如图，是圆的直径，弦与相交于点，‎ ‎，，则线段的长 为_____________.‎ （13） 已知是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数满足，‎ 则的取值范围是_____________.‎ ‎（第14题图）‎ （14） 设抛物线（为参数，）的焦 点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为 ‎.设，与相交于点.若，‎ 且的面积为，则的值为_____________.‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.‎ （16） ‎（本小题满分13分）‎ 某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分 别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.‎ ‎（Ⅰ）设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列 和数学期望.‎ （16） ‎（本小题满分13分）‎ 如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为线段上的点，且，‎ 求直线和平面所成角的正弦值.‎ （17） ‎（本小题满分13分）‎ 已知是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为.对任意的，是和的等比中项.‎ ‎（Ⅰ）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，，，求证.‎ （16） ‎（本小题满分14分）‎ 设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，‎ 其中为原点，为椭圆的离心率. 学.科.网 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范 围.‎ （17） ‎（本小题满分14分）‎ 设函数，R，其中，R.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于 绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(山东卷)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。‎ ‎ 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。‎ ‎ 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ‎（1）若复数z满足其中i为虚数单位，则z=‎ ‎（A）1+2i （B）12i （C） （D）‎ ‎（2）设集合则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ‎（A）56 （B）60 ‎ ‎（C）120 （D）140‎ ‎（4）若变量x，y满足x+y≤2‎ ‎2x-3y≤9‎ x≥0‎ 则的最大值是 ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“‎ 直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 ‎（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎（7）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx –sinx）的最小正周期是 ‎（A）（B）π （C）（D）2π ‎（8）已知非零向量m，n 满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为 ‎（A）4 （B）–4 （C）（D）–‎ ‎（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，‎ ‎；当时， .则f(6)=‎ ‎（A）−2（B）−1（C）0（D）2‎ ‎（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ‎（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3‎ 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.‎ ‎ (12)若（ax2+）3的展开式中x3的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎（13）已知双曲线E1：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.‎ ‎（14）在 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .‎ ‎（15）已知函数其中，学.科网若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.‎ 三、解答题：本答题共6小题，共75分。‎ ‎（16）（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎17.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.‎ ‎（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；‎ ‎（II）已知EF=FB=AC=AB=BC.求二面角的余弦值.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）另求数列的前n项和Tn.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX ‎(20)(本小题满分13分)‎ 已知.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当时，证明对于任意的成立 ‎（21）本小题满分14分） 平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点。 （I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，学科&网直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎（i）求证：点M在定直线上;‎ ‎（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ 参考答案 全国卷I 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A ‎（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎ (13) (14)10‎ ‎（15）64 （16）‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分为12分）‎ 解：（I）由已知及正弦定理得，，‎ 即．‎ 故．‎ 可得，所以．‎ ‎（II）由已知，．‎ 又，所以．‎ 由已知及余弦定理得，．‎ 故，从而．‎ 所以的周长为．‎ ‎（18）（本小题满分为12分）‎ 解：（I）由已知可得，，所以平面．‎ 又平面，故平面平面．‎ ‎（II）过作，垂足为，由（I）知平面．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，‎ 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．‎ 由已知，，所以平面．‎ 又平面平面，故，．‎ 由，可得平面，所以为二面角的平面角，‎ ‎．从而可得．‎ 所以，，，．‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 所以可取．‎ 设是平面的法向量，则，‎ 同理可取．则．‎ 故二面角的余弦值为．学科&网 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19.‎ ‎（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.‎ 当时，‎ ‎.学科&网 当时，‎ ‎.‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为，，故，‎ 所以，故.‎ 又圆的标准方程为，从而，所以.‎ 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：‎ ‎（）.‎ ‎（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.‎ 由得.‎ 则，.‎ 所以.‎ 过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 ‎.故四边形的面积 ‎.学科&网 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.‎ 综上，四边形面积的取值范围为.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）．‎ ‎（i）设，则，只有一个零点．‎ ‎（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，，取满足且，则 ‎，‎ 故存在两个零点．‎ ‎（iii）设，由得或．‎ 若，则，故当时，，因此在 上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．学科&网 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即．‎ 由于，而，所以 ‎．‎ 设，则．‎ 所以当时，，而，故当时，．‎ 从而，故．‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设是的中点，连结，‎ 因为，所以，．‎ 在中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙相切．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线．‎ 由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以．‎ 同理可证，．所以．‎ ‎（23）（本小题满分10分）‎ 解：⑴ （均为参数）‎ ‎∴ ①‎ ‎∴为以 为圆心，为半径的圆．方程为 ‎∵‎ ‎∴ 即为的极坐标方程 ‎⑵ ‎ 两边同乘得 即 ②‎ ‎：化为普通方程为 由题意：‎ 和的公共方程所在直线即为 ‎①—②得：，即为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（24）（本小题满分10分）‎ 解：⑴ 如图所示：‎ ‎⑵ ‎ 当，，解得或 当，‎ ‎，解得或 或 当，，解得或 或 综上，或或 ‎，解集为 全国卷II 第Ⅰ卷 一.选择题：‎ ‎（1）A（2）C（3）D（4）A（5）B（6）C ‎（7）B（8）C（9）D（10）C（11）A（12）C 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎(13)(14) ②③④（15）1和3（16）‎ 三.解答题 ‎17.（本题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）1893.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，学.科.网再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，学.科.网解得 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 考点：等差数列的的性质，前项和公式，学.科网对数的运算.‎ ‎【结束】‎ ‎18.（本题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，学.科网求的分布列为，在根据期望公式求解..‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 试题解析：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 ‎（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故 又，故 因此所求概率为 ‎ （Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.‎ ‎【结束】‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.‎ 试题解析：（I）由已知得，，又由得，故.‎ 因此，从而.由,得.‎ 由得.学.科网所以，.‎ 于是，，‎ 故.‎ 又，而，‎ 所以.‎ ‎（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，学.科网建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.‎ 考点：线面垂直的判定、二面角.‎ ‎【结束】‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.‎ 试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.‎ 将代入得.解得或，学.科网所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（II）由题意，，.‎ 将直线的方程代入得.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得，‎ 由得，学科&网即.‎ 当时上式不成立，‎ 因此.等价于，‎ 即.由此得，或，解得.‎ 因此的取值范围是.‎ 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【结束】‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，学科&网当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，‎ 所以 ‎（II）‎ 由（I）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是，由单调递增 所以，由得 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有，的值域是 考点：函数的单调性、极值与最值.‎ ‎【结束】‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.‎ 试题解析：（I）学科&网因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆.‎ ‎（II）由四点共圆，知，连结，‎ 由为斜边的中点，知,故 因此四边形的面积是面积的2倍，即 考点：三角形相似、全等，四点共圆 ‎【结束】‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用，可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．‎ 试题解析：（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，学科&网直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.‎ ‎【结束】‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．‎ 试题解析：（I）‎ 当时，学科&网由得解得；‎ 当时，；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（II）由（I）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 考点：绝对值不等式，不等式的证明.‎ ‎【结束】‎ 全国卷III 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B ‎ ‎ （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C 第II卷 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎（13）（14）（15）（16）4‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得，故，，.‎ 由，得，即.由，得，所以.‎ 因此是首项为，公比为的等比数列，学科.网于是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，‎ 解得．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.‎ ‎（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，‎ ‎.‎ 所以，关于的回归方程为：.‎ 将2016年对应的代入回归方程得：.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ‎ 又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，学科.网由题意知，‎ ‎，，，，‎ ‎，，.‎ 设为平面的法向量，则，即，可取，‎ 于是.‎ ‎（20）解：由题设.设，则，且 ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. .....3分 ‎（Ⅰ）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则 ‎.‎ 所以. ......5分 ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 因此，． ………4分 当时，将变形为．‎ 令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．‎ 令，解得（舍去），．‎ ‎（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．‎ ‎（ⅱ）当时，由，知．‎ 又，所以．‎ 综上，．　　　………9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得.‎ 当时，.‎ 当时，，所以.‎ 当时，，所以.‎ 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连结，则.‎ 因为，所以，又，所以.‎ 又，所以，因此.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修 ‎4-4：坐标系与参数方程学.科.网 解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，‎ 即为到的距离的最小值，. ‎ ‎………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 ‎24.‎ ‎（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式，得.‎ 因此，的解集为. ………………5分 ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ① ……7分 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是. ………………10分 北京卷 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）C （3）B （4）D ‎（5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10）（11) （12）‎ ‎（13） （14）‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得.‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ ‎,‎ 因为，所以当时，取得最大值.‎ ‎（16）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为.‎ ‎（Ⅱ）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，，‎ 事件为“乙是现有样本中班的第个人”，，‎ 由题意可知，，；，.‎ ‎,,.‎ 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，‎ 因此 ‎（Ⅲ）.‎ ‎（17）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为平面平面，，‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得，‎ ‎.‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.‎ 因此点.‎ 因为平面，所以平面当且仅当，‎ 即，解得.‎ 所以在棱上存在点使得平面，此时.‎ ‎（18）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以.‎ 依题设，即 解得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 由即知，与同号.‎ 令，则.‎ 所以，当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，，故的单调递增区间为.‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）的元素为和.‎ ‎（Ⅱ）因为存在使得，所以.‎ 记，‎ 则，且对任意正整数.‎ 因此，从而.‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立.‎ 以下设.‎ 由（Ⅱ）知.‎ 设，记.‎ 则.‎ 对，记.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ 从而对任意，，特别地，.‎ 对.‎ 因此.‎ 所以.‎ 因此的元素个数不小于.‎ 江苏卷 参考答案 ‎1.2.53.4.0.15.6.97.8.20.9.7.‎ ‎10.11.12.13.14.8.‎ ‎15.解（1）因为所以 由正弦定理知，所以 ‎（2）在三角形ABC中，所以 于是 又，故 因为，所以 因此 ‎16.证明：（1）在直三棱柱中，‎ 在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.‎ 所以，于是 又因为DE平面平面 所以直线DE//平面 ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以 又因为 所以平面 因为平面，所以 又因为 所以 因为直线，所以 ‎17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.‎ 解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.‎ 因为A1B1=AB=6，‎ 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.‎ ‎(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则00.85，‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，‎ 所以2.5≤x<3．‎ 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，‎ 解得x=2.9．‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．‎ 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．‎ 代入+=中，有 ‎+=，变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．‎ 在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，‎ 所以sin Asin B=sin C．‎ ‎（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有 cos A==．‎ 所以sin A==．‎ 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，‎ 所以sin B=cos B+sin B，‎ 故tan B==4．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.‎ 延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 由已知，BC∥ED，且BC=ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形. ‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB平面PBE，CM平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 从而CD⊥PD.‎ 所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.‎ 所以PDA=45°.‎ 设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.‎ 易知PA⊥平面ABCD，‎ 从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.‎ 所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.‎ 所以APH是PA与平面PCE所成的角.‎ 在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，‎ 所以AH=.‎ 在Rt△PAH中，PH==，‎ 所以sinAPH==.‎ 方法二：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 于是CD⊥PD.‎ 从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.‎ 所以PDA=45°.‎ 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.‎ 设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，以,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，‎ 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）‎ 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，‎ 由得设x=2，解得n=(2,-2,1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα==.‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.‎ 又由得到，故对所有 都成立.‎ 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.‎ 从而.‎ 由成等比数列，可得 ‎，即，则，‎ 由已知,，故 .‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线 的离心率 .‎ 由解得.‎ 因为，所以.‎ 于是，‎ 故.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎（I）由已知，，则椭圆E的方程为.‎ 有方程组 得.①‎ 方程①的判别式为，由，得，‎ 此方程①的解为，‎ 所以椭圆E的方程为.‎ 点T坐标为（2,1）.‎ ‎（II）由已知可设直线的方程为，‎ 有方程组 可得 所以P点坐标为（），.‎ 设点A，B的坐标分别为.‎ 由方程组 可得.②‎ 方程②的判别式为，由，解得.‎ 由②得.‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数，使得.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎（I）‎ ‎<0，在内单调递减.‎ 由=0，有.‎ 此时，当时，<0，单调递减；‎ 当时，>0，单调递增.‎ ‎（II）令=，=.‎ 则=.‎ 而当时，>0，‎ 所以在区间内单调递增.‎ 又由=0，有>0，‎ 从而当时，>0.‎ 当，时，=.‎ 故当>在区间内恒成立时，必有.‎ 当时，>1.‎ 由（I）有,从而，‎ 所以此时>在区间内不恒成立.‎ 当时，令，‎ 当时，，‎ 因此，在区间单调递增.‎ 又因为，所以当时， ‎ ‎，即 恒成立.‎ 综上，‎ 天津卷 一、选择题：‎ ‎（1）D（2）B（3）A（4）B（5）C（6）D（7）B（8）C 二、填空题：‎ ‎（9）2（10）（11）2（12）（13） (14) ‎ 三、解答题 ‎（15）‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增, 学科&网在区间上单调递减.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性 试题解析：解：的定义域为.‎ ‎.‎ 所以,的最小正周期 解：令函数的单调递增区间是 由,得 ‎ 设，易知.‎ 所以,当学.科网时, 在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 ‎【结束】‎ ‎ (16) ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望 试题解析：解：由已知，有 所以，事件发生的概率为.‎ 随机变量的所有可能取值为 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量分布列为 随机变量的数学期望.‎ 考点：概率，概率分布与数学期望 ‎【结束】‎ ‎ (17)‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.‎ ‎（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.‎ ‎（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.‎ 因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.‎ ‎（III）解：由，学.科网得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.‎ 考点：利用空间向量解决立体几何问题 ‎【结束】‎ ‎(18)‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.‎ 试题解析：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.‎ ‎（II）证明：‎ 所以.‎ 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 ‎【结束】‎ ‎（19）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：‎ ‎，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.‎ 解得，或，由题意得，从而.‎ 由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ 考点：学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 ‎【结束】‎ ‎（20）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.‎ ‎（2）当时，令，解得，或.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，‎ 进而.‎ 又 ‎，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；‎ ‎（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：‎ ‎（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此 ‎，所以.‎ ‎（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此 ‎.‎ ‎（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，‎ ‎，，‎ 学.科网所以在区间上的取值范围为，因此 ‎.‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.‎ 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 ‎【结束】‎ 山东卷 一、选择题 ‎（1）B（2）C（3）D（4）C（5）C（6）A（7）B（8）B（9）D（10）A 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎（11）3（12）-2（13）2（14）（15）‎ 三、解答题 ‎（16）‎ 解析：由题意知，‎ 化简得，‎ 即.‎ 因为,‎ 所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理得.‎ 由知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 的最小值为.‎ 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.‎ ‎（17）‎ ‎（I）证明：设的中点为,连接,‎ 在,因为是的中点，所以 又所以 在中，因为是的中点，所以，‎ 又,所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（II）解法一：‎ 连接,则平面，‎ 又且是圆的直径，所以 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意得，，过点作于点，‎ 所以 可得 故.‎ 设是平面的一个法向量.‎ 由 可得 可得平面的一个法向量 因为平面的一个法向量 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 解法二：‎ 连接，过点作于点，‎ 则有,‎ 又平面，‎ 所以FM⊥平面ABC,‎ 可得 过点作于点，连接，‎ 可得,‎ 从而为二面角的平面角.‎ 又,是圆的直径，‎ 所以 从而，可得 所以二面角的余弦值为.‎ 考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 ‎（18）‎ ‎（Ⅰ）由题意知当时，，‎ 当时，，‎ 所以.‎ 设数列的公差为，‎ 由，即，可解得，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得 所以 考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 ‎（19）‎ ‎(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，‎ 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，‎ 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意，‎ 由事件的独立性与互斥性，‎ ‎,‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎ (Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望.‎ 考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望 ‎ (20)‎ ‎（Ⅰ）的定义域为；‎ ‎.‎ 当，时，，单调递增；‎ ‎，单调递减.‎ 当时，.‎ ‎（1），，‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ ‎（2）时，，在内，，单调递增；‎ ‎（3）时，，‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 综上所述，‎ 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；‎ 当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；‎ 当时，在内单调递增；‎ 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，‎ ‎，，‎ 令，.‎ 则，‎ 由可得，当且仅当时取得等号.‎ 又，‎ 设，则在单调递减，‎ 因为，‎ 所以在上存在使得 时，时，，‎ 所以函数在上单调递增；在上单调递减，‎ 由于，因此，当且仅当取得等号，‎ 所以，‎ 即对于任意的恒成立。‎ 考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.‎ ‎（21）‎ ‎（Ⅰ）由题意知，可得：.‎ 因为抛物线的焦点为，所以，‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）（i）设，由可得，‎ 所以直线的斜率为，‎ 因此直线的方程为，即.‎ 设，联立方程 得，‎ 由 ‎，得且，‎ 因此,‎ 将其代入得，‎ 因为，所以直线方程为.‎ 联立方程，得点的纵坐标为，‎ 即点在定直线上.‎ ‎（ii）由（i）知直线方程为，‎ 令得，所以，‎ 又，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 当，即时，取得最大值，此时，满足，‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.‎ 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.‎