高考物理证明题之基础模型 6页

证明题之基础模型 ‎1.万有引力定律F = GMm/r2‎ 证明：设有两个孤立物体质量分别为M、m，相距较远间距为r，m围绕M作匀速圆周运动周期为T M对m的万有引力F提供向心力：F = m(2π/T)2r ①‎ 由开普勒第三定律： r3/ T2 = 常数 ②‎ 由①②得：F = (2π)2m( r3/ T2) /r2 即F∝m/r2 ③‎ 由牛顿第三定律可知：m对M的万有引力大小也为F，且具有相同的性质 所以，m对M的万有引力F∝M/r2　　　　　　　　　　　 ④‎ 综合③④得：F∝Mm/r2‎ ‎ 万有引力定律F = GMm/r2 (其中G为引力常量)‎ ‎2.证明动能定理：利用牛顿第二定律证明：外力对物体所做的总功等于物体动能的增加．‎ 证明：一个质量为m的物体原来的速度为v1，动能为m v12/2，在恒力F的作用下，发生一段位移s，速度为v2，动能增加到m v22/2，设外力方向与运动方向相同，外力F做的功W=Fs，根据牛顿第二定律F=ma，由运动学公式v22-v12=2as,得：s= (v22-v12)/2a,所以 Fs=ma(v22-v12)/2a= m v22/2- m v12/2 或W=EK2- EK1 上述结论由假定物体受一个力推导出来的，如果不只受一个力而是几个力， 总功就是各个力做功的代数和． ‎ ‎3.证明机械能守恒定律：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．‎ 证明：如图所示，取地为零势能点，设物体只受重力作用，向下做匀加速运动。在位置1时速度为v1，高度为h1，在位置2时速度为v2，高度为h2，由匀加速运动公式可得：v22-v12=2g(h1-h2) v12+2gh1= v22+2gh2 , ‎ ‎ mv12/2+mgh1=m v22/2+mgh2 即，E1=E2 所以机械能守恒． ‎ ‎4.（1）试在下述简化情况下，由牛顿定律和运动学公式导出动量定理表达式：一个运动质点只受到一个恒力作用，沿直线运动。要求说明推导过程中每步的根据，以及最后结果中各项的意义．‎ ‎(2)人们常说“滴水穿石”，请你根据下面所提供的信息，估算水对石头的冲击力的大小.‎ 一瀑布落差为h=20m，水流量为Q=0.10m3/s，水的密度ρ=1.O×l03kg/m3‎ ‎,水在最高点和落至石头上后的速度都认为是零.(落在石头上的水立即流走，在讨论石头对水作用时可以不考虑水的重力，g取10m/s2).‎ 解：(1)如图所示,一物体放在光滑的水平面上,设在恒力F的作用下,‎ 开始时物体的初速度为V1,经过t时间后,物体的速度变为V2‎ V1‎ V2‎ F F 由牛顿第二定律得： ①‎ 由运动学公式得: ②‎ 由①②可得: ,由此式变形得: ‎ 式中:表示物体在t时间内物体受到合外力的冲量；表示物体在这段时间的末动量；表示物体在这段时间的初动量 ‎(2) 设经Δt时间内落到石头上水的质量为m，落到与石头相碰前的速度为v ‎ 则m =ρQΔt ③ ‎ 由动能定理： ④‎ 由动量定理： ⑤‎ 由③④⑤得，‎ ‎5.简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式 ‎（1）一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的 位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它是简谐运动。如图1所示，将两个劲度系数分别为k1和 k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球 沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动。请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动。‎ 证明 ：当小球向右运动到任意位置C，离开O的位移 为x，此时小球受到两个弹力F1、F2，方向沿x轴负方 向，如图1所示。两个力的合力即为小球的回复力，即 F= -（F1+F2）= -（k1x+k2x）= -（k1+k2）x 其中k1+k2为常数，所以F与x成正比。‎ 回复力F沿x轴负方向，位移x沿x轴正方向， F与x 方向相反。由此证明小球所做的运动是简谐运动。‎ ‎6.简谐运动是一种理想化的运动模型，是机械振动中最简单、最基本的振动。‎ ‎ 它具有如下特点：‎ ‎（1）简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即：，其 中k为振动系数，其值由振动系统决定；‎ ‎（2)简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：：T = 。‎ ‎7.试论证分析如下问题：‎ ‎(1）如图甲，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。‎ a. 当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出摆球受力的示意图，并写出此时刻摆球受 到的回复力大小；‎ b. 请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时周期为T＝‎ ‎8.求证：电流与自由电子定向移动速率的关系式I=neSv．‎ 证明：如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流，导线截面积为S，电子定向移动速率为v，单位体积内电子数为n，通电时间为t.‎ 则在这段时间内，电子定向移动的距离为L=vt, ‎ ‎ 通过导线截面的电量为q=enV=enSL=neSvt.‎ 所以电流为I=q/t=neSv．‎ ‎9.设导线中单位体积内含有的运动电荷数是n，每个电荷的电量是q，电荷的平均定向移动速率是v，导线的横截面积是S，磁场对电流的作用力可看作是作用在每个运动电荷上的洛仑兹力的合力，求证：洛仑兹力公式f=qvB.‎ 证明：那么通过导线的电流就是 I=nqvS 设洛仑兹力为f，这段导线内运动电荷的总数为N，则 Nf=F，即Nf=ILB,‎ 代入I=nqvS，得到Nf=nqvSLB 又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，‎ 即N=nSL，因此上式简化为 f=qvB ‎ ‎10.如图所示，两根相距为的光滑金属导轨、固定在水平面内，并处在方向竖直向下的匀强磁场中，导轨足够长且电阻不计。在导轨的左端接入一阻值为的定值电阻，将质量为、电阻可忽略不计的金属棒垂直放置在导轨上。时刻，棒与 的距离为，棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计空气阻力。‎ 金属棒以恒定速度向右运动过程中，若所加匀强磁场的磁感应强度为且保持不变，试从磁通量变化、电动势的定义、自由电子的受力和运动、或功能关系等角度入手，选用两种方法推导棒中产生的感应电动势的大小；‎ 方法一：由法拉第电磁感应定律推导 经过时间闭合回路的磁通量变化为 根据法拉第电磁感应定律 方法二：利用电动势的定义推导 电动势定义为非静电力把单位电荷量的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功，对应着其他形式的能转化为电势能的大小。这里的非静电力为洛伦兹力（沿棒上的分力），洛伦兹力（沿棒上的分力）做正功，即：‎ 方法三：由导体棒中自由电子受力平衡推导 导体棒内的自由电子随导体棒向右匀速运动的速度为，受到的洛伦兹力大小为，方向向下，电子在棒下端聚焦，棒下端带负电，棒的上端由于缺少电子而带正电，间产生电压，且电压随着自由电子向下移动而逐渐升高。‎ 设间产生电压为，则中的电场强度 导体棒中的自由电子将受到向上的电场力 当时，自由电子在沿导体棒的方向的受力达到平衡，由可得稳定电压为 在内电阻为0时，路端电压等于电动势，因此动生电动势大小为 方法四：由能量守恒推导 当导体棒匀速运动时，其受到向右的恒定拉力和向左的安培力平衡，则 拉力做功的功率：‎ 闭合电路消耗的总功率：‎ 根据能量的转化和守恒可知：‎ 可得到：‎ ‎11.对于金属导体，从宏观上看，其电阻定义为：。金属导体的电阻满足电阻定律：。在中学教材中，我们是从实验中总结出电阻定律的， 而“金属经典电子论”认为，电子定向运动是一段一段加速运动的接替，各段加速都是从定向速度为零开始。设有一段通电金属导体，其长为L，横截面积为S，自由电子电量为e、质量为m，单位体积内自由电子数为n，自由电子两次碰撞之间的时间为t0。试利用金属电子论，从理论上推导金属导体的电阻。‎ 证明：设导体两端的电压为U，自由电子定向运动的平均速率为v；‎ 由牛顿运动定律和运动学规律得：‎ 从微观上看，电流强度 ‎ 综上，由电阻的定义得 ‎ ‎ 所以 （6分） ‎ ‎12.麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在其周围空间激发一种电场，这种电 场与静电场不同，称为感生电场或涡旋电场，如图甲所示。‎ (1) 若图甲中磁场B随时间t按B＝B0+kt（B0、k均为正常数）规律变化，形成涡旋电场的电场线是一系列 同心圆，单个圆上形成的电场场强大小处处相等。将一个半径为r的闭合环形导体置于相同半径的电 场线位置处，导体中的自由电荷就会在感生电场的 作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中 产生了感应电动势。求：‎ a. 环形导体中感应电动势E感大小；‎ b. 环形导体位置处电场强度E大小。‎ ‎13.证明：交流电动势公式ε=nBSωsinωt.（从中性面计时）‎ 证明：如图所示，设线圈从中性面开始转动，角速度是ω，经时间t，线圈转过的角度为ωt，ab边线速度的方向跟磁感线方向的夹角也为θ=ωt，设磁感强度为B，线圈面积为S，ab边、cd边的感应电动势为 εab=εcd=B·ab·vsinωt= B·ab·(bc/2) ωsinωt=BSωsinωt/2‎ 并且两者串联，所以线圈中的电动势为ε=BSωsinωt.‎ 若线圈有n匝，则电动势为ε=nBSωsinωt. ‎ ‎14.科学精神的核心是对未知的好奇与探究。小君同学 想寻找教科书中“温度是分子平均动能的标志”这一结论的依据。她以氦气为研究对象进行了一番探究。经查阅资料得知：第一，理想气体的模型为气体分子可视为质点，分子间除了相互碰撞外，分子间无相互作用力；第二，一定质量的理想气体，其压强p与热力学温度T的关系式为p=nkT，式中n为单位体积内气体的分子数，k为常数。‎ 她猜想氦气分子的平均动能可能跟其压强有关。她尝试从理论上推导氦气的压强，于是建立如下模型：如图所示，正方体容器静止在水平面上，其内密封着理想气体——氦气，假设每个氦气分子的质量为m，氦气分子与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，分子的速度方向都与器壁垂直，且速率不变。‎ 请根据上述信息帮助小君完成下列问题：‎ ‎（1）设单位体积内氦气的分子数为n，且其热运动的平均速率为v.‎ ‎ a．求一个氦气分子与器壁碰撞一次受到的冲量大小I；‎ ‎ b．求该正方体容器内氦气的压强p；‎ ‎ c．请以本题中的氦气为例推导说明：温度是分子平均动能（即）的标志。‎ ‎（1）a．对与器壁碰撞的一个氦气分子，由动量定理可得：I=2mv ① （3分）‎ ‎ b．设正方体容器某一侧壁面积为S，则时间内碰壁的氦气分子数为：‎ ‎ 由动量定理得： ③‎ 由牛顿第三定律可得：器壁受到的压力④‎ 由压强的定义式得： ⑤‎ ‎ 联立①②③④⑤得： ⑥ （7分）‎ c．由于压强p和温度T的关系式为p=nkT ⑦‎ 联立⑥⑦得 ⑧‎ 由⑧可得：分子的平均动能与热力学温度T成正比，故温度是分子平均动能的 标志。 （4分）‎