全国各地高考数学试题汇编 数列的应用1 15页

数列的应用题组一 一、选择题 ‎1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ 等比数列首项与公比分别是复数是虚数单位的实部与虚部，则数列的前项的和为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算。‎ ‎【解析】该等比数列的首项是，公比是，故其前项之和是。‎ ‎【考点】数列、复数 ‎【点评】本题把等比数列和复数交汇，注意等比数列的求和公式是分公比等于和不等于两种情况，在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决。‎ ‎2．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（文科）设是等比数列的前项和，，则等于　　　　　　 （　　）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案 B ‎3．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）‎ 已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （　　）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 答案 B ‎4.（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）已知等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为( )‎ ‎ 25 50 100 不存在 答案 A.‎ ‎5．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）‎ 设若的最小值为 （ ）‎ ‎ A．4 B．8 ‎ ‎ C．1 D ．‎ 答案 A.‎ ‎6. （浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）已知函数的定义域为，当时，，‎ 且对任意的实数，等式成立，‎ 若数列满足，且，则的值为（ ）‎ ‎ （A）4017 （B）4018 （C）4019 （D）4021‎ 答案 D.‎ 二、填空题 ‎7．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）已知数列1, a1, a2, a3 , a4 ,4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则_______． ‎ 答案 ‎ ‎8. （河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ．‎ 答案 2.n2‎ ‎9．（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）数列的前项和为，且数列的各项按如下规则排列：‎ 则＝ ，若存在正整数，使则 ．‎ 答案 、 20.‎ ‎10．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）‎ 在且成等差数列。则的范围是 ‎ 答案 .‎ ‎11．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且 ，，成等比数列.给出下列结论：①第2列中的，，必成等比数列；②第１列中的、、不一定成等比数列；③；④若这9个数之和等于9，则．其中正确的序号有 ▲ （填写所有正确结论的序号）．‎ 答案：①②③ ‎ 三、简答题 ‎12．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ ‎（本小题满分12分）‎ 在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并求出其通项；‎ ‎（2）若数列的前项和为，且，求．‎ ‎【分析】（1）把点的坐标代入直线方程，根据等比数列的定义进行证明，显然公比是，再根据条件求出首项即可求出这个数列的通项公式；（2）数列是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可。‎ ‎【解析】（1）因为点在函数的图像上，‎ ‎ 所以故数列是公比的等比数列 ‎ 因为由于数列的各项均为负数，则所以…………．6分 ‎ （2）由（1）知，，‎ 所以…12分 ‎【考点】数列。‎ ‎【点评】本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项求和法。‎ ‎13．（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）（本小题满分13分）在数列．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列项和为，是否存在正整整m，使得 对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由．‎ 答案 13. 解：（1）证明：‎ 数列是等差数列 …………3分 ‎ ‎ 由 ‎ …………6‎ ‎（2）‎ ‎ ………………10分 依题意要使恒成立，只需 解得所以m的最小值为1 ………………12分 ‎ ………13分 ‎14.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分14分) ‎ 已知数列中，.‎ ‎（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ 答案 14、解：（1）∵ ‎ ‎∴ ……………2分 ‎ 当时，，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎∴ …………………5分 当时，也满足上式， ∴数列的通项公式为…6分 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ …………………8分 ‎ 令，则， 当恒成立 ‎∴ 在上是增函数，故当时，‎ 即当时， ……………11分 ‎ 要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即，‎ ‎∴ ∴ 实数的取值范围为…14分 另解： ‎ ‎∴ 数列是单调递减数列，∴‎ ‎15．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）已知函数，数列满足．‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）求；‎ ‎ （Ⅲ）求证：‎ 答案 15.‎ ‎16. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） （本小题满分13分）已知数列 ‎，定义其倒均数是。‎ ‎ （1）求数列{}的倒均数是，求数列{}的通项公式；‎ ‎ （2）设等比数列的首项为－1，公比为，其倒数均为，若存在正整数k，使恒成立，试求k的最小值。‎ 答案 【解】：（1）依题意，‎ 即…………………2分 当 两式相减得，得 ∴……………………4分 当n=1时， ∴=1适合上式…………………5分 故…………………………6分 ‎（2）由题意， ∴…………….. 8分 ‎………………10分 不等式恒成立，即恒成立。…………12分 经检验：时均适合题意，即K的最小值为7。……………………13分 ‎17. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的最大值；‎ ‎（Ⅱ）数列{an}满足：an+1= ‎2f ' (an) +2,且a1=2.5，= bn,‎ ‎⑴数列{ bn+}是等比数列 ⑵判断{an}是否为无穷数列。‎ ‎（Ⅲ）对n∈N*,用⑴结论证明：ln(1++)<; ‎ 答案 【解】：⑴x>-1, f'(x)= -1=,‎ x ‎(-1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴极大值为f(0)=0，也是所求最大值；……………………4分 ‎（Ⅱ）an+1=，∴an+1-1=，∴=-1-，……………………5分 则bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+=-2(bn+), b1+=1, ‎ ‎∴数列{ bn+}是首项为1，公比为-2的等比数列，…………………7分 ‎∴bn+=(-2)n-1, ……………………8分 ‎∴an=+1=+1，……………………9分 明显a1=2.5>-1，n≥2时(-2)n-1-<-2, ∴an>0>-1恒成立，‎ ‎∴数列{an}为无穷数列。……………………11分 ‎（Ⅲ）由⑴ln(1+x) ≤x，∴ln(1++)< ln(1+)3……………………12分 ‎=3 ln(1+)≤3×=成立。 ………14分 ‎18．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）（12分）数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．‎ 证明：(1)．数列{}是等比数列；‎ ‎(2)．Sn+1=4an.‎ 答案 18．（12分）‎ 证明：(1)．数列{}是等比数列；‎ ‎(2)．Sn+1=4an.‎ ‎（1）由 得： 即 所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．‎ ‎（2）由（1）得 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎19．（广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理）‎ ‎（14分）已知数列中,,且 ‎（1）求证：;‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎(3)设,是数列的前项和,求的解析式;‎ 答案 19.‎ ‎.解:‎ 故,．……………………………………1分 又因为 则,即．………………………3分 所以, ……………………………………4‎ ‎(2) ‎ ‎= …………………………………8‎ 因为= ‎ 所以,当时, ………………………9‎ 当时,……….(1)‎ 得……(2)‎ ‎ =‎ ‎ …………………………12‎ 综上所述: ……………………………14‎ ‎20. （广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设四边形的面积是，求证：‎ 答案 20. 解：（1）由得∵ ， ∴ ， ‎ 故是公比为2的等比数列 ‎∴.…………………………………………………………6分 ‎（2）∵ ， ‎ ‎∴, 而 ， …………………9分 ‎ ∴四边形的面积为：‎ ‎∴,‎ 故.……………………………………………14分 ‎21. （浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）（本小题满分15分）‎ 甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml， 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和. 记，，经 次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为， ‎ ‎（I）试用，表示，； ‎ ‎（II）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；‎ ‎（III）求出数列｛｝，｛｝的通项公式.‎ 答案 （本小题满分15分）‎ ‎（1）‎ ‎（2）两式相减 ‎ 所以等比 两式相加 ‎＝…….＝ 所以常数列；‎ ‎（3） ‎ ‎22．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足递推式： ‎ ‎ （1）若的通项公式；‎ ‎ （2）求证： ‎ 答案 解：（1）‎ ‎ ………………5分 ‎ （2）由（2）知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）（22分）已知函数的反函数为，数列满足：‎ ‎ 处的切线在y轴上的截距为 ‎ （1）若数列的通项公式；‎ ‎ （2）若数列的取值范围；‎ ‎ （3）令函数 证明：‎ 答案 ‎ ‎24. （浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）（本小题满分14分）从集合中，抽取三个不同元素构成子集．‎ ‎（Ⅰ）求对任意的，满足的概率；‎ ‎（Ⅱ）若成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望．‎ 答案 (Ⅰ)基本事件数为，满足条件，及取出的元素不相邻，则用插空法，有种 ‎ 故所求事件的概率是 7分 ‎（Ⅱ）分析三数成等差的情况：‎ ‎ 的情况有7种，123，234，345，456，567，678，789‎ ‎ 的情况有5种，135，246，357，468，579‎ ‎ 的情况有3种，147，258，369‎ ‎ 的情况有1种，159‎ 分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎． 14分