1999全国高考数学文科试题 15页

‎　‎ ‎1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文史)‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8页。‎ 共150分。考试时间120分钟。‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 注意事项：‎ ‎ l.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂 ‎　　　写在答题卡上。‎ ‎ 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 ‎　　　干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ ‎ 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。‎ ‎ 参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 ‎ 三角函数的积化和差公式 ‎　　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2　　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 ‎ ‎ ‎ ‎ 　　 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2　　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 ‎ ‎ ‎ ‎　　　正棱台、圆台的侧面积公式：‎ ‎　　　S台侧=(c'+c)L/2　　其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。‎ ‎　　　台体的体积公式：其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。 ‎ ‎ ‎ 一. 选择题：本大题共14小题；第(1)—(1O)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。‎ ‎（1）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ‎ （A）（M∩P〕∩S （B）（M∩P）∪S ‎ （C〕（M∩P）∩ （D〕（M∩P）∪‎ ‎（2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中 ‎ 元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素 ‎ 的个数是 ‎ （A）4 　　　（B）5 （C）6 （D）7‎ ‎（3）若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab≠0，则g（b）等于 ‎ （A）a 　　　（B）a-1 　 （C）b （D）b-1‎ ‎（4）函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，‎ ‎ 则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上 ‎ （A）是增函数 　　 （B）是减函数 ‎ （C）可以取得最大值M 　　 （D）可以取得最小值-M ‎（5）若f（x）sinx 是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是 ‎ （A）sinx 　　 　（B）cosx （C）sin2x 　 　（D）cos2x ‎（6）曲线x2+y2+2x-2y=0关于 ‎ （A）直线x=轴对称 　　　　　 （B）直线y=-x轴对称 ‎ （C）点（-2，）中心对称 　　　 （D）点（-，0）中心对称 ‎（7）若干毫升水倒人底面半径为‎2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为‎6cm，若将这些水倒 ‎ 人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ‎ （A）6cm 　 （B）‎6cm （C）2cm 　　 （D）3cm ‎（8）若（2x＋）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2）2-（a1+a3）2的值为 ‎ （A）-1 　　　 （B）l 　　（C） 0 （D） 2‎ ‎（9）直线x＋y-2=O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为 ‎ （A） 　　　　（B）　　　　　 （C） 　　　　（D）‎ ‎（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，‎ ‎ EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 ‎ （A）9/2 （B）5 （C）6 （D）15/2‎ ‎（11）若sina＞tga＞ctga(-＜a＜)，则a∈‎ ‎ （A）（-，-） （B）（-，0） （C）（0，） （D）（，）‎ ‎（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的 ‎ 侧面积的比为1：2，那么R=‎ ‎ （A）10 　　（B）15 　　　 （C）20 　　 （D）25‎ ‎（13）给出下列曲线：‎ ‎ ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1‎ ‎ 其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是 ‎ （A）①③ 　　 （B）②④ 　　 　 （C） ①②③ 　　（D）②③④‎ ‎（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装 ‎ 磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有 ‎ （A）5种 　（B）6种 　　　 （C）7种 　　 （D）8种 第II卷（非选择题共90分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。‎ ‎ 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 二，填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线 ‎（15）设椭圆(x2/a2)+(y2/b2)＝1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长 ‎ 　 等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是_______‎ ‎（16) 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作 ‎ 　物生长。要求A、B两种作物的问隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种(用数字作答)‎ ‎（17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________‎ ‎（18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：‎ ‎ ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α ‎ 　以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：‎ ‎　　　______________________________________________________________________‎ 三.解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎（19）（本小题满分10分）‎ ‎　　　解方程-3lgx+4=0‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎　　　数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn-3（n∈N）求（al+a3+…+a2n-1）的值。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎　　　设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ－argz）（0<θ<）的最大值以及对应的θ值 ‎（22）（本小题满分12分〕‎ ‎ 　　　如图，已知正四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所 ‎　　　成的角为45°，AB=a ‎　　　（Ⅰ）求截画EAC的面积；‎ ‎　　　（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；‎ ‎　　　（Ⅲ〕求三棱B1—EAC的体积。‎ ‎（23）（本小题满分14分）‎ ‎　　　下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步 ‎　　　减薄后输出。‎ ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎（1）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需 ‎　　要安装多少对轧辊？‎ ‎　　　‎ ‎（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为‎1600mm，若第k对轧辊有缺陷,‎ ‎　　　每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检 ‎　　　修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。‎ 轧辊序号　‎ ‎1　‎ ‎2　‎ ‎3　‎ ‎4　‎ 疵点间距Lk(单位：mm)‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎1600‎ ‎（24）（本小题满分14分）‎ ‎　　　如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x＝-LB是直线l上的动点，∠BOA的 ‎　　　角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题参考答案及评分标准(文史类)‎ ‎ 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法 与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解 答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14） 题每小题5分，满分60分。‎ ‎　　（1）C （2）A （3）A （4）C （5）B 　　（6）B （7）B （8）A （9）C （10）D 　　（11）B （12）D （13）D （14）C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分 ‎　　（15）1/2 　　（16）12 　　（17）[9,+∞] 　　（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β 三．解答题 　　（19）本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。满分10分。 　　　解：设　(31gx-2)1/2=y,　原方程化为 　　　　　　　y-y2+2=0. －－－－4分 　　　　　解得y=-1, y=2. －－－－6分 　　　　　因为 (31gx-2)1/2≥0,　所以将y=-1舍去， 　　　　　由 (31gx-2)1/2‎ ‎=2 　　　　　得 lgx=2, 　　　　　所以 x=100. －－－－9分 　　　　　经检验x=100为原方程的解．－－－－10分 　（20）本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识，满分12分。 　　解：由 Sn=a1+a2+…+an知 　　　　　　an=Sn-Sn-1(n≥2), 　　　　　　a1=S1,－－－－ 2分 　　　　由已知 an=5Sn-3 得 　　　　　　an-1=5Sn-1-3. －－－－4分 　　　　于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an, 　　　　所以an=-(an-1/4). －－－－6分 　　　　由 a1=5S1-3, 　　　　得 a1=3/4. 　　　　所以，数列{an}是首项a1=3/4，公比q=-1/4的等比数列．－－－－ 8分 　　　　由此知数列 a1,a3,a5,…,a2n-1,……是首项为 a1=3/4, 公比为(-1/4)2的等比数列。 　　　　所以limn→∞(a1+a3+a5+…+a2n-1)=(3/4)/[1-(-1/4)2]=4/5. 12分 　（21）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基本知识，考查综合运用所学数学 　　　　知识解决问题的能力，满分12分。 　　解：由0<θ<π/2得tgθ>0. 　　　　由z＝3cosθ+isinθ得 tg(arg z)=sinθ/3cosθ=1/3tgθ.‎ ‎ －－－－3分 　　　　故 y=tg(θ-arg z) 　　　　　　=(tgθ－1/3tgθ)/(1＋1/3tg2θ) －－－－6分 　　　　　　=2/[(3/tgθ)+tgθ］. 　　　　∵(3/tgθ)+tgθ≥2(3)1/2, 　　　　∴2/[(3/tgθ)+tgθ］≤(3)‎1/2/3‎. －－－－9分 　　　　当且仅当3/tgθ=tgθ(0<θ<π/2)时，即tgθ＝(3)1/2时，上式取等号。 　　　　所以当θ＝π/3时，函数y取得最大值(3)1/2／3。 －－－－12分。 　（22）本小题主要考查空间线面关系，二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算 　　　　能力，满分12分。 　　　　（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。‎ ‎　　　　∵底面ABCD是正方形 　　　　∴DO⊥AC。 　　　又∵ED⊥底面AC， 　　　　∴EO⊥AC。 　　　　∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， －－－－2分 　　　　∴ ∠EOD＝45°。 　　　　DO＝(2)‎1/2/2‎a, AC=(2)1/2a, Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a. 　故 S△EAC=(2)1/2×a2/2 4分 ‎　（II）解：由题设ABCD－A1B‎1C1D1是正四棱柱，得A‎1A⊥底面AC， A‎1A ‎⊥AC。 　　　　　　又 A‎1A⊥A1B1， 　　　　　　∴A‎1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。 －－－－6分 　　　　　　∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO， 　　　　　　∴ D1B∥EO。 　　　　　　又 O是DB的中点， 　　　　　　∴E是D1D的中点， D1B＝2ED＝‎2a。 　　　　　　异面直线A1B1与AC间的距离为(2)1/2a。 －－－－8分 　(III)解法一：如图，连结D1B1。 　　　　　　　∵D1D＝DB＝(2)1/2a， 　　　　　　　∴BDD1B1是正方形。 　　　　　　　连结B1D交D1B于P，交EO于Q。 　　　　　　　∵B1D⊥D1B。 EO∥D1B， 　　　　　　　∴B1D⊥EO 　　　　　　　又 AC⊥EO， AC⊥ED， 　　　　　　　∴AC⊥面BDD1B1 　　　　　　　∴B1D⊥AC 　　　　　　　∴B1D⊥面EAC。 　　　　　　　∴B1Q是三棱锥B1－EAC的高。 －－－－10分 　　　　　　　由DQ＝PQ，得B1Q＝3B1D/4＝‎3a/2。 　　　　　　　∴VB1－EAC＝(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3/4. 　　　　　　　所以三棱锥了－EAC的体积是(2)1/2·a3/4.‎ ‎ －－－－12分 解法二：连结B1O，则VB1－EAC＝2VA－EOB1。‎ ‎　　∵AO⊥面BDD1B1， 　　∴AO是三棱锥A－EOB1的高，AO＝(2)1/2·a/2 　　在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图）， 　　则S△EOB1=‎3a2/4. 　　∴VB1-EAC=2×(1/30×(‎3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4. 　　所以三棱锥B1－EAC的体积是(2)1/2·a3/4.－－－－12分。‎ ‎（23）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题 　　　的能力，满分14分。 　　（I）解：厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n. 　　　　　　为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足 　　　　　　a(1-ro)n≤β， 　　　　　　即 (1-ro)n≤β/a 　－－－－4分 　　　　　　由于(1-ro)n>O, β/a>0,对上式两端取对数，得 　　　　　　nlg(l-ro)≤lg(β/a). 　　　　　　由于lg(1-ro)<0, 　　　　　　所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]. 　　　　　　因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊 ‎ －－－－7分 　（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为 　　　　　　　　‎1600a×(1-r)k×宽度 （其中r＝20％）， 　　　　　　　　而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 　　　　　　　　Lk×a(1-r)4×宽度。 　　　　　　　　因宽度相等，且无损耗，由体积相等得 　　　　　　　　1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%), 　　　　　　　　即 Lk=1600·0.8K-4. －－－－10分 　　　　　　　　由此得 l3=2000(mm), 　　　　　　　　　　　 l2=2500(mm), 　　　　　　　　　　　 l1=‎3125mm) 　　　填表如下：‎ 轧辊序号K ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 疵点间距LK（mm）‎ ‎3125‎ ‎2500‎ ‎2000‎ ‎1600‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分 解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点 　　　　间带钢体积相等，因宽度不变，有： 　　　　1600=L3·(1-0.2), 　　　　所以 L3=1600/0.8=2000(mm). －－－－10分 　　　　同理 L2=L3/0.8=2500(mm). 　　　　　　  L1=L2/0.8=3125(mm). 　　　　填表如下：‎ 轧辊序号K ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 疵点间距LK（mm）‎ ‎3125‎ ‎2500‎ ‎2000‎ ‎1600‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分 （24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合 　　　运用数学知识解决问题的能力。满分14分。 　　　解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx， 　　　　　　　设点C（x,y），则有0≤x1时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。 －－－－14分 　　　解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。 　　　　　　（1）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0