备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题01 利用数轴解决集合运算问题 9页

专题01 利用数轴解决集合运算问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算.‎ ‎1、集合运算在数轴中的体现：‎ ‎ 在数轴上表示为表示区域的公共部分.‎ ‎ 在数轴上表示为表示区域的总和.‎ ‎ 在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）.‎ ‎2、问题处理时的方法与技巧：‎ ‎（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.‎ ‎（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.‎ ‎（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.‎ ‎（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可.‎ ‎3、作图时要注意的问题：‎ ‎（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.‎ ‎（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可得，则，即，所以，结合数轴得 ‎，，故选A.‎ 9‎ 例2【2019届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合， ，全集，若，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,结合数轴得,故选C.‎ 例3【2019届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数，集合， ，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由题得，因为，所以通过画数轴分析得到，（注意一定要取等），故选B.‎ ‎【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点；‎ ‎（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合；‎ ‎（3）注意考虑端点处是否可以重合.‎ 例4【2019届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合， ，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 例5.已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ 9‎ ‎【解析】思路：任取，则取到值域中的每一个元素，依题意，存在使得，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围 解：时， 时，‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ 答案：.‎ 例6.已知集合，若，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围.从而确定出的值， ，所以.‎ 例7. 已知集合，若，则实数的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ 9‎ ‎【解析】先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两端点的位置，进而求出的范围 ‎ ‎ 且 ‎.‎ 例8：在上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先将变为传统不等式：，不等式含有参数，考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为，因为，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当时，则；当时，根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可 解： ‎ 9‎ 设解集为 ‎ 当时，则 当时：‎ 若时，‎ ‎ ‎ 若时，‎ ‎ ‎ 综上所述：‎ 答案：D. ‎ ‎【精选精练】‎ ‎1【2017北京，理1】若集合A={x|–23}，则AB=‎ ‎（A）{x|–2