新课标高考二轮备考抓分点透析文专题五平面向量 15页

专题五 平面向量 ‎【重点知识回顾】‎ 向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键 在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。‎ 在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力 因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理）‎ 的一组基底。‎ ‎ 向量的坐标表示 ‎ ‎ 表示。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. 平面向量的数量积 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数量积的几何意义：‎ ‎ ‎ ‎ （2）数量积的运算法则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【典型例题】‎ ‎1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理 例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（　 ）‎ A.(－15,12)　　　B‎.0 C.－3 D.－11‎ 解：(a+2b)，(a+2b)·c ，选C 点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字 例2、(2008广东文)已知平面向量，且∥，则=（　 ）‎ ‎ A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）‎ 解：由∥，得m＝－4，所以，‎ ‎＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。‎ 点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆 例3．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。‎ ‎（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可 因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形 ABCO，‎ 所以，=＋，= =+，‎ 由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，‎ 同样在平行四边形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－‎ 点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。‎ 例4．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。‎ 解析：设D(x,y)，则 ‎∵‎ 得 所以。‎ ‎2. 向量与三角函数的综合问题 例5、（2008深圳福田等）已知向量 ,函数 ‎(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值．‎ 解：(1) . ‎ 所以，T＝. ‎ ‎(2) 由得，‎ ‎∵，∴　∴ ∴ ‎ 点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点. ‎ 例6、（2007山东文）在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求．‎ 解：（1）‎ ‎ 又 解得．‎ ‎ ，是锐角． ．‎ ‎（2）由， ， ．‎ ‎ 又 ． ．‎ ‎ ． ．‎ ‎　　点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。‎ ‎3. 平面向量与函数问题的交汇 例7．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).‎ ‎(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；‎ ‎ (2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间 解：（1）法一：由题意知x＝(,), ‎ y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y 故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0‎ 整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t. ‎ 法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b ‎∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t ‎(2)由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,‎ 令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1. ‎ 故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.‎ ‎[归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用 ‎[变式] 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围。‎ ‎[点拨] 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。‎ O x A C B a 例7图 y A C B a Q P 解：仿例3（1）解法（二）可得 k＝( sinα－)2－,而－1≤sinα≤1, ‎ ‎∴当sinα＝－1时，k取最大值1； sinα＝1时，k取最小值－.‎ ‎ 又∵k≠0 ∴k的取值范围为 .‎ ‎4. 平面向量在平面几何中的应用 例8、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为‎2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值 ‎ 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=‎2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），‎ ‎∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0. ‎ 点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。‎ 例9、已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，‎ （1） 若，求抛物线的方程。‎ （2） CD是否恒存在一点K，使得 ‎ Y ‎ ‎ A ‎ ‎ ‎ ‎ F P ‎ ‎ B ‎ ‎ X ‎ ‎ O ‎ ‎ D K C ‎ 解：（1）提示：记A（）、B （）设直线AB方程为代入抛物线方程得 ‎（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，‎ 则 ‎＝－＝－＝0‎ 故存在点K即点T，使得 ‎[实质：以AB为直径的圆与准线相切]‎ ‎[变式]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；‎ 解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ‎ ‎ ①‎ 设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.‎ 所以 ‎ 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，‎ 得 又点Q是点P关于原点的对称点，‎ 故点Q的坐标是（0，－m），从而.‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎【模拟演练】‎ 一、选择题 ‎1．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M‎1M2‎的交点分有向线段M‎1M2‎的比为3：2，则的值为 （ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎2．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－‎2a）⊥b，则a与b的夹角是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）‎ A．［0，］ B．［，］ C．［，］ D．［，］‎ ‎4．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·= （ ）‎ A． B． C．3 D．－3‎ ‎5． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎6．已知平面上直线l的方向向量e=（,），点O（0，0）和A(1, －2)在上的射影分别是O/和A/，则，其中λ=（ ）‎ A． B． C．2 D．－2‎ ‎7、（ ）‎ A． B. C. D. 1‎ ‎8、已知，，则向量与（ ）‎ A.互相平行 B. 夹角为 C.夹角为 D.互相垂直 ‎9、已知向量的夹角是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、若向量，，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11、已知非零向量若且又知则实数的值为 （ ）‎ ‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎12. 把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为 A．y＝ B．y＝‎ C．y＝ D．y＝‎ 二、填空题 ‎13．已知向量a、b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是 .‎ ‎14.已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且＝,＝,设＝，＝，则＝ . ‎ ‎15. △ABC中，,其中A、B、C是△ABC的三内角，则△ABC是 三角形。‎ ‎16. 已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为 . ‎ 三、解答题 ‎17. 已知向量，.（1）若，试判断与能否平行 ‎（2）若，求函数的最小值.‎ ‎18. 设函数，其中向量，.‎ ‎ （1）求函数的最大值和最小正周期；‎ ‎ （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.‎ ‎19. 如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时，·有最大值? ‎ ‎ ‎ ‎20. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且 ‎（1）求动点N的轨迹方程；‎ ‎（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4≤≤，求直线l的斜率的取值范围 ‎21. 已知点是圆上的一个动点，过点作轴于点，设.‎ ‎ （1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）求向量和夹角的最大值，并求此时点的坐标 ‎22. 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. ‎ ‎（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;‎ ‎（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由. ‎ 专题训练答案 一、选择题 ‎1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7．A 8．A 9．D 10．B ‎11．D 12． A 二、填空题 ‎13． 14. ；15.直角16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）若与平行，则有，因为，，所以得，这与相矛盾，故与不能平行.‎ ‎（2）由于，又因为，所以， 于是，当，即时取等号.故函数的最小值等于.‎ ‎18．解：（1）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)‎ ‎＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).‎ 所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.‎ ‎（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，‎ 于是d＝（，－2），k∈Z. ‎ 因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.‎ ‎19. 解：·＝（）·（）‎ ‎＝（）·（－）‎ ‎＝－r2＋··‎ 设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则 ‎·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ ‎∵a、b、c、α、r均为定值，‎ ‎∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，·有最大值.‎ ‎20. 略解 （1）y2＝4x (x＞0)‎ ‎ （2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为 y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程，得 ky2－ 4y＋4b＝0,由，得.‎ 又 故 而 ‎ ‎ ‎ 解得直线l的斜率的取值范围是 ‎21. 解析：（1）设，，则，，‎ ‎.‎ ‎（2）设向量与的夹角为，则，‎ 令，则，‎ 当且仅当时，即点坐标为时，等号成立. ‎ ‎22. 解: （I）如图，AB=40，AC=10，‎ 由于,所以cos=‎ 由余弦定理得BC=‎ 所以船的行驶速度为（海里/小时）.‎ ‎（2）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，‎ 设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,‎ BC与x轴的交点为D.‎ 由题设有，x1=y1= AB=40,‎ x2=ACcos,‎ y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.‎ 又点E（0，-55）到直线l的距离d=‎ 所以船会进入警戒水域.‎