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- 2021-05-13 发布
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第2炼 充分条件与必要条件
一、基础知识
1、定义:
(1)对于两个条件,如果命题“若则”是真命题,则称条件能够推出条件,记为,
(2)充分条件与必要条件:如果条件满足,则称条件是条件的充分条件;称条件是条件的必要条件
2、对于两个条件而言,往往以其中一个条件为主角,考虑另一个条件与它的关系,这种关系既包含充分方面,也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假,也要判断“若则”真假
3、两个条件之间可能的充分必要关系:
(1)能推出,但推不出,则称是的充分不必要条件
(2)推不出,但能推出,则称是的必要不充分条件
(3)能推出,且能推出,记为,则称是的充要条件,也称等价
(4)推不出,且推不出,则称是的既不充分也不必要条件
4、如何判断两个条件的充分必要关系
(1)通过命题手段,将两个条件用“若……,则……”组成命题,通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出,进而确定充分必要关系。例如,构造命题:“若,则”为真命题,所以,但“若,则”为假命题(还有可能为),所以不能推出;综上,是的充分不必要条件
(2)理解“充分”,“必要”词语的含义并定性的判断关系
① 充分:可从日常用语中的“充分”来理解,比如“小明对明天的考试做了充分的准备”,何谓“充分”?这意味着小明不需要再做任何额外的工作,就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义,是指仅由就可以得到结论,而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例,对于条件,不需再做任何说明或添加任何条件,就可以得到所以可以说对是“充分的”,而反观对,由,要想得到,还要补充一个前提:不能取,那既然还要补充,则说明是“不充分的”
② 必要:也可从日常用语中的“必要”来理解,比如“心脏是人的一个必要器官”,何谓“必要”?没有心脏,人不可活,但是仅有心脏,没有其他器官,人也一定可活么?所以“必要”体现的就是“没它不行,但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例:如果不成立,那么必然不为1,但是仅靠想得到也是远远不够的,还需要更多的补充条件,所以仅仅是“必要的”
(3)运用集合作为工具
先看一个问题:已知Ü ,那么条件“”是“”的什么条件?
由Ü可得到:,且推不出,所以“”是“”充分不必要条件。通过这个问题可以看出,如果两个集合存在包含关系,那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合,判断出两个集合间的包含关系,进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下:
① Ü:是的充分不必要条件,是的必要不充分条件
② :是的充分条件
③ :是的充要条件
此方法适用范围较广,尤其涉及到单变量取值范围的条件时,不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围,都可将问题转化为集合的包含问题,进而快捷求解。例如在中,满足的取值集合为,而满足的取值集合为
所以Ü,进而判断出是的充分不必要条件
5、关于“”的充分必要关系:可从命题的角度进行判断。例如:是的充分不必要条件,则命题“若,则”为真命题,根据四类命题的真假关系,可得其逆否命题“若,则”也为真命题。所以是的充分不必要条件
二、典型例题:
例1:已知,则是的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路:考虑利用集合求解:分别解不等式得到对应集合。,解得:,即;或,即。所以Ü,进而是的充分不必要条件
答案:C
例2:已知,那么是的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路:本题若觉得不方便从条件中直接找到联系,可先从一个条件入手推出其等价条件,再进行判断,比如“”等价于,所以只需判断与的关系即可。根据的单调性可得:如果,则,但是若,在大于零的前提下,才有,而题目中仅说明。所以不能推出。综上可判断是的充分不必要条件
答案:C
小炼有话说:(1)如果所给条件不方便直接判断,那么可以寻找它们的等价条件(充要条件),再进行判断即可
(2)在推中,因为是条件,表达式成立要求,但是在推中,是条件,且对取值没有特殊要求,所以,那么作为结论的就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件,谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义,所以会对变量取值有一定的影响。
例3:已知,如果是的充分不必要条件,则的取值范围是_____
思路:设,因为是的
充分不必要条件,所以Ü,利用数轴可而判断出
答案:
例4:下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )
A. B. C. D.
思路:求的充分不必要条件,则这个条件能够推出,且不能被推出。可以考虑验证四个选项。A选项可以推出,而不一定能够得到(比如),所以A符合条件。对于B,C两个选项均不能推出A,所以直接否定。而D选项虽然可以得到,但是也能推出,所以D是A的充要条件,不符题意
答案:A
例5:(2015浙江温州中学高二期中考试)设集合,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路:先解出两个解集:,的解集与的取值有关:若,则;若,则,观察条件,若,则,所以成立;若,则通过数轴观察区间可得的取值为多个(比如),所以“”是“”的充分不必要条件
答案:A
例6:对于函数,“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路:如果是奇函数,图像关于原点对称,则中位于轴下方的部分沿轴对称翻上来,恰好图像关于轴对称,但的图象关于轴对称未必能得到是奇函数(例如),所以“的图象关于轴对称”是
“是奇函数”的必要不充分条件
答案:B
例7:已知,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路一:可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左右,可以举出反例,则不成立,所以左边无法得到右边。而右左能够成立,所以“”是“”的必要不充分条件
思路二:本题也可以运用集合的思想,将视为一个点的坐标,则条件所对应的集合为,作出两个集合在坐标系中的区域,观察两个区域可得,所以“”是“”的必要不充分条件
答案:B
例8(2015菏泽高三期中考试):设条件:实数满足;条件:实数满足且是的必要不充分条件,则实数的取值范围是_________
思路:本题如果先将,写出,再利用条件关系运算,尽管可行,但,容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“是的必要不充分条件”等价于“是的必要不充分条件”,而为两个不等式,所以考虑求出解集再利用集合关系求解。
解:设,可解得:,
设可解得:,
是的必要不充分条件 是的必要不充分条件
答案:
例9:数列满足,则“”是“数列
成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路:当时,可得,即成等差数列。所以“”是“数列成等差数列”的充分条件。另一方面,如果成等差数列,则 成等差数列,所以有,代入可得:,解得或,经检验,时,,利用数学归纳法可证得,则也为等差数列(公差为0),所以符合题意。从而由“数列成等差数列”无法推出“”,所以“”是“数列成等差数列”的不必要条件
答案: A
例10:设,则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路:因为,所以。故由可得,即,对于能否推出,可考虑寻找各自等价条件:,,通过数形结合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分条件
答案:B
三、近年模拟题题目精选
1、(2014,江西赣州高三摸底考试)若,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、(2014南昌一模,3)设为向量,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、若,则“成立”是“成立”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4、(2014,北京)设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5、(2014上海13校联考,15)集合,若“”是“”的充分条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、(2015,福建)“对任意的,”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7、(2014北京朝阳一模,5)在中,,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8、(2014 湖北黄冈月考,4)已知条件,条件:直线与圆相切,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9、(2014陕西五校二模,1)命题且满足.命题且满足.则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10、(2015北京理科)设是两个不同的平面,是直线且.则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11、(2016,上海交大附中期中)条件“对任意”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
习题答案:
1、答案:B
解析:从集合的角度来看,满足条件的取值范围是或,所以可知“”是“”的必要不充分条件
2、答案:C
解析:的夹角为,从而等价于
3、答案:C
解析:由不等式性质可知:,则即,反之若,则即
4、答案:D
解析:若的项均为负项,则“”,“为递增数列”之间无法相互推出,所以两条件既不充分也不必要
5、答案:B
解析:,,因为,由数轴可得:即可
6、答案:B
解析:左侧条件中恒成立不等式可化为,设,可知,所以若为减函数,则一定有成立。考虑,由可得:,故时,成立,所以
为减函数, 成立。所以使不等式恒成立的的范围包含,而,故“对任意的,”是“”的必要不充分条件
7、答案:B
解析:由正弦定理可得:,所以或,均满足题意,由两条件对应集合关系可知“”是“”的必要不充分条件
8、答案:C
解析:从入手,若与圆相切,则解得,所以
9、答案:C
解析:分别解出满足两个条件的解,;,可知两个集合相等,故
10、答案:B
解析:依面面平行的判定和性质可知:“”无法得到“”,但“”可推出“”
11、答案:B
解析:将不等式变形为,设,且,则。当时,可得,从而在单调递减,,即不等式恒成立。所以若“”,则“对任意”;而“对任意”,未必能得到“”(不等式也成立),所以为“必要不充分条件”
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