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- 2021-05-13 发布
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第九节 圆锥曲线的综合问题
第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.
(2)理解数形结合的思想.
(3)了解圆锥曲线的简单应用.
2.定值(定点)与最值问题
理解基本几何量,如:斜率、距离、面积等概念,掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题.
3.存在性问题
能够合理转化,掌握与圆锥曲线有关的存在性问题.
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
即消去y,得ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l
与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点.
(2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点.
[自测练习]
1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则这样的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0),故选C.
答案:C
2.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
答案:A
知识点二 弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,
A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=|x1-x2|
=·
=·|y1-y2|
=·.
必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆+=1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线-=1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线y2=2px中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
[自测练习]
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.
解析:则由题意得
解得
∴椭圆C的方程为+=1.
答案:+=1
4.已知抛物线y=ax2的焦点到准线的距离为2,则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于________.
解析:由题设p==2,∴a=.
抛物线方程为y=x2,焦点为F(0,1),准线为y=-1.
直线过焦点F,联立消去x,
整理得y2-6y+1=0,∴y1+y2=6,
∴所得弦|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.
答案:8
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|
1.(2016·兰州检测)若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
A.至多一个 B.2
C.1 D.0
解析:∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,∴>2,∴m2+n2<4.∴+<+=1-m2<1,
∴点(m,n)在椭圆+=1的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点有2个,故选B.
答案:B
2.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由得(1-k2)x2-4kx-10=0.
设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),
则
解得-b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,且·=0,⊙O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+m与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当·=λ,且满足≤λ≤时,求弦长|AB|的取值范围.
[解] (1)依题意,可知PF1⊥F1F2,
∴c=1,+=1,a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1,c2=1.∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)直线l:y=kx+m与⊙O:x2+y2=1相切,则=1,即m2=k2+1,由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
∵直线l与椭圆交于不同的两点A,B.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
∴Δ>0⇒k2>0⇒k≠0,
x1+x2=-,x1x2=,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2==,
∴·=x1x2+y1y2==λ
∴≤≤,∴≤k2≤1,
∴|AB|==2
设u=k4+k2,
则≤u≤2,|AB|=2
=2,u∈,
∵|AB|(u)在上单调递增,
∴≤|AB|≤.
解决弦长问题的注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在时,可直接求交点坐标再求弦长.
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.
已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)
与此抛物线相交于P,Q两点,则+=( )
A. B.1
C.2 D.4
解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,
|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则+=+=,联立直线与抛物线方程消去y得,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===.故选A.
答案:A
考点三 中点弦问题|
弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点.归纳起来常见的探究角度有:
1.由中点弦确定直线方程.
2.由中点弦确定曲线方程.
3.由中点弦解决对称问题.
探究一 由中点弦确定直线方程
1.已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程是________________.
解析:设直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
则+=1,且+=1,
两式相减得=-.
又x1+x2=8,y1+y2=4,
所以=-,故直线l的方程为
y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.
答案:x+2y-8=0
探究二 由中点弦确定曲线方程
2.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则抛物线方程为________.
解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得,y′=,切线MA的方程是y-y1=(x-x1),即y=x-.又点M(2,-2p)位于直线MA上,于是有-2p=×2-,即x-4x1-4p2=0;同理有x-4x2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,则x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得,y1+y2=12,即==12,=12,解得p=1或p=2.
答案:x2=2y或x2=4y
探究三 由中点弦解决对称问题
3.已知双曲线-=1(a,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为( )
A. B.
C.2 D.3
解析:由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x,y2=2x,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1b>0)的一个顶点与抛物线C:x2=4y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,
且离心率e=,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若·=-2,求直线l的方程;
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:为定值.
[思维点拨]
(1)待定系数法求a,b.
(2)注意判断l的斜率是否存在.
(3)利用弦长公式表示出|AB|,|MN|后整体变形得结论.
[解] (1)椭圆的顶点为(0,),即b=,e==,∴a=2,∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题可知,直线l与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
且M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,x1+x2=,x1x2=,
·=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=+k2
==-2,解得k=±,
故直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).
(3)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
由(2)可得|MN|=|x1-x2|
=
=
=,
由消去y并整理得x2=,
|AB|=|x3-x4|=4,
∴==4,为定值.
[方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等),利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组,再化为一元二次方程,从而利用根与系数的关系进行整体代换,达到“设而不求,减少计算”的效果,直接得定值.
A组 考点能力演练
1.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是( )
A.1 B.2
C.1或2 D.0
解析:因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.
答案:A
2.(2016·福州质检)抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为( )
A.y=2x2 B.y2=2x
C.x2=2y D.y2=-2x
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px,则两式相减可得2p=×(y1+y2)=kAB×2=2,即可得p=1,∴抛物线C的方程为y2=2x,故选B.
答案:B
3.已知双曲线 -=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( )
A. B.(-,)
C. D.[-,]
解析:由题意知F(4,0),双曲线的两条渐近线方程为y=±x.当过点F的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图象,数形结合可知应选C.
答案:C
4.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若·=0,则k=( )
A. B.
C. D.2
解析:如图所示,设F为焦点,取AB的中点P,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为G,H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,AM为公共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.
答案:D
5.已知椭圆+=1(00,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为________.
解析:如图,由题知OA⊥AF,OB⊥BF且∠AOB=120°,∴∠AOF=60°.又OA=a,OF=c,∴==cos 60°=,
∴=2.
答案:2
8.直线l过椭圆+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P,Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为________.
解析:法一:由椭圆方程得a=,b=c=1,
则F(-1,0).在△FMO中,|MF|=|MO|,
所以M在线段OF的中垂线上,即xM=-,
设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1),
由得x2+2k2(x+1)2-2=0,
即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,
∴xP+xQ=,而M为PQ的中点,
故xM=(xP+xQ)==-,
∴k2=,解得k=±.
故直线l的方程为y=±(x+1),即x±y+1=0.
法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
由题意知kPQ=-kOM,由P、Q在椭圆上知
两式相减整理得kPQ==-=-,而kOM=,故=,
即x=2y,所以kPQ=±,
直线PQ的方程为y=±(x+1),即x±y+1=0.
答案:x±y+1=0
9.(2016·洛阳模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(,0),且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,交直线x=m(m>a)于M点,若kPA,kPM,kPB成等差数列,求实数m的值.
解:(1)由题意,得a2=4,b2=1.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l:y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,ym).将直线方程代入椭圆方程x2+4y2=4中,得(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0,
则x1+x2=,x1·x2=.
此时kPA==k-,kPB==k-.
∴kPA+kPB=+
=2k-
=2k-=2k-.
又M(m,ym)在直线l上,∴ym=k(m-),
则kPM==k-.
若kPA,kPM,kPB成等差数列,则2kPM=kPA+kPB,则2k-=2k-,解得m=.
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,-2)到该抛物线焦点的距离为2,动直线l与C交于两点A,B(A,B异于点P),与x轴交于点M,AB的中点N,且直线PA,PB的斜率之积为1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求的最大值.
解:(1)因为点P(x0,-2)在抛物线上,
所以2px0=4⇒x0=.
由抛物线的定义知,
+=2⇒(p-2)2=0⇒p=2,
故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知,x0=1,得P(1,-2).
设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,设直线AB的方程为x=my+t,
联立消去x得y2-4my-4t=0.
Δ=16m2+16t>0⇒m2+t>0,①
y1+y2=4m,y1y2=-4t,
因为k1===.
同理k2=.所以k1k2=·=1,
即y1y2-2(y1+y2)-12=0,
即-4t-8m-12=0⇒t=-2m-3.
代入①得m2-2m-3>0⇒m<-1或m>3.
因为|AB|=|y1-y2|
=·
=·
=4·,
又yM=0,yN==2m,
则|MN|=|yM-yN|=2|m|.
所以=2=2
=2,
故当m=-3时,取到最大值.
B组 高考题型专练
1.(2015·高考福建卷)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
解:(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.
由已知|AF|=3,得2+=3,
解得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)法一:如图,因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),
所以kGA==,kGB==-,
所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,
故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,
从而r==.
又直线GB的方程为2x+3y+2=0,
所以点F到直线GB的距离d===r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
2.(2015·高考重庆卷)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;
(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.
解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,
因此2c=|F1F2|=
==2,
即c=,从而b==1.
故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)法一:连接QF1,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则+=1,x+y=c2,
求得x0=±,y0=±.
由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=2+=2(a2-b2)+2a=(a+)2.
由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,
|QF1|+|QF2|=2a.
从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.
又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,
知|QF1|=|PF1|,
因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,
于是(2+)(1+)=4,解得
e==-.
法二:连接QF1,如图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.
又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,
则|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a,
由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,
因此e==
===-.