湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解五 15页

湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解五 ‎41．已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 ‎ ‎（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；‎ ‎（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a的值；‎ ‎（3）当a>0时，求数列的最小项。‎ ‎42．已知抛物线C：上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；‎ ‎（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．‎ ‎    例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥 的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．‎ ‎   现有正确命题：过点的直线交抛物线C：于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。‎ ‎   试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。‎ ‎43．已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．‎ ‎   (I)写出，的值; ‎ ‎ (Ⅱ)试比较与的大小，并说明理由；‎ ‎ (Ⅲ)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．‎ ‎44．已知函数f(x)=x3－3ax(a∈R)．‎ ‎ (I)当a=l时，求f(x)的极小值；‎ ‎ (Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值 范围；‎ ‎ (Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．‎ ‎45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中 ‎    ，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的 线上 ‎（1）试用a与n表示；‎ ‎（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。‎ ‎    46．已知，记点P的轨迹为E. ‎ ‎（1）求轨迹E的方程；‎ ‎（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.‎ ‎（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值.‎ ‎ （ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围.‎ ‎47．设x1、 的两个极值点.‎ ‎   （1）若，求函数f(x)的解析式；‎ ‎   （2）若的最大值；‎ ‎   （3）若，求证：‎ ‎48．已知，若数列{an}  成等差数列.‎ ‎  （1）求{an}的通项an;‎ ‎  （2）设 若{bn}的前n项和是Sn，且 ‎49．点P在以为焦点的双曲线上，已知，，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，，求双曲线E的方程；‎ ‎（Ⅲ）若过点（为非零常数）的直线 与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎50.已知函数，，和直线，又．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由．‎ ‎（Ⅲ）如果对于所有的,都有成立，求的取值范围．‎ 黄冈中学2011年高考数学压轴题汇总 详细解答 ‎41.解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎　　　(n≥2) …………3分 由得，，‎ ‎∵，∴ ，…………4分 即从第2项起是以2为公比的等比数列。…………5分 ‎（2 …………8分 当n≥2时，‎ ‎∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，‎ ‎∴3a+4=0，即 。…………11分 ‎（3）由（1）知当时，，‎ 所以，…………13分 所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……‎ 显然最小项是前三项中的一项。…………15分 当时，最小项为8a-1；‎ 当时，最小项为4a或8a-1；………16分 当时，最小项为4a；‎ 当时，最小项为4a或2a+1；…………17分 当时，最小项为2a+1。…………18分 ‎42.  解：（1） …………4分 ‎（2）设（t>0），则，F(1,0)。‎ 因为M、F、N共线，则有，…………6分 所以，解得，…………8分 所以，…………10分 因而，直线MN的方程是。…………11分 ‎（3）“逆向问题”一：‎ ‎①已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。…………13分 证明：设过F的直线为y=k(x)，，，则 由得，所以，…………14分 ‎，…………15分 ‎=，…………16分 所以直线RQ必过焦点A。…………17分 ‎[注：完成此解答最高得6分。]‎ ‎②过点的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。‎ ‎[注：完成此解答最高得6分。]‎ ‎③已知抛物线C：，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。‎ ‎[注：完成此解答最高得7分，其中问题3分。]‎ ‎“逆向问题”二：已知椭圆C：的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。‎ ‎[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]‎ ‎“逆向问题”三：已知双曲线C：的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。‎ ‎[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]‎ 其它解答参照给分。‎ ‎43．(1)，因为所以……………………………… 2分 ‎（2）因为所以…………………………………3分 ‎,……………………………………………5分 因为所以与同号，………………………………………………6分 因为，‎ ‎…，即……………………………………………………………………8分 ‎（3）当时，‎ ‎，……………………………………………………………………10分 所以，……………………………………………12分 所以…………14分 ‎44．（1）∵当a=1时，令=0，得x=0或x=1………………………2分 ‎     当时，当时 ‎    ∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的极小值为=-2.………………………………………………………………4分 ‎    （2）∵………………………………………………………………6分 ‎     ∴要使直线=0对任意的总不是曲线的切线，当且仅当-1<-3a,‎ ‎     ∴.…………………………………………………………………………………………8分 ‎ （3）因在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，…………9分 ‎ ①  当时，，在上单调递增且, ‎ ‎∴，∴.…………………………………………10分 ‎ ②  当时  ‎ i  .当，即时，在上单调递增，此时……………………………………………………………………12分 ii.  当，即时，在上单调递减，在>上单调递增.‎ ‎10 当即时，在上单调递增，在>上单调递减，故.……………………………………14分 ‎20当即时，‎ ‎（ⅰ）当片 14425" src="05.files/image173.gif">即时， ‎ ‎（ⅱ） 当即时，‎ 综上………………………………………………16分 ‎45．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分 ‎（1）‎ 又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，‎ ‎   ‎ ‎（2）∵二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线 又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项，‎ ‎∴对称轴 ‎46．（本题满分14分）本题共2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分 ‎  解：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为…………4分 ‎   （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，‎ ‎    ‎ ‎    解得k2 >3 ………………………………………………………………………………5分 ‎   ‎ ‎      （i） ‎ ‎    ‎ ‎    ，‎ ‎    故得对任意的 ‎    恒成立，‎ ‎    ‎ ‎    ∴当m =－1时，MP⊥MQ.‎ ‎    当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，‎ ‎    综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ……………………………………………………8分 ‎   （ii）是双曲线的右准线，……………………………9分 ‎    由双曲线定义得：，‎ ‎    方法一：‎ ‎                          ………10分 ‎    ，…………………………………………12分 ‎    注意到直线的斜率不存在时，，‎ ‎    综上， ………………………………………………………………14分 ‎    方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，‎ ‎    ，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则 ‎    ‎ ‎       …………12分 ‎ ‎    由 ‎    故： ………………14分 ‎47．（本题满分16分）本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分 解：………1分 ‎   （1）是函数f(x)的两个极值点，‎ ‎    ………………………………………………………………2分 ‎ ………………………3分 ‎ …………………………………………………………4分 ‎   （2）∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，‎ ‎∴x1、x2是方程的两根.‎ ‎∵△= 4b2 + 12a3，  ∴△>0对一切a > 0，恒成立.‎ ‎ ……………………6分 由 ………………7分 ‎ ………………………………………… 8分 令 在（0，4）内是增函数；‎ ‎  ∴h (a)在（4，6）内是减函数.‎ ‎∴a = 4时，h(a)有极大值为96，上的最大值是96，‎ ‎∴b的最大值是 …………………………………………………………………10分 ‎   （3）证法一：∵x1、x2是方程的两根，‎ ‎，…………………………………………………… 12分 ‎ ………… 14分 ‎ ……………………………………16分 证法二：∵x1、x2是方程的两根，‎ ‎.…………………………………………………… 12分 ‎∵x1 < x < x2，‎ ‎ ………………………………………………… 14分 ‎        ‎ ‎……………………………………………16分 ‎48．（14分）解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),……，f(an),2n+4的公差为d，则 ‎2n+4=2+(n+2－1)dd=2,…………………………（2分）‎ ‎……………………（4分）‎ ‎   （2），‎ ‎        ‎ ‎        ‎ ‎49．解：（I）‎ ‎（II）渐近线为设 ‎，‎ 代入化简 ‎（III）假设在轴上存在定点使，‎ 设联立与的方程得 故 由 ‎∴（3）即为，将（4）代入（1）（2）‎ 有代入（5）得 故在轴上存在定点使。‎ ‎50．解：（Ⅰ）因为,所以即,所以a=－2.‎ ‎(Ⅱ)因为直线恒过点（0，9）.‎ 先求直线是y=g(x) 的切线.设切点为,因为.‎ 所以切线方程为,将点（0，9）代入得.‎ 当时，切线方程为y=9, 当时，切线方程为y=12x+9.‎ 由得，即有 当时，的切线，‎ 当时， 的切线方程为是公切线，‎ 又由得或，‎ 当时的切线为，‎ 当时的切线为，，不是公切线 综上所述 时是两曲线的公切线 ‎(Ⅲ).（1）得，当，不等式恒成立，.‎ 当时，不等式为，‎ 而 当时，不等式为， ‎ 当时,恒成立，则 ‎（2）由得 当时，恒成立，，当时有 ‎ 设=，‎ 当时为增函数，也为增函数 要使在上恒成立，则 由上述过程只要考虑，‎ 则当时=‎ 在时，在时在时有极大值即在上的最大值，又，即而当,时，一定成立 综上所述.‎