高考试题分类考点34空间直角坐标系空间向量及其运算 6页

考点34空间直角坐标系、空间向量及其运算 解答题 ‎1.（2011·辽宁高考理科·Ｔ18）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．‎ ‎【思路点拨】建立空间坐标系，利用坐标向量来解题（I） ；（II）先求法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值，最后确定二面角Q-BP-C的余弦值．‎ ‎【精讲精析】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，OP,DC为x，y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系. ‎ ‎(Ⅰ)依题意有，，，‎ 则，，，所以，，‎ 即 ⊥，⊥.且故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面. ‎ ‎（II）依题意有，=，=.‎ 设是平面的法向量，则 即 同理，因此可取 设是平面的法向量，则 可取所以且由图形可知二面角为钝角 故二面角的余弦值为 ‎2.（2011·江西高考理科·Ｔ21）（1）如图，对于任意给定 的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面 ，使得且其中每相邻两 个平面间的距离都相等；‎ ‎（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，‎ 其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体 的四个顶点满足： 求该 正四面体的体积 ‎【思路点拨】（1）首先 ，则，‎ 即得四个平面符合要求.（2）以第（1）问中的四面体作为正四面体，通过坐标系求出面，再根据点到面的距离公式求出正四面体的棱长，进而求得体积.‎ ‎【精讲精析】‎ ‎3.（2011.天津高考理科.T17）如图，在三棱柱中，‎ 是正方形的中心，，平面，‎ 且 ‎（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．‎ ‎【精讲精析】 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.‎ ‎ 依题意得 ‎ （I）易得，‎ ‎ 于是 ‎ 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎ （II）易知，设平面AA‎1C1的法向量，‎ ‎ 则即不妨令可得，‎ ‎ 同样地，设平面A1B‎1C1的法向量，‎ ‎ 则即不妨令，‎ 可得于是从而 所以二面角A—A‎1C1—B1的正弦值为 ‎ （III）由N为棱B‎1C1的中点，得 设M（a，b，0），则)，由 平面A1B‎1C1，得 即 解得故 因此，所以线段BM的长为 方法二：‎ ‎（I）由于AC//A‎1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角.‎ 因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，‎ 可得 因此 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 ‎（II）连接AC1，易知AC1=B‎1C1，‎ 又由于AA1=B‎1A1，A‎1C1=A‎1C1，‎ 所以≌，过点A作于点R，‎ 连接B1R，于是，故为二面角A—A‎1C1—B1的平面角.‎ 在中， 连接AB1，在中，‎ ，‎ 从而 所以二面角A—A‎1C1—B1的正弦值为 ‎（III）因为平面A1B‎1C1，所以，取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B‎1C1中点，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，‎ 所以平面AA1B1B，故又 所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则 由得，延长EM交AB于点F，‎ 可得连接NE.在中， 所以可得连接BM，在中，‎