2020版高考数学大二轮复习 板块二 练透基础送分小考点 第4讲 平面向量与数学文化优选习题 文 9页

第4讲　平面向量与数学文化 ‎[考情考向分析]　1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.3.考查以数学文化为背景的新颖命题，解决的关键是抽象出相应的数学问题，问题的背景主要涉及：程序框图、数列、概率统计、平面图形及空间几何体．‎ ‎1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　作出示意图如图所示．‎ ＝＋＝＋ ‎＝×(＋)＋(－)＝－.‎ 故选A.‎ ‎2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(‎2a－b)等于(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．0‎ 答案　B 解析　a·(‎2a－b)＝‎2a2－a·b＝2|a|2－a·b.‎ ‎∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.‎ ‎3．(2018·百校联盟TOP20联考)已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)‎ A．8 B．10‎ C．11 D．12‎ 答案　D 9‎ 解析　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，‎ ‎∴a＋b＝(x－2,5)，‎ 又(a＋b)⊥b，‎ ‎∴(x－2)×(－2)＋20＝0，‎ ‎∴x＝12.‎ ‎4．(2018·张家界模拟)数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”．图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为(　　)‎ A．336 B．510‎ C．1326 D．3603‎ 答案　B 解析　由题意知，图2中的“结绳计数”法是七进制计数法，所以图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为S＝1×73＋3×72＋2×71＋6×70＝510.‎ ‎5．(2018·北京师范大学附中模拟)习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”‎的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m＝8，则输出的S等于(　　)‎ 9‎ A．44B．‎68C．100D．140‎ 答案　C 解析　第1次运行，n＝1，a＝＝0，S＝0＋0＝0，不符合n≥m，继续运行；‎ 第2次运行，n＝2，a＝＝2，S＝0＋2＝2，不符合n≥m，继续运行；‎ 第3次运行，n＝3，a＝＝4，S＝4＋2＝6，不符合n≥m，继续运行；‎ 第4次运行，n＝4，a＝＝8，S＝8＋6＝14，不符合n≥m，继续运行；‎ 第5次运行，n＝5，a＝＝12，S＝14＋12＝26，不符合n≥m，继续运行；‎ 第6次运行，n＝6，a＝＝18，S＝26＋18＝44，不符合n≥m，继续运行；‎ 第7次运行，n＝7，a＝＝24，S＝24＋44＝68，不符合n≥m，继续运行；‎ 第8次运行，n＝8，a＝＝32，S＝68＋32＝100，符合n≥m，退出运行，输出S＝100.‎ 9‎ ‎6．(2018·百校联盟TOP20联考)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，＝，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设AB＝1，则BC＝，‎ 根据对称性可知，落在正方形DEFG中的概率为＝.‎ ‎7．(2018·湖南G10教育联盟联考)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为(　　)‎ A．丙酉年 B．戊申年 C．己申年 D．己酉年 答案　D 解析　天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，‎ 从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉，故选D.‎ 9‎ ‎8．(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)‎ A．f B．f C．f D．f 答案　D 解析　由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()‎7f＝f.‎ ‎9．(2018·永州模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)‎ A．1B．‎2C．3D．4‎ 答案　C 解析　如图所示，‎ 设＝k，所以＝－＝k－，‎ 所以·＝·(k－)‎ ‎＝k2－·＝25k－5×6× ‎＝25k－15＝－5，‎ 解得k＝，所以||＝||＝3.‎ ‎10．(2018·西宁模拟)我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)‎ 9‎ A．4－B．8－πC．8－D．8－2π 答案　B 解析　由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图：‎ 正方体的体积为2×2×2＝8，半圆柱的体积为π×12×2＝π，从而其体积为8－π.‎ ‎11．(2018·衡水金卷调研卷)《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍，如图，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，且EF＝AB，若这个刍甍的体积为，则CF的长为(　　)‎ A．1B．‎2C．3D．4‎ 答案　C 解析　取CD，AB的中点分别为M，N，连接FM，FN，MN，‎ 则多面体分割为棱柱与棱锥部分，设E到平面ABCD的距离为h，‎ 9‎ 则×4×h×2＋×4×2×h＝，解得h＝2.‎ 依题意可知，点E，F在平面ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点，‎ 又CN＝＝2，‎ ‎∴CF＝＝＝3.‎ ‎12．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 答案　A 解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．‎ 连接AC，‎ 由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，＝，‎ ‎∴·＝＋y2－y ‎＝2＋(0≤y≤)，‎ ‎∴当y＝时，·有最小值.故选A.‎ ‎13．(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(‎2a＋b)，则λ＝________.‎ 9‎ 答案　 解析　由题意得‎2a＋b＝(4,2)，‎ 因为c∥(‎2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.‎ ‎14．(2018·辽宁省辽南协作校模拟)设向量a＝(1，)，b＝(m，)，且a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　(－3,1)∪(1，＋∞)‎ 解析　因为a，b的夹角为锐角，‎ 所以a·b＝m＋3>0，解得m>－3，‎ 又当m＝1时，〈a，b〉＝0不符合题意，‎ 所以m>－3且m≠1.‎ ‎15．(2018·湖北七市(州)教研协作体联考)《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S，a，b，c分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；ha，hb，hc分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则S＝＝aha＝bhb＝chc.若在△ABC中ha＝，hb＝2，hc＝3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为________．‎ 答案　 解析　根据题意可知，a∶b∶c＝2∶3∶2，‎ 故设a＝2x，b＝3x，c＝2x，‎ 由S＝ ‎＝aha＝bhb＝chc 代入a，b，c，可得x＝，‎ 由余弦定理可得cosA＝，‎ 所以sinA＝，‎ 所以由正弦定理得三角形外接圆半径为＝＝.‎ 9‎ ‎16．(2018·天津市十二校模拟)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∠ADC＝45°，AD＝2，BC＝1，P是腰CD上的动点，则|3＋|的最小值为________．‎ 答案　 解析　以D为坐标原点，DA为x轴，过D与DA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，‎ 由AD∥BC，∠BAD＝90°，∠ADC＝45°，AD＝2，BC＝1，‎ 可得D(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(1,1)，‎ ‎∵P在CD上，∴可设P(t，t)(0≤t≤1)，‎ 则＝(2－t，－t)，＝(t－2，t－1)，‎ ‎3＋＝(4－2t，－2t－1)，‎ ‎∴|3＋|＝ ‎＝ ‎≥＝，‎ 即|3＋|的最小值为.‎ 9‎