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- 2021-05-13 发布
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高考数学基础必修合集
1.集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________.
解析:由A∩B={2}得log2a=2,∴a=4,从而b=2,∴A∪B={2,3,4}.
答案:{2,3,4}
2.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________.
解析:由⇒点(0,2)在y=3x+b上,∴b=2.
3.函数y=的定义域为________.
解析:⇒x∈[-4,0)∪(0,1] .答案:[-4,0)∪(0,1]
4.已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=________.
解析:依题意得x≤1时,3x=2,∴x=log32;
当x>1时,-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案:log32
5.设函数f(x)=,则不等式f(x)>f(1)的解集是________.
解析:由已知,函数先增后减再增,当x≥0,f(x)>f(1)=3时,令f(x)=3,
解得x=1,x=3.故f(x)>f(1)的解集为0≤x<1或x>3.
当x<0,x+6=3时,x=-3,故f(x)>f(1)=3,解得-33.
综上,f(x)>f(1)的解集为{x|-33}.答案:{x|-33}
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
则f(3)的值为________.
解析:∵f(3)=f(2)-f(1),又f(2)=f(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2.答案:-2
7.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当时,都有”的是________.
①f(x)= ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)
解析:∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:①
8.函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数g(x)=f(logax)(00,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.
解析:函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,01. 答案:(1,+∞)
15.若函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a等于________.
解析:由题意知无解或⇒a=.答案:
16.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),其反函数为f-1(x).若f(2)=9,则f-1()+f(1)的值是_
解析:因为f(2)=a2=9,且a>0,∴a=3,则f(x)=3x=,∴x=-1,
故f-1()=-1.又f(1)=3,所以f-1()+f(1)=2.答案:2
17.函数y=的图象大致为________.
解析:∵f(-x)==-=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除④.
又∵y====1+在(-∞,0)、
(0,+∞)上都是减函数,排除②、③.答案:①
18.已知v定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1.
从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)=,又由题设条件得+<0
即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<0
整理得23t2-2t-k>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0
上式对f 一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<-.
19.已知:f(x)=log3,x∈(0,+∞),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列三个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b;若不存在,说明理由.
解:∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x=1时,f(x)最小,log3=1.即a+b=2.
设0<x1<x2≤1,则f(x1)>f(x2).即>恒成立.
由此得>0恒成立.
又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0恒成立,∴b≥1.
设1≤x3<x4,则f(x3)<f(x4)恒成立.∴<0恒成立.
∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4>b恒成立.∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b=1,∴a=1.
∴存在a、b,使f(x)同时满足三个条件.
20.已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14,求实数a的值.
解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1],
(1)当01时,≤ax≤a,∴当ax=a时,f(x)取得最大值.
∴(a+1)2-2=14,∴a=3.综上可知,实数a的值为或3.
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