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- 2021-05-13 发布
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秘密★启用前
2019年普通高等学校统一招生考试终极押题卷(全国新课标Ⅰ)
文科数学
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设,,,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解析:因为1∈A但1B,所以A不对;因为A∩B={2,3},所以B不对;因为A∪B={1,2,3,4},所以C 不对;经检验,D是正确的,故选D.
2. 已知为虚数单位, 设复数,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】:D
【解析】:复数,故选D.
3. 是衡量空气质量的重要指标,我国采用世卫组织的最宽值限定值,即日均值在/以下空气质量为一级,在/空气量为二级,超过/为超标.如图是某地5月1日至10日的(单位:/)的日均值折线图,则下列说法不正确的是( )
A. 这天中有天空气质量为一级
B. 从日到日日均值逐渐降低
C. 这天中日均值的中位数是
D. 这天中日均值最高的是5月日
【答案】:C
【分析】:认真观察题中所给的折线图,对照选项逐一分析,求得结果.
【详解】:这10天中第一天,第三天和第四天共3天空气质量为一级,所以A正确;
从图可知从日到日日均值逐渐降低,所以B正确;
从图可知,这天中日均值最高的是5月日,所以D正确;
由图可知,这天中日均值的中位数是,所以C不正确;故选C.
【点睛】:该题考查的是有关利用题中所给的折线图,描述对应变量所满足的特征,在解题的过程中,需要逐一对选项进行分析,正确理解题意是解题的关键.
4. 已知均为正实数,且,则的最小值为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为均为正实数,所以 (当且仅
数学试题 第15页(共16页) 数学试题 第16页(共16页)
当时等号成立),即的最小值为.选C.
5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,
则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由三视图可知,该几何体由两个同底的圆锥拼接而成,圆锥的底面半径,高,所以该几何体的体积为,故选B.
6.下列函数中同时具有性质:“①最小正周期是,②图象关于对称,③在上是增函数”的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】:A
【解析】:由①最小正周期是,排除C,由②图象关于对称,当时,函数取得最大值或最小值,排除D,由③在上是增函数,
对于A,
对于B,故选A.
7. 执行下面的程序框图,如果输入,,则输出的( )
A.7 B.20
C.22 D.54
【答案】:B
【解析】:
故选:B
8. 已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,函数是定义在上的偶函数,则,,有,又由在上单调递增,则有,故选C.
9. 2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行,为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例,某学生设计了如下的计算机模拟,通过计算机模拟长为8,宽为5的长方形内随机取了N个点,经统计落入五环及其内部的点数为,圆环半径为1,如图,则比值的近似值为
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A. B.
C. D.[:]
【答案】C
【解析】设奥运五环所占的面积为,矩形的面积为, 由在长方形内随机取了个点,经统计落入五环及其内部的点数为,得,则,又单独五个圆环的面积为,
所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例为,故选C.
10.在中,角、、的对边分别为、、,若,,,则的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】:B
【解析】:由正弦定理可得:,即,∴,故选B.
11.设,是双曲线的两个焦点,是上一点,若,且的最小内角为,则的离心率为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为,是双曲线的两个焦点,是双曲线上一点,且满足,
不妨设是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知,
所以,,,
,,为最小边,
的最小内角,根据余弦定理,
,
即,
,,所以,故选C.
12. 某人5次上班图中所花的时间(单位:分钟)分别为,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则=( )
A. B.
C. D.
【答案】:D
解析:这是一道最新数学素养考题的体现,据题意有,按一般同学的常规思路解出,导致运算量大而出错,其实由点到直线的距离公式知:代表直线与圆的交点到直线的距离的倍,所以=。故选D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 已知向量,,满足,且,则______________.
【答案】:1
【解析】:
14.若实数满足,则的最大值为______________.
【答案】:2
【解析】:作出线性可行域如图,当y=2x过点A(2,2)时,纵截距最小,此时z最大,最大值为
数学试题 第15页(共16页) 数学试题 第16页(共16页)
15. 已知函数,则关于的不等式的解集为______________.
【答案】:
【解析】:令则为上的单增奇函数,
16.某工厂现将一棱长为的四面体毛坯件,切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为______________.
【答案】:
【解析】:如图:圆柱与正四面体的各面均相切,设与面相切于F点,则E是BC的中点,且A、E、F三点共线,三点共线,三点共线,
而设圆柱的底面半径为r,高为h,,则有,∴圆柱的体积为,令∴当且仅档
三、解答题(共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。)
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
已知数列是等差数列,,,数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和为.
【答案】:见解析
【解析】:(1)由已知得,解得,所以…………………………2分
当时,, (1)…………………………………………3分
,当时, (2)………………………5分
由(1),(2)得…………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知,所以……………………………………………………8分
……………………………………………………………10分
……………………………………………………………………………………………………12分
【点评】:本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定,一般数列的前项和与
数学试题 第15页(共16页) 数学试题 第16页(共16页)
的关系等基础知识.同时考查裂项相消法求数列的前n项和的探究方法及整体思想,运算求解能力等.
18.(本小题满分12分)
正方体的棱长为1,是边的中点,点在正方体内部或正方体的面上,且满足:面。
(Ⅰ)求动点的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积;
(Ⅱ)设直线与动点的轨迹所在平面所成的角记为,求.
【答案】:见解析
【解析】:解:(Ⅰ)如图,在正方体内作出截面EFGHIJ,(或画出平面图形)…………4分
它的形状是一个边长为正六边形…………………………5分
可以计算出它的面积为……………………………………6分
(Ⅱ)法一:如图,连交于点,连,
所求面//面,所求角=与面所成的角,
面面,线在面的投影为,
即为所求的角…………………………………………11分
在中,由余弦定理知
所以,………………………………………………12分
法二:以为轴,为轴,为轴建立直角坐标系,
则…………………………………………………………8分
可求出平面的法向量为,又………………………………10分
所以,……………………………………………………………………………………12分
【点评】:本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识.同时考查空间向量的应用,考查空间想象能力和运算求解能力.
19.(本小题满分12分)
进入高三,同学们的学习越来越紧张,学生休息和锻炼的时间也减少了,学校为了提高学生的学习效率,鼓励学生加强体育锻炼.某中学高三(3)班有学生50人.现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况,得到如下频率分布直方图.其中数据的分组区间为:
数学试题 第15页(共16页) 数学试题 第16页(共16页)
(1)求学生周平均体育锻炼时间的中位数(保留3位有效数字);
(2)从每周平均体育锻炼时间在 的学生中,随机抽取2人进行调查,求此2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率;
(3)现全班学生中有40%是女生,其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时.若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼,问:有没有90%的把握说明,经常锻炼与否与性别有关?
附:
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)7.29;(2) ;(3)答案见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据中位数的概念得到(a-6)×0.14=0.5-0.32,进而得到参数值;(2)根据古典概型的公式计算即可,先找出基本事件总数10个,再列举出满足条件的事件个数3个,进而得到概率值;(3)根据条件得到图表,由公式得到K值,从而下结论.
试题解析:
(1)设中位数为a,
因为前三组的频率和为:(0.02+0.03+0.11)×2=0.32<0.5,
第四组的频率为:0.14×2=0.28,所以(a-6)×0.14=0.5-0.32,a=
学生周平均体育锻炼时间的中位数是7.29
(3)由已知可知,不超过4小时的人数为:50×0.05×2=5人,其中女生有3人,所以男生有2人,因此经常锻炼的女生有50×40%-3=17人,男生有30-2=28人
所以2×2列联表为:
男生
女生
小计
经常锻炼
28
17
45
不经常锻炼
2
3
5
小计
30
20
50
所以
所以没有90%的把握说明,经常锻炼与否与性别有关.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线截椭圆形成的弦长为,且椭圆的离心率为,过点的直线与椭圆交于两点.[:]
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点,且,则当取得最小值时,求直线的方程.
【答案】:见解析
【解析】:
数学试题 第15页(共16页) 数学试题 第16页(共16页)
(1)联立解得,故. 又,,解得,,故椭圆的标准方程为.…………………….….………………………………4分
(2)设,,故.当直线垂直于轴时,
,,且,此时.………6分
当直线不垂直于轴时,设直线,联立
整理得,所以,,………8分
故
.综上所述,的最小值为,此时直线的方程为.
……………………………………………………………………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数有两个不同的零点
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是的两个零点,证明:
【答案】:见解析
【解析】:(Ⅰ)函数的定义域为, …… 1分
① 当时,易得,则在上单调递减,则至多有一个零点,不符合题意,舍去。 ……………………………………………………… ……………………………………. 2分
② 当时,令得,则列表如下:
x
a
+
0
-
↗
极大值
↘
所以
只需 ………………………………………………………………………………………………… 4分
设
因为则在上单调递增。
又因为所以时;时。
所以[:]
综上时函数有两个零点 …………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知有两个不同的零点,所以,且当时是增函数
不妨设则设 ………………………………8分
则 ……… 10分
时,所以单调递增 …………………………………………………………11分
又所以,所以
因为,所以
因为所以
因为,所以在上单调递减 ,所以
所以 ………………………………………………………………………………………………12分
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若,是曲线上两点,求的值.
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【答案】:见解析
【解析】:(1)将曲线的参数方程化为普通方程为,
即,由,,可得曲线的极坐标方程为,因为曲线经过点,所以,
解得(负值舍去),所以曲线的极坐标方程为.…………………………5分
(2)因为,在曲线上,所以,,
所以.
…………………………………………………………………………………………………10分
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23. (本小题满分10分)
已知函数.
(1)解不等式:;
(2)若关于x的不等式在上无解,求实数的取值范围.
【答案】:见解析
【解析】:(1)依题意,,
当时,原式化为,即,解得;
当时,原式化为,即,解得;
当时,原式化为,即,无解.
综上所述,所求不等式的解集为.…………………………………………………………………5分
(2)由题意可知,时,恒成立.
当时,,得;
当时,,得.综上所述,实数m的取值范围为.…………………………………………………………………10分
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