高考数学一轮复习总教案181　绝对值型不等式 4页

第十八章 不等式选讲 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三 角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|； ②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不 等式，如|ax＋b|≤c 或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋|x－b|≤c 类型. 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法和放缩法. 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证 明一些简单不等式及其他问题. 5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋ b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般 形式        n i n i n i iiii baba 1 1 2 1 22 )( ≥ ，理解它们的几何意义. 掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的 函数极值中的应用. 6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用. 7.会用数学归纳法证明贝努利不等式： .)1,0,1＞(＞1)1( 的正整数为大于nxxnxx n  本章重点：不等 式的基本性质； 基 本 不 等 式 及 其应用、绝对值 型 不 等 式 的 解 法及其应用；用 比 较 法 、 分 析 法、综合法证明 不等式；柯西不 等式、排序不等 式及其应用. 本章难点：三个 正 数 的 算 术 — — 几 何 平 均 不 等式及其应用； 绝 对 值 不 等 式 的解法；用反证 法、放缩法证明 不等式；运用柯 西 不 等 式 和 排 序 不 等 式 证 明 不等式. 本专题在数学必修 5 “不等式”的基础上， 进一步学习一些重要 的不等式，如绝对值 不等式、柯西不等式、 排序不等式以及它们 的证明，同时了解证 明不等式的一些基本 方法，如比较法、综 合法、分析法、反证 法、放缩法、数学归 纳法等，会用绝对值 不等式、平均值不等 式、柯西不等式、排 序不等式等解决一些 简单问题.高考中，只 考 查 上 述 知 识 和 方 法，不对恒等变形的 难度和一些技巧作过 高的要求. 知识网络 18.1 绝对值型不等式 典例精析 题型一 解绝对值不等式 【例 1】设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)解不等式 f(x)＞3； (2)若 f(x)＞a 对 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)因为 f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝     .2＞3,-2 2,≤≤1,1 1,＜,23 xx x xx 所以当 x＜1 时，3－2x＞3，解得 x＜0； 当 1≤x≤2 时，f(x)＞3 无解； 当 x＞2 时，2x－3＞3，解得 x＞3. 所以不等式 f(x)＞3 的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因为 f(x)＝     .2＞3,-2 2,≤≤1,1 ＜1,,23 xx x xx 所以 f(x)min＝1. 因为 f(x)＞a 恒成立， 所以 a＜1，即实数 a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练 1】设函数 f(x)＝ |x＋1|＋|x－2|＋a. (1)当 a＝－5 时，求函数 f(x)的定义域； (2)若函数 f(x)的定义域为 R，试求 a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数 y＝ |x＋1|＋|x－2|和 y＝5 的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞). (2)由题设知，当 x∈R 时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又 由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3， 所以－a≤3，即 a≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式 【例 2】已知函数 f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对 a≠0，a、 b∈R 恒成立，求实数 x 的范围. 【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且 a≠0 得|a＋b|＋|a－b| |a| ≥f(x). 又因为|a＋b|＋|a－b| |a| ≥|a＋b＋a－b| |a| ＝2，则有 2≥f(x). 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2 得1 2≤x≤5 2. 【变式训练 2】(2019 深圳模拟)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4 a 对任意的实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 . 【解析】(－∞，0)∪{2}. 题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例 3】(2019 辽宁质检)设函数 f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若 a＝－1，解不等式 f(x)≥3； (2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a＝－1 时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由 f(x)≥3 得|x－1|＋|x＋1|≥3， ①当 x≤－1 时，不等式化为 1－x－1－x≥3，即－2x≥3， 不等式组     3≥)( 1,≤ xf x 的解集为(－∞，－3 2]； ②当－1＜x≤1 时，不等式化为 1－x＋x＋1≥3，不可能成立， 不等式组    3≥)( 1,≤＜1 xf x 的解集为∅ ； ③当 x＞1 时，不等式化为 x－1＋x＋1≥3，即 2x≥3， 不等式组    3≥)( 1,＞ xf x 的解集为[3 2 ，＋∞). 综上得 f(x)≥3 的解集为(－∞，－3 2]∪[3 2 ，＋∞). (2)若 a＝1，f(x)＝2|x－1|不满足题设条件. 若 a＜1，f(x)＝       1,≥1),(-2 ＜1,＜,1 ,≤,12 xax xaa axax f(x)的最小值为 1－a.由题意有 1－a≥2，即 a≤－1. 若 a＞1，f(x)＝       ,≥1),(-2 ,＜＜1,1 1,≤,12 axax axa xax f(x)的最小值为 a－1，由题意有 a－1≥2，故 a≥3.[来源:Zxxk.Com] 综上可知 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 【变式训练 3】关于实数 x 的不等式|x－1 2(a＋1)2|≤1 2(a－1)2 与 x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (a ∈R)的解集分别为 A，B.求使 A⊆B 的 a 的取值范围. 【解析】由不等式|x－1 2(a＋1)2|≤1 2(a－1)2⇒－1 2(a－1)2≤x－1 2(a＋1)2≤1 2(a－1)2， 解得 2a≤x≤a2＋1，于是 A＝{x|2a≤x≤a2＋1}. 由不等式 x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0⇒(x－2)[x－(3a＋1)]≤0， ①当 3a＋1≥2，即 a≥1 3 时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}， 因为 A⊆B，所以必有     1,3≤1 ,2≤2 2 aa a 解得 1≤a≤3； ②当 3a＋1＜2，即 a＜1 3 时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}， 因为 A⊆B，所以      2,≤1 ,2≤13 2a aa 解得 a＝－1. 综上使 A⊆B 的 a 的取值范围是 a＝－1 或 1≤a≤3. 总结提高 1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件. 2.绝对值不等式的解法中，|x|＜a 的解集是(－a，a)；|x|＞a 的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)， 它可以推广到复合型绝对值不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数 x 的不等式，如|3x＋1|≤x－1⇒1－x≤3x＋1≤x－1. 3.含有两个绝对值符号的不等式，如|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法有三 种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法， 这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于 x 前面系数不为 1 类型的上述不等式，使用范 围更广. 天星 1 来源：天星教育 Tesoon www.zxxk.com 来源：天~星~教~育~网