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- 2021-05-13 发布
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函数的单调性与最值
一、函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的
图象描述
自左向右看图象是逐渐上升的
自左向右看图象是逐渐下降的
2.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．
3求函数单调区间的两个注意点：
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
4必记结论
1．单调函数的定义有以下若干等价形式：
设x1，x2∈[a，b]，那么
①>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
2．复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
考点一 函数单调性的判断
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.答案：C
2．判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．
解：法一：定义法
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，
因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)0，
∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
给出解析式函数单调性的两种判定方法
1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)．
*2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．
考点二 函数的单调区间的求法|
1求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝log(x2－3x＋2)．
[解] (1)由于
y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数．
令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.
∴函数y＝log(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．
∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．
而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y＝log(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
函数单调区间的四种求法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
*(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
2函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：y＝|x|(1－x)
＝＝
＝
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在上单调递增．
答案：B
考点三 函数单调性的应用
函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：
1．求函数的值域或最值．
2．比较两个函数值或两个自变量的大小．
3．解函数不等式．
4．求参数的取值范围或值．
一 求函数的值域或最值
1.已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
二 比较两个函数值或两自变量的大小
2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
三 解函数不等式
3．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
四 利用单调性求参数的取值范围
4．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(1，＋∞)
1.解析：由题知，f(－3)＝1，f(1)＝0，即f(f(－3))＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝min{f(0)，f()}＝2－3.
答案：0 2－3
2.解析：∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.
答案：B
3.解析：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，且当x1<0，x2>0时，f(x1)f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－20时，有f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2.
[规范解答] (1)证明：设x1，x2∈R且x10，
∴f(x2－x1)>1.(2分)
根据条件等式有
f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2
－x1)－1>0，
∴f(x1)f(3a)的解集为( )
A．(2,6) B．(－1,4)
C．(1,4) D．(－3,5)
5．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )
A．[1，＋∞) B．[0，]
C．[0,1] D．[1，]
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则f(3)，f(－2)，f(1)的大小关系为________．
7．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
8．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________．
9．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
10．已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．
(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；
(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．
练习B组
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
*2． “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
4． a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．
答案
1.解析：因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选B.
答案：B
2.解析：依题意，注意到y＝3－x与函数y＝的值域均是R，函数y＝的值域是(0,1]，函数y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.
答案：B
3.解析：注意到f(x)＝－(x－a)2＋a2；依题意得即0f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1f(－2)>f(3)．
即f(1)>f(2)>f(3)．
答案：f(1)>f(－2)>f(3)
7.解析：g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
8.解析：因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.
答案：(－∞，1]
9.解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，
∴f(x1)0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴00)．
(2)函数f(x)的定义域为，
令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈，
f(x)＝F(t)＝＝.
∵t＝时，t＝±2∉，又t∈时，t＋单调递减，F(t)单调递增，
∴F(t)∈.
即函数f(x)的值域为.
1.解析：y＝(x－1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B；y＝2－x＝x为减函数，排除C；因为y＝log0.5t为减函数，t＝x＋1为增函数，所以y＝log0.5(x＋1)为减函数，排除D；y＝和t＝x＋1均为增函数，所以y＝为增函数，故选A.
答案：A
2.解析：由二次函数的图象和性质知f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增，只需f(x)的图象在(0，＋∞)上与x轴无交点，即a＝0或<0，整理得a≤0，而当a≤0时，结合图象(图略)可知f(x)在(0，＋∞)上为增函数．故a≤0是f(x)在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.
答案：C
3.解析：因为f(x)＝所以当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解得10，即x>－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x>－时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：
3.解析：要使函数在R上是增函数，
则有
解得－3≤a≤－2，即a的取值范围是[－3，－2]．答案：B
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