（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 题型练4 大题专项（二）数列的通项、求和问题 理 7页

题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题 ‎1.设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.‎ 7‎ ‎2.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{bn}前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎3.(2018浙江,20)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.‎ ‎(1)求q的值;‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ 7‎ ‎4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公比为q的等比数列{bn}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ 7‎ ‎5.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an-(n∈N*).‎ ‎(1)证明:1≤≤2(n∈N*);‎ ‎(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:(n∈N*).‎ ‎6.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.‎ ‎(1)若‎2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.‎ 7‎ 题型练4　大题专项(二)‎ 数列的通项、求和问题 ‎1.(1)解 当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.‎ 当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1.‎ 又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.‎ ‎(2)证明 由(1)可知Sn=,又S3+S6=2S9,‎ 所以,‎ 化简,得a3+a6=‎2a9,两边同除以q,得a2+a5=‎2a8.故a2,a8,a5成等差数列.‎ ‎2.解 (1)∵在等差数列{an}中,a1=1,公差d=1,‎ ‎∴Sn=na1+d=,∴bn=‎ ‎(2)bn==2,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2+…+=2+…+=2故Tn=‎ ‎3.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=‎2a4+4,所以a3+a4+a5=‎3a4+4=28,解得a4=8.‎ 由a3+a5=20,得8=20,‎ 解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.‎ ‎(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn,‎ 由cn=解得cn=4n-1.‎ 由(1)可知an=2n-1,‎ 所以bn+1-bn=(4n-1)‎ 故bn-bn-1=(4n-5),n≥2,‎ bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)‎ ‎=(4n-5)+(4n-9)+…+7+3.‎ 7‎ 设Tn=3+7+11+…+(4n-5),n≥2,‎ Tn=3+7+…+(4n-9)+(4n-5),‎ 所以Tn=3+4+4+…+4-(4n-5),‎ 因此Tn=14-(4n+3),n≥2,‎ 又b1=1,所以bn=15-(4n+3)‎ ‎4.解 (1)设{an}公差为d,由题意得解得故an=3n-1,bn=‎ ‎(2)+22n+1,‎ ‎∴Tn=+…+(22n+3-8)=‎ ‎5.证明 (1)由题意得an+1-an=-0,即an+1≤an,故an由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.‎ 由00,故q=2.‎ 所以an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)证明 由(1)可知,an=qn-1.‎ 所以双曲线x2-=1的离心率en=‎ 由e2=,解得q=‎ 因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(k∈N*).‎ 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=,‎ 故e1+e2+…+en>‎ 7‎