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  • 2021-05-13 发布

高考数学选择试题分类汇编——函数

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2010 年高考数学试题分类汇编——函数 (2010 上海文数)17.若 是方程式 的解,则 属于区间 [答]( ) (A)(0,1). (B)(1,1.25). (C)(1.25,1.75) (D)(1.75,2) 解析: 知 属于区间(1.75,2) (2010 湖南文数)8.函数 y=ax2+ bx 与 y= (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是 D (2010 湖南文数)3. 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是 A. B. C. D. (2010 浙江理数)(10)设函数的集合 0x lg 2x x+ = 0x 04 1 4 7lg)4 7()75.1(,2lg)( <−==−+= ffxxxf 由构造函数 02lg)2( >=f 0x | | log b a x ^ 10 200y x= − + ^ 10 200y x= + ^ 10 200y x= − − ^ 10 200y x= − , 平面上点的集合 , 则在同一直角坐标系中, 中函数 的图象恰好经过 中两个点的函数的个数是 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 解析:当 a=0,b=0;a=0,b=1;a= ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答案选 B,本题主要考察了 函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数学素养有较高要求,体现了对能力的考 察,属中档题 (2010 全国卷 2 理数)(10)若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18, 则 (A)64 (B)32 (C)16 (D)8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的 计算能力.. 【解析】 ,切线方程是 ,令 , ,令 , ,∴三角形的面积是 ,解得 .故选 A. (2010 全国卷 2 理数)(2).函数 的反函数是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ,又 ; ∴在反函数中 ,故选 D. 2 1 1( ) log ( ) ,0, ,1; 1,0,12 2P f x x a b a b  = = + + = − = −    1 1( , ) ,0, ,1; 1,0,12 2Q x y x y  = = − = −    P ( )f x Q 2 1 2 1 1 2y x −= 1 2,a a −      a = 3 3 2 21 1' ,2 2y x k a − −= − ∴ = − 1 3 2 21 ( )2y a a x a − −− = − − 0x = 1 23 2y a −= 0y = 3x a= 1 21 33 182 2s a a −= ⋅ ⋅ = 64a = 1 ln( 1) ( 1)2 xy x + −= > 2 1 1( 0)xy e x+= − > 2 1 1( 0)xy e x+= + > 2 1 1( R)xy e x+= − ∈ 2 1 1( R)xy e x+= + ∈ (2010 陕西文数)10.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再 增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y =[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 [B] (A)y=[ ] (B)y=[ ] (C)y=[ ] (D)y=[ ] 解析:法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B 法二:设 , ,所以选 B (2010 陕西文数)7.下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x) f(y)”的是 [C] (A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数 解析:本题考查幂的运算性质 (2010 辽宁文数)(12)已知点 在曲线 上, 为曲线在点 处的切线的倾斜角,则 的取值 范围是 (A)[0, ) (B) (C) (D) 解析:选 D. , , 即 , (2010 辽宁文数)(10)设 ,且 ,则 (A) (B)10 (C)20 (D)100 解析:选 A. 又 (2010 辽宁文数)(4)已知 ,函数 ,若 满足关于 的方程 ,则 下列选项的命题中为假命题的是 (A) (B) (C) (D) 10 x 3 10 x + 4 10 x + 5 10 x + )90(10 ≤≤+= ααmx ,时    ==    ++=    +≤≤ 1010 3 10 3,60 xmmx αα 110110 3 10 3,96 +   =+=    ++=    +≤< xmmx αα 时当 )()()( yxfaaayfxf yxyx +=== + P 4 1xy e = + α P α 4 π [ , )4 2 π π 3( , ]2 4 π π 3[ , )4 π π 2 4 4 12 1 2 x x x x x ey e e e e ′ = − = −+ + + + 1 2, 1 0x xe ye ′+ ≥ ∴− ≤ < 1 tan 0α− ≤ < 3[ , )4 πα π∴ ∈ 2 5a b m= = 1 1 2a b + = m = 10 21 1 log 2 log 5 log 10 2, 10,m m m ma b + = + = = ∴ = 0, 10.m m> ∴ = 0a > 2( )f x ax bx c= + + 0x x 2 0ax b+ = 0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ ≤ 0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ ≥ 0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≤ 0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≥ 解析:选 C.函数 的最小值是 等价于 ,所以命题 错误. (2010 辽宁理数)(1O)已知点 P 在曲线 y= 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 a 的取值 范围是 (A)[0, ) (B) (D) 【答案】D 【命题立意】本题考查了导数的几何意义,求导运算以及三角函数的知识。 【解析】因为 ,即 tan a≥-1,所以 (2010 全国卷 2 文数)(7)若曲线 在点 处的切线方程是 ,则 (A) (B) (C) (D) 【解析】A:本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵ ,∴ , 在切线 ,∴ (2010 全国卷 2 文数)(4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A)y= -1(x>0) (B) y= +1(x>0) (C) y= -1(x R) (D)y= +1 (x R) 【 解 析 】 D : 本 题 考 查 了 函 数 的 反 函 数 及 指 数 对 数 的 互 化 , ∵ 函 数 Y=1+LN ( X-1 ) (X>1) , ∴ (2010 江西理数)12.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角 星露出水面部分的图形面积为 ,则导函数 的图像大致为 【答案】A ( )f x 0( ) ( )2 bf f xa − = 0, ( ) ( )x R f x f x∀ ∈ ≥ C 4 1xe + 4 π [ , )4 2 π π 3( , ]2 4 π π 3[ , )4 π π ' 2 4 4 1( 1) 2 x x x x ey e e e − −= = ≥ −+ + + 3 4 π α π≤ ≤ 2y x ax b= + + (0, )b 1 0x y− + = 1, 1a b= = 1, 1a b= − = 1, 1a b= = − 1, 1a b= − = − 02 xy x a a=′ = + = 1a = (0, )b 1 0x y− + = 1b = 1xe + 1xe − 1xe + ∈ 1xe − ∈ 1 1ln( 1) 1, 1 , 1y xx y x e y e− −− = − − = = + ( ) ( )( )0 0S t S = ( )'y S t= 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究能力和应用能 力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除 C;总面积一直保持增加,没有负的改变量, 排除 B;考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变, 产生中断,选择 A。 (2010 江西理数)9.给出下列三个命题: ①函数 与 是同一函数; ②若函数 与 的图像关于直线 对称,则函数 与 的图像也关于直线 对称; ③若奇函数 对定义域内 任意 x 都有 ,则 为周期函数。 其中真命题是 A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,①错误;排除 A、B,验证 ③, ,又通过奇函数得 ,所以 f(x)是周期为 2 的周期函 数,选择 C。 (2010 安徽文数)(7)设 ,则 a,b,c 的大小关系是 (A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a 7.A 【解析】 在 时是增函数,所以 , 在 时是减函数,所以 。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. (2010 安徽文数)(6)设 ,二次函数 的图像可能是 1 1 cosln2 1 cos xy x −= + ln tan 2 xy = ( )y f x= ( )y g x= y x= ( )2y f x= ( )1 2y g x= y x= ( )f x ( ) (2 )f x f x= − ( )f x ( ) [2 ( )] (2 )f x f x f x− = − − = + ( ) ( )f x f x− = − 2 3 2 5 5 53 2 2 5 5 5a b c= = =( ), ( ), ( ) 2 5y x= 0x > a c> 2( )5 xy = 0x > c b> 0abc > 2( )f x ax bx c= + + 6.D 【解析】当 时, 、 同号,(C)(D)两图中 ,故 ,选项(D)符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 或 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标, 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. (2010 重庆文数)(4)函数 的值域是 (A) (B) (C) (D) 解析: (2010 浙江文数)(9)已知 x 是函数 f(x)=2x+ 的一个零点.若 ∈(1, ), ∈( ,+ ),则 (A)f( )<0,f( )<0 (B)f( )<0,f( )>0 (C)f( )>0,f( )<0 (D)f( )>0,f( )>0 解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 (2010 浙江文数)2.已知函数 若 = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析: +1=2,故 =1,选 B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属容易题 (2010 重庆理数)(5) 函数 的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 0a > b c 0c < 0, 02 bb a < − > 0a > 0a < 16 4xy = − [0, )+∞ [0,4] [0,4) (0,4) [ )4 0, 0 16 4 16 16 4 0,4x x x> ∴ ≤ − < ∴ − ∈ 1 1 x− 1x 0x 2x 0x ∞ 1x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2x 1( ) log ( 1),f x x= + ( ) 1,f α = α α α ( ) 4 1 2 x xf x += 解析: 是偶函数,图像关于 y 轴对称 (2010 山东文数)(11)函数 的图像大致是 答案:A (2010 山东文数)(8)已知某生产厂家的年利润 (单位:万元)与年产量 (单位:万件)的函数关系 式为 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 (A)13 万件 (B)11 万件 (C) 9 万件 (D)7 万件 答案:C (2010 山东文数)(5)设 为定义在 上的奇函数,当 时, ( 为常数), 则 (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 答案:A (2010 山东文数)(3)函数 的值域为 A. B. C. D. 答案:A (2010 北京文数)(6)给定函数① ,② ,③ ,④ ,期中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 答案:B (2010 北京文数)⑷若 a,b 是非零向量,且 , ,则函数 是 )(2 41 2 14)( xfxf x x x x =+=+=− − − )(xf∴ 22xy x= − y x 31 81 2343y x x= − + − ( )f x R 0x ≥ ( ) 2 2xf x x b= + + b ( 1)f − = ( ) ( )2log 3 1xf x = + ( )0,+∞ )0,+∞ ( )1,+∞ )1,+∞ 1 2y x= 1 2 log ( 1)y x= + | 1|y x= − 12xy += a b⊥ a b≠ ( ) ( ) ( )f x xa b xb a= + ⋅ − (A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶 函数 答案:A (2010 四川理数)(4)函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 (A) (B) (C) (D) 解析:函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为 x=- 于是- =1 ⇒ m=-2 答案:A (2010 四川理数)(3)2log510+log50.25= (A)0 (B)1 (C) 2 (D)4 解析:2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 答案:C (2010 四川理数)(2)下列四个图像所表示的函数,在点 处连续的是 (A) (B) (C) (D) 解析:由图象及函数连续的性质知,D 正确. 答案:D (2010 天津文数)(10)设函数 , 则 的值域是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法,属于 难题。 依 题 意 知 , 2m = − 2m = 1m = − 1m = 2 m 2 m 0x = 2( ) 2( )g x x x R= − ∈ ( ) 4, ( ), ( ) , ( ).( ) {g x x x g x g x x x g xf x + + < − ≥= ( )f x 9 ,0 (1, )4  − ∪ +∞   [0, )+∞ 9[ , )4 − +∞ 9 ,0 (2, )4  − ∪ +∞   2 2 2 2 2 ( 4), 2( ) 2 , 2 x x x xf x x x x x  − + + < − − − ≥ − 2 2 2, 1 2( ) 2 , 1 2 x x xf x x x x  + < − > − − − ≤ ≤ 或 (2010 天津文数)(6) 设 (A)a0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 (2010 天津理数)(8)若函数 f(x)= ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 (A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞) (C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1) 【答案】C 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中等题。 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。 5 5 4a log 4 b log c log= = =2 5, ( 3), ,则 50 log 4 1,< < 所以b − < 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于 0,同事要 注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 (2010 天津理数)(3)命 题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 【答案】B 【解析】本题主要考查否命题的概念 ,属于容易题。 否命题是同时否定命题的条件结论,故否命题的定义可知 B 项是正确的。 【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。 (2010 天津理数)(2)函数 f(x)= 的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 【答案】B 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 由 及零点定理知 f(x)的零点在区间(-1,0)上。 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 (2010 广东理数)3.若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,则 A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 3.D. . (2010 广东文数)3.若函数 与 的定义域均为 R,则 A. 与 与均为偶函数 B. 为奇函数, 为偶函数 2 1 1 2 2 2 0 a<0 ( ) ( ) log log log ( ) log ( ) a f a f a a a a a >  > − ⇒  > − > −   或 00 1 -1 011 2 aa a aaa a <>  ⇒ ⇒ > < <  <>   或 或 2 3x x+ 1( 1) 3 0, (0) 1 02f f− = − < = > ( ) 3 3 ( ), ( ) 3 3 ( )x x x xf x f x g x g x− −− = + = − = − = − xxxf −+= 33)( xxxg −−= 33)( )(xf )(xg )(xf )(xg C. 与 与均为奇函数 D. 为偶函数, 为奇函数 解:由于 ,故 是偶函数,排除 B、C 由题意知,圆心在 y 轴左侧,排除 A、C 在 , ,故 ,选 D (2010 广东文数)2.函数 的定义域是 A. B. C. D. 解: ,得 ,选 B. (2010 福建文数)7.函数 的零点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】当 时,令 解得 ; 当 时,令 解得 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。 (2010 全国卷 1 文数)(7)已知函数 .若 且, ,则 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易 忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= ,从而错选 D,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 ,所以 a+b= 又 0f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞). )(xf )(xg )(xf )(xg )(33)( )( xfxf xx =+=− −−− )(xf AORt 0∆ 2 1 0 == kA OA 50 5 1 0 5 0 0 =⇒== OOO A )1lg()( −= xxf ),2( +∞ ),1( +∞ ),1[ +∞ ),2[ +∞ 01 >−x 1>x 2x +2x-3,x 0x)= -2+ln x,x>0 f  ≤   ( 0x ≤ 2 2 3 0x x+ − = 3x = − 0x > 2 ln 0x− + = 100x = ( ) | lg |f x x= a b≠ ( ) ( )f a f b= a b+ (1, )+∞ [1, )+∞ (2, )+∞ [2, )+∞ 1 2a a + ≥ 1b a = 1a a + 2( )f a a a = + 1a a + ( )f a a∈ 【解析 2】由 0=  ≤ 1( ( ))9f f = A.4 B. C.-4 D- 【答案】B 【解析】根据分段函数可得 ,则 , 所以 B 正确. (2010 山东理数)(11)函数 y=2x - 的图像大致是 【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - = ,故排除 D,所以选 A。 【命题意图】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。 (2010 山东理数)(4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x )= +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D (2010 湖南理数)8.用 表示 a,b 两数中的最小值。若函数 的图像 关于直线 x= 对称,则 t 的值为 A.-2 B.2 C.-1 D.1 1 4 1 4 3 1 1( ) log 29 9f = = − 21 1( ( )) ( 2) 29 4f f f −= − = = 2x 2x 2x 1 4<04 − 2x 1 2 − 1.(2010 安徽理数) 2. (2010 安徽理数)6、设 ,二次函数 的图象可能是 6.D 【解析】当 时, 、 同号,(C)(D)两图中 ,故 ,选项(D)符合. 0abc > ( ) 2f x ax bx c= + + 0a > b c 0c < 0, 02 bb a < − > 【方法技 巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 或 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. (2010 福建理数)4.函数 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】当 时,令 解得 ; 当 时,令 解得 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。 2010 年高考数学试题分类汇编——函数 (2010 上海文数)14.将直线 、 、 ( , ) 围成的三角 形面积记为 ,则 。 解析:B 所以 BO⊥AC, = 所以 (2010 上海文数)9.函数 的反函数的图像与 轴的交点坐标是 (0,−2) 。 解析:考查反函数相关概念、性质 法一:函数 的反函数为 ,另 x=0,有 y=-2 法二:函数 图像与 x 轴交点为(-2,0),利用对称性可知,函数 的反 函数的图像与 轴的交点为(0,-2) (2010 湖南文数)10.已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间,若用 0.618 法安排试验,则第一次 试点的加入量可以是 g 【答案】171.8 或 148.2 【解析】根据 0.618 法,第一次试点加入量为 110+(210-110) 0.618=171.8 或 210-(210-110) 0.618=148.2 【命题意图】本题考察优选法的 0.618 法,属容易题。 0a > 0a < 2x +2x-3,x 0x)= -2+ln x,x>0 f  ≤   ( 0x ≤ 2 2 3 0x x+ − = 3x = − 0x > 2 ln 0x− + = 100x = 1 : 1 0l x y+ − = 2 : 0l nx y n+ − = 3 : 0l x ny n+ − = *n N∈ 2n ≥ nS lim nn S→∞ = 1 2 )1,1( ++ n n n n nS )1(2 1)2 221(22 1 + −=−+×× n n n n lim nn S→∞ = 1 2 3( ) log ( 3)f x x= + y 3( ) log ( 3)f x x= + 33 −= xy 3( ) log ( 3)f x x= + 3( ) log ( 3)f x x= + y × × (2010 陕西文数)13.已知函数 f(x)= 若 f(f(0))=4a,则实数 a= 2 . 解析:f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2 (2010 重庆文数)(12)已知 ,则函数 的最小值为____________ 解析: ,当且仅当 时, (2010 浙江文数)(16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元, 七月份销售额比六月份递增 x %,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售 总额相等,若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元,则,x 的最小值 。 答案:20 ( 2010 重 庆 理 数 ) ( 15 ) 已 知 函 数 满 足 : , ,则 =_____________. 解析:取 x =1 y=0 得 法一:通过计算 ,寻得周期为 6 法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+ 1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= — f(n-1) 所以 T=6 故 =f(0)= ( 2010 天津文数)(16)设函数 f(x)=x- ,对任意 x 恒成立,则实数 m 的取 值范围是________ 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。 已知 f(x)为增函数且 m≠0 若 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意。 M<0,时有 因为 在 上 的最小值为 2,所以 1+ 即 >1,解得 m<-1. 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求 解。 2 3 2, 1, , 1, x x x ax x + <  + ≥ 0t > 2 4 1t ty t − += 2 4 1 1 4 2( 0)t ty t tt t − += = + − ≥ − > 1t = min 2y = − ( )f x ( ) 11 4f = ( ) ( ) ( ) ( )( )4 ,f x f y f x y f x y x y R= + + − ∈ ( )2010f 2 1)0( =f )........4(),3(),2( fff ( )2010f 2 1 1 x [1,∈ +∞),f ( mx) +mf ( x) <0 2 2 1 1 1 10 2 ( ) 0 1 2mmx mx mx m xmx x m x m − + − < ⇒ − − • < ⇒ + < 22y x= [1, )x∈ +∞ 2 1 2m < 2m ( 2010 天 津 理 数 ) ( 16 ) 设 函 数 , 对 任 意 , 恒成立,则实数 的取值范围是 . 【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 依 据 题 意 得 在 上 恒 定 成 立 , 即 在 上恒成立。 当 时函数 取得最小值 ,所以 ,即 ,解 得 或 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求 解 (2010 广东理数)9. 函数 =lg( -2)的定义域是 . 9. (1,+∞) .∵ ,∴ . (2010 广东文数) (2010 全国卷 1 理数)(15)直线 与曲线 有四个交点,则 的取值范围是 . 2( ) 1f x x= − 2 ,3x  ∈ +∞  24 ( ) ( 1) 4 ( )xf m f x f x f mm   − ≤ − +   m 2 2 2 2 2 2 1 4 ( 1) ( 1) 1 4( 1)x m x x mm − − − ≤ − − + − 3[ , )2x∈ +∞ 2 2 2 1 3 24 1mm x x − ≤ − − + 3[ , )2x∈ +∞ 3 2x = 2 3 2 1y x x = − − + 5 3 − 2 2 1 54 3mm − ≤ − 2 2(3 1)(4 3) 0m m+ − ≥ 3 2m ≤ − 3 2m ≥ ( )f x x 1 0x − > 1x > 1y = 2y x x a= − + a (2010 湖南理数)14.过抛物线 的焦点作斜率为 1 的 直线与该抛物线交于 两点, 在 轴上的正射影分别为 .若梯形 的面积为 ,则 . 3. (2010 福建理数)15.已知定义域为 的函数 满足:①对任意 ,恒有 成立;当 时, 。给出如下结论: ①对任意 ,有 ;②函数 的值域为 ;③存在 ,使 得 ;④“函 数 在区间 上单调递减”的充要条件是 “存在 ,使得 ”。 2 2 ( 0)x py p= > ,A B ,A B x ,D C ABCD 12 2 p = 0 + ∞( , ) f(x) x 0∈ + ∞( , ) f(2x)=2f(x) x ]∈(1,2 f(x)=2-x m Z∈ mf(2 )=0 f(x) [0 + ∞, ) n Z∈ nf(2 +1)=9 f(x) ( , )a b Zk ∈ 1( , ) (2 ,2 )k ka b +⊆ 其 中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④ 【解析】对①,因为 ,所以 ,故①正确;经分析,容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础知识是解答好本题的关键。 4 . (2010 江苏卷)5、设函数 f(x)=x(ex+ ae-x)(x R)是偶函数,则实数 a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 5. (2010 江苏卷)11、已知函数 ,则满足不等式 的 x 的 范围是__▲___。 [解析] 考查分段函数的单调性。 6. (2010 江苏卷)14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形, 记 ,则 S 的最小值是____▲____。 [解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。 设剪成的小 正三角形的边长为 , 则: (方法一)利用导数求函数最小值。 , , 当 时, 递减;当 时, 递增; 故当 时,S 的最小值是 。 (方法二)利用函数的方法求最小值。 令 ,则: m2 >0 mf(2 )=0 ∈ 2 1, 0( ) 1, 0 x xf x x  + ≥=  < 2(1 ) (2 )f x f x− > 2 2 1 2 ( 1, 2 1) 1 0 x x x x  − > ⇒ ∈ − − − > 2(S = 梯形的周长) 梯形的面积 x 2 2 2 (3 ) 4 (3 ) (0 1)11 3 3( 1) (1 )2 2 x xS xxx x − −= = ⋅ < <−⋅ + ⋅ ⋅ − 2 2 4 (3 )( ) 13 xS x x −= ⋅ − 2 2 2 2 4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 )( ) (1 )3 x x x xS x x − ⋅ − − − ⋅ −′ = ⋅ − 2 2 2 2 2 2 4 (2 6) (1 ) (3 ) ( 2 ) 4 2(3 1)( 3) (1 ) (1 )3 3 x x x x x x x x − ⋅ − − − ⋅ − − − −= ⋅ = ⋅− − 1( ) 0,0 1, 3S x x x′ = < < = 1(0, ]3x∈ ( ) 0,S x′ < 1[ ,1)3x∈ ( ) 0,S x′ > 1 3x = 32 3 3 1 1 13 , (2,3), ( , )3 2x t t t − = ∈ ∈ 2 2 2 4 4 1 8 66 83 3 1 tS t t t t = ⋅ = ⋅− + − − + − 故当 时,S 的最小值是 。 2010 年高考数学试题分类汇编——函数 (2010 上海文数)22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 8 分。 若实数 、 、 满足 ,则称 比 接近 . (1)若 比 3 接近 0,求 的取值范围; (2)对任意两个不相等的正数 、 ,证明: 比 接近 ; (3)已知函数 的定义域 .任取 , 等于 和 中 接近 0 的那个值.写出函数 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要 求证明). 解析:(1) x∈(−2,2); (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 , , 因为 , 所以 ,即 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 ; (3) ,k∈Z, f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T=π,函数 f(x)的最小值为 0, 函数 f(x)在区间 单调递增,在区间 单调递减,k∈Z. (2010 湖南文数)21.(本小题满分 13 分) 已知函数 其中 a<0,且 a≠-1. (Ⅰ)讨论函数 的单调性; (Ⅱ)设函数 (e 是自然数的底数)。是否存在 a, 使 在[a,-a]上为减函数?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。 1 3 1,8 3xt = = 32 3 3 x y m x m y m− < − x y m 2 1x − x a b 2 2a b ab+ 3 3a b+ 2ab ab ( )f x { }, ,D x x k k Z x Rπ≠ ∈ ∈ x D∈ ( )f x 1 sin x+ 1 sin x− ( )f x 2 2 2a b ab ab ab+ > 3 3 2a b ab ab+ > 2 2 3 3 2| 2 | | 2 | ( )( ) 0a b ab ab ab a b ab ab a b a b+ − − + − = − + − < 2 2 3 3| 2 | | 2 |a b ab ab ab a b ab ab+ − < + − 2ab ab 1 sin , (2 ,2 )( ) 1 | sin |,1 sin , (2 ,2 ) x x k kf x x x kx x k k π π π ππ π π + ∈ −= = − ≠ − ∈ + [ , )2k k ππ π− ( , ]2k k ππ π + ( ) ( 1)ln 15 ,af x x a x ax = + + − + ( )f x 3 3 2( 2 3 6 4 6 ) , 1 ( ), 1 ( ) { xx ax ax a a e x e f x x g x − + + − − ≤ ⋅ > = ( )g x (2010 浙江理数) (22)(本题满分 14 分)已知 是给定的实常数,设函数 , , 是 的一个极大值点. (Ⅰ)求 的取值范围; (Ⅱ)设 是 的 3 个极值点,问是否存在实数 ,可找到 ,使得 的某种 排列 (其中 = )依次成等差数列?若存在,求所有的 及相应的 ;若不存 在,说明理由. 解析:本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识,同时考查推理论 证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。 (Ⅰ)解:f’(x)=ex(x-a) 令 于是,假设 (1) 当 x1=a 或 x2=a 时,则 x=a 不是 f(x)的极值点,此时不合题意。 (2) 当 x1 a 且 x2 a 时,由于 x=a 是 f(x)的极大值点,故 x1则 1 2 1 2, ( ) 0 .x x g x x x= <是 的两个实根,且 ≠ ≠ ( ) 0g x < 2 (3 ) 2 0a a b a b ab a+ − + + − − < 4 22 3x x a a b= − = − − + 2( 1) 8 2 6a b a a+ − + − = + 4 22 3x x a a b= − = − − 2( 1) 8 2 6a b a a− + − + − = − 2 1x a a x− = − 2 12( )x a a x− = − 1 2( ) 2( )a x x a− = − 于是 此时 综上所述,存在 b 满足题意, 当 b=-a-3 时, 时, 时, (2010 全国卷 2 理数)(22)(本小题满分 12 分) 设函数 . (Ⅰ)证明:当 时, ; 1a b+ − = 9 13 2 − − 4 2 ( 3) 3( 3) 1 1332 4 2 a x a a b a bx b a + + − − − + + −= = = − − = + 4 2 6x a= ± 7 13 2b a += − − 4 1 13 2x a += + 7 13 2b a −= − − 4 1 13 2x a −= + ( ) 1 xf x e−= − x>- 1 ( ) 1 xf x x ≥ + (Ⅱ)设当 时, ,求 a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论 的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 0x ≥ ( ) 1 xf x ax ≤ + 【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本 技能,还要求考生具有较强 的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题, 主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点 之所在. (2010 陕西文数)21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= ,g(x)=alnx,a R。 (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; (2) 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最小值 (a)的解析式; (3) 对(2)中的 (a),证明:当 a (0,+ )时, (a) 1. 解 (1)f’(x)= ,g’(x)= (x>0), 由已知得 =alnx, = , 解德 a= ,x=e2, 两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为 k=f’(e2)= , 切线的方程为 y-e= (x- e2). (2)由条件知 x ∈ ϕ ϕ ∈ ∞ ϕ ≤ 1 2 x a x x 1 2 x a x 2 e  1 2e  1 2e Ⅰ 当 a.>0 时,令 h (x)=0,解得 x= , 所以当 0 < x< 时 h (x)<0,h(x)在(0, )上递减; 当 x> 时,h (x)>0,h(x)在(0, )上递增。 所以 x> 是 h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点。 所以 Φ (a)=h( )= 2a-aln =2 Ⅱ当 a ≤ 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。 故 h(x) 的最小值 Φ (a)的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知 Φ (a)=2a(1-ln2a) 则 Φ 1(a )=-2ln2a,令 Φ 1(a )=0 解得 a =1/2 当 00,所以 Φ (a ) 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时, Φ 1(a )<0,所以 Φ(a ) 在 (1/2, +∞)上递减。 所以 Φ(a )在(0, +∞)处取得极大值 Φ(1/2 )=1 因为 Φ(a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以 Φ(1/2)=1 也是 Φ(a)的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时,总有 Φ(a) ≤ 1 (2010 辽宁文数)(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 . (Ⅰ)讨论函数 的单调性; (Ⅱ)设 ,证明:对任意 , . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ), . 当 a≥0 时, >0,故 f(x)在(0,+ )单调增加; 当 a≤-1 时, <0, 故 f(x)在(0,+ )单调减少; 当-1<a<0 时,令 =0,解得 x= .当 x∈(0, )时, >0; x∈( ,+ )时, <0, 故 f(x)在(0, )单调增加,在( ,+ )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ )单调减少. 所以 等价于 ' 24a 24a ' 24a 24a ' 24a 24a 24a 24a 2( ) ( 1)ln 1f x a x ax= + + + ( )f x 2a ≤ − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2 1 2| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x− ≥ − ∞ 21 2 1( ) 2a ax af x axx x + + +′ = + = ( )f x′ ∞ ( )f x′ ∞ ( )f x′ 1 2 a a +− 1 2 a a +− ( )f x′ 1 2 a a +− ∞ ( )f x′ 1 2 a a +− 1 2 a a +− ∞ ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ − ≥4x1-4x2, 即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 +4 = . 于是 ≤ = ≤0. 从而 g(x)在(0,+ )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ) , .   (2010 辽宁理数)(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 (I)讨论函数 的单调性; (II)设 .如果对任意 , ,求 的取值范围。 解: (Ⅰ) 的定义域为(0,+∞). . 当 时, >0,故 在(0,+∞)单调增加; 当 时, <0,故 在(0,+∞)单调减少; 当-1< <0 时,令 =0,解得 . 则当 时, >0; 时, <0. 故 在 单调增加,在 单调减少. (Ⅱ)不妨假设 ,而 <-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而 , 1 2( ) ( )f x f x− 1( ) 2ag x axx +′ = + 22 4 1ax x a x + + + ( )g x′ 24 4 1x x x − + − 2(2 1)x x − − ∞ ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ − 1ln)1()( 2 +++= axxaxf )(xf 1− ( )f x ( )f x ( ]01, 1 2 1 1( ) 2f x ax x ′ = − +− 21 1 2( ) 0 +1=0 02 2 xf x x x x x − +′ = − ⇒ =− −得 ( ) (0, 2), ( ) 0,x f x′∈ > ( 2 2), ( ) 0,x f x′∈ <, (2) 区间 上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定 待定量 a 的值。 当 有最大值,则必不为减函数,且 >0,为单调递增区间。 最大值在右端点取到。 。 (2010 安徽文数)20.(本小题满分 12 分) 设函数 , ,求函数 的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学知识解 决问题的能力. 【解题指导】(1)对函数 求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等于 0 得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值. 【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为 0 得可能的极 值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点. (2010 重庆文数)(19) (本小题满分 12 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分.) 已知函数 (其中常数 a,b∈R), 是奇函数. (Ⅰ)求 的表达式; (Ⅱ)讨论 的单调性,并求 在区间[1,2]上的最大值和最小值. ( ]01, ( ]01x∈ , 1 1( ) 2f x ax x ′ = − +− max 1(1) 2f f a= = = ( ) sin cos 1f x x x x= − + + 0 2x π< < ( )f x ( ) sin cos 1f x x x x= − + + , , , ( ) 1 2 ( ).4 2 3( ) 0 ( )4 2 2 ( ) x x x x x x x x ππ π ππ = + + = + = = = 解:由f ( x) =si nx- cosx+x+1, 0 (0, )+∞ '( ) 0f x < ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞ 0 1k< < ( 1)'( ) 01 x kx kf x x + −= =+ 1 0x = 2 1 0kx k −= > ( 1,0)− 1( , )k k − +∞ '( ) 0f x > 1(0, )k k − '( ) 0f x < ( )f x ( 1,0)− 1( , )k k − +∞ 1(0, )k k − 1k = 2 '( ) 1 xf x x = + ( )f x ( 1, )− +∞ 1k > ( 1)'( ) 01 x kx kf x x + −= =+ 1 1 ( 1,0)kx k −= ∈ − 2 0x = 1( 1, )k k −− (0, )+∞ '( ) 0f x > 1( ,0)k k − '( ) 0f x < ( )f x 1( 1, )k k −− (0, )+∞ 1( ,0)k k − 1 1 x x af ( x ) a += − 0a > 1a ≠ x 2 1 7a tlog g( x )( x )( x ) =− − (Ⅱ)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,证明: ; (Ⅲ)当 0<a≤ 1 2时,试比较 与 4 的大小,并说明理由. 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考察化归、分类整合等数学思想方 法,以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解:(1)由题意,得 ax= >0 故 g(x)= ,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) 由 得 t=(x-1)2(7-x),x∈[2,6] 则 t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下: x 2 (2,5) 5 (5,6) 6 t' + 0 - t 5 ↗ 极大值 32 ↘ 25 所以 t 最小值=5,t 最大值=32 所以 t 的取值范围为[5,32]……………………………………………………5 分 (2) =ln( ) =-ln 令 u(z)=-lnz2- =-2lnz+z- ,z>0 则 u'(z)=- =(1- )2≥0 所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数 又因为 >1>0,所以 u( )>u(1)=0 即 ln >0 2 2 2 2 1 n k n ng( k ) n( n )= − −> +∑ 1 n k f ( k ) n =  − ∑ 1 1 y y − + 1log 1a x x − + 2 1log log( 1)(7 ) 1a a t x x x x −=− − + 2 1 2 3 1( ) ln ln ln ln3 4 5 1 n k ng k n= −= + + + + +∑  1 2 3 1 3 4 5 1 n n −× × × × + ( 1) 2 n n + 21 z z − 1 z 2 2 11z z + + 1 z ( 1) 2 n n + ( 1) 2 n n + ( 1)12 2 ( 1) ( 1) 2 n n n n n n +− −+ + 即 ………………………………………………………………9 分 (3)设 a= ,则 p≥1,1<f(1)= ≤3 当 n=1 时,|f(1)-1|= ≤2<4 当 n≥2 时 设 k≥2,k∈N *时,则 f(k)= =1+ 所以 1<f(k)≤1+ 从而 n-1< ≤n-1+ =n+1- <n+1 所以 n< <f(1)+n+1≤n+4 综上所述,总有| -n|<4 (2010 天津文数)(20)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= ,其中 a>0. (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考 查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. (Ⅰ)解:当 a=1 时,f(x)= ,f(2)=3;f’(x)= , f’(2)=6.所以曲线 y=f (x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3=6( x-2),即 y=6x-9. (Ⅱ)解:f’(x)= .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x= . 2 2 2( ) 2 ( 1) n k n ng k n n= − −> +∑ 1 1 p+ 1 211 a a p + = +− 2 p (1 ) 1 21(1 ) 1 (1 ) 1 k k k p p p + + = ++ − + − 1 2 2 2 k k k k kC p C p C p+ + + 1 2 2 4 4 41 1( 1) 1k kC C k k k k = + = + −+ + + 2 ( ) n k f k = ∑ 4 4 2 1n − + 4 1n + 1 ( ) n k f k = ∑ 1 ( ) n k f k = ∑ 3 23 1( )2ax x x R− + ∈ 1 1,2 2  −   3 23x x 12 − + 23 3x x− 23 3 3 ( 1)ax x x ax− = − 1 a 以下分两种情况讨论: (1) 若 ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: X 0 f’(x) + 0 - f(x) 极大值 当 等价于 解不等式组得-52,则 .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: X 0 f’(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 当 时,f(x)>0 等价于 即 解不等式组得 或 .因此 20 5 a1 0,( ) 0, 82 1 5 a( ) 0, 0.2 8 f f − >− >    + > >   即 0 a 2< ≤ 1 10 a 2 < < 1 02  −  , 1 a     0, 1 a 1 1 a 2     ,    1 1x 2 2  ∈ −  , 1f(- )2 1f( )>0,a     >0, 2 5 8 11- >0.2 a a −    >0, 2 52 a< < 2 2a < − ( ) ( )xf x xc x R−= ∈ ( )f x ( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x > ( ) ( )f x g x> (Ⅲ)如果 ,且 ,证明 【解析】本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用 函数思想分析解决问题的能力,满分 14 分 (Ⅰ)解:f’ 令 f’(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表 X ( ) 1 ( ) f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以 f(x)在( )内是增函数,在( )内是减函数。 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= (Ⅱ)证明:由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 令 F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当 x>1 时,2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数 F(x)在[1,+∞)是增函数。 又 F(1)= F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x). Ⅲ)证明:(1) 若 (2)若 根据(1)(2)得 由(Ⅱ)可知, > ,则 = ,所以 > ,从而 > .因 为 ,所以 ,又由(Ⅰ)可知函数 f(x)在区间(-∞,1)内事增函数,所以 > ,即 >2. (2010 福建文数)22.(本小题满分 14 分) 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ > ( ) (1 ) xx x e−= − ,1−∞ 1,+∞   ,1−∞ 1,+∞ 1 e 2xe − 2( ) ( 2)x xF x xe x e− −= + − 2 2'( ) ( 1)( 1)x xF x x e e− −= − − 2x-2e 1 0, 0, Fxe−− > >又 所以 -1 -1e e 0− = ,所以x>1时,有 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), 1.x x x x x x− − = Ι = = = ≠1 2由( )及f ( x f ( x 则 与 矛盾。 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), .x x x x x x− − > Ι = = ≠1 2由( )及f ( x f ( x 得 与 矛盾。 1 2 1 2( 1)( 1) 0, 1, 1.x x x x− − < < >不妨设 )2f ( x )2g( x )2g( x )2f ( 2- x )2f ( x )2f ( 2- x )1f ( x )2f ( 2- x 2 1x > 22 1x− < 1x 22 x− 1 2x x+ 已知函数 f(x)= 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2 (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+ 是[ ]上的增函数。 (i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形,则这 两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。 3 21 3 x x ax b− + + 1 m x − 2,+∞ (2010 福建文数)21.(本小题满分 12 分) 某港口 要将一件重要物品用小艇送到 一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口 北偏西 30 °且与该港口相距 20 海里的 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿 直线方向以 海里/ 小时的航行速度匀速行驶,经过 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在 ,使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存 O O A υ t υ υ 在,试确定 的取值范围;若不存在,请说明理由。υ (2010 全国卷 1 理数)(20)(本小题满分 12 分) 已知函数 . (Ⅰ)若 ,求 的取值范围; (Ⅱ)证明: . (2010 四川文数)(22)(本小题满分 14 分) ( ) ( 1)ln 1f x x x x= + − + 2'( ) 1xf x x ax≤ + + a ( 1) ( ) 0x f x− ≥ 设 ( 且 ),g(x)是 f(x)的反函数. (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)当 时,恒有 成立,求 t 的取值范围; (Ⅲ)当 0<a≤ 1 2时,试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 的大小,并说明理由. 1 1 x x af ( x ) a += − 0a > 1a ≠ ( )g x [2,6]x∈ 2( ) log ( 1)(7 )a tg x x x > − − 4n + (2010 湖北文数)21.(本小题满分 14 分) 设函数 ,其中 a>0,曲线 在点 P(0, )处的切线方程 为 y =1 (Ⅰ)确定 b、c 的值 (Ⅱ)设曲线 在点( )及( )处的切线都过点(0,2)证明:当 时, (Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线 的三条不同切线,求 a 的取值范围。 (2010 湖北文数)19.(本小题满分 12 分) 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除。当地有关 部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同事也拆除面积为 b(单位:m2)的旧住房。 (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年拆除的旧住房面 3 21 ax x bx c3 2f − + +(x)= xy f= ( ) 0f( ) xy f= ( ) 1 1x xf,( ) 2 2x xf,( ) 1 2x x≠ 1 2'( ) '( )f x f x≠ xy f= ( ) 积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6) (2010 山东理数)(22)(本小题满分 14 分) 已知函数 . (Ⅰ)当 时,讨论 的单调性; (Ⅱ)设 当 时,若对任意 ,存在 ,使 ,求实数 取值范围. 1( ) ln 1af x x ax x −= − + − ( )a R∈ 1 2a ≤ ( )f x 2( ) 2 4.g x x bx= − + 1 4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ b (Ⅱ)当 时, 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意 , 有 ,又已知存在 ,使 ,所以 , , 即存在 ,使 ,即 ,即 , 所以 ,解得 ,即实数 取值范围是 。 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力; 考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单 调性;(2)利用导数求出 的最小值、利用二次函数 知识或分离常数法求出 在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数。 1 4a = f(x) 1 (0,2)x ∈ 1 1f(x ) f(1)=- 2 ≥ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ 2 1 ( )2 g x− ≥ [ ]2 1,2x ∈ [ ]1,2x∈ 2 1( ) 2 4 2g x x bx= − + ≤ − 2 92 2bx x≥ + 9 22b x x ≥ + ∈ 11 17[ , ]2 4 112 2b ≥ 11 4b ≥ b 11[ , )4 +∞ ( )f x ( )g x (2010 湖南理数)20.(本小题满分 13 分) 已知函数 对任意的 ,恒有 。 (Ⅰ)证明:当 时, ; (Ⅱ)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 恒成立,求 M 的最小值。 解析: (2010 湖北理数)17.(本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万 元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= 若不建隔热层,每年能源消耗费 用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。 2( ) ( , ),f x x bx c b c R= + + ∈ x R∈ ' ( )f x ≤ ( )f x 0x ≥ 2( ) ( )f x x c≤ + 2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− ≤ − (0 10),3 5 k xx ≤ ≤+ (2010 福建理数)20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 , 。 (i)求函数 的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数 ,曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点 ,曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点 ,线段 (Ⅱ)对于一般的三次函数 (Ⅰ)(ii)的正确命题,并予 以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求解能力、推理 论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。 【解析】(Ⅰ)(i)由 得 = , 当 和 时, ; 当 时, , 3(x)=x -xf 其图象记为曲线C (x)f 1x 1 1 1P (x ,f(x )) 2 2 2P (x ,f(x )) 2 2 2P (x ,f(x )) 3 3 3P (x ,f(x )) 1 1 2 2 3 1 2 2 P P ,P P ,S , SC S 与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为S 则 为定值; 3 2g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠ 请给出类似于 3(x)=x -xf ' 2(x)=3x -1f 3 33(x- )(x+ )3 3 3x (- ,- )3 ∈ ∞ 3 3 + ∞( , ) ' (x)>0f 3x (- ,3 ∈ 3 )3 ' (x)<0f 因此, 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 。 (2010 湖北理数) (x)f 3(- ,- )3 ∞ 3 3 + ∞( , ) 3(- ,3 3 )3 (2010 安徽理数)17、(本小题满分 12 分) 设 为实数,函数 。 (Ⅰ)求 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 且 时, 。 a ( ) 2 2 ,xf x e x a x= − + ∈R ( )f x ln 2 1a > − 0x > 2 2 1xe x ax> − + (2010 江苏卷)20、(本小题满分 16 分) 设 是定义在区间 上的函数,其导函数为 。如果存在实数 和函数 ,其中 对任意的 都有 >0,使得 ,则称函数 具有性质 。 (1)设函数 ,其中 为实数。 (i)求证:函数 具有性质 ; (ii)求函数 的单调区间。 (2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数, , ,且 , 若| |<| |,求 的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的 思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 (1)(i) ∵ 时, 恒成立, ∴函数 具有性质 ; )(xf ),1( +∞ )(' xf a )(xh )(xh ),1( +∞∈x )(xh )1)(()(' 2 +−= axxxhxf )(xf )(aP )(xf 2ln ( 1)1 bx xx += + >+ b )(xf )(bP )(xf )(xg )2(P 1 2 1 2, (1, ), ,x x x x∈ +∞ < m 21 )1( xmmx −+=α 21)1( mxxm +−=β 1,1 >> βα )()( βα gg − )()( 21 xgxg − m '( )f x 2 2 2 1 2 1 ( 1)( 1) ( 1) b x bxx x x x += − = − ++ + 1x > 2 1( ) 0( 1)h x x x = >+ )(xf )(bP (ii)(方法一)设 , 与 的符号相同。 当 时, , ,故此时 在区间 上递增; 当 时,对于 ,有 ,所以此时 在区间 上递增; 当 时, 图像开口向上,对称轴 ,而 , 对于 ,总有 , ,故此时 在区间 上递增; (方法二)当 时,对于 , 所以 ,故此时 在区间 上递增; 当 时 , 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴 , 方 程 的 两 根 为 : ,而 当 时, , ,故此时 在区间 上递减; 同理得: 在区间 上递增。 综上所述,当 时, 在区间 上递增; 当 时, 在 上递减; 在 上递增。 (2)(方法一)由题意,得: 又 对任意的 都有 >0, 所以对任意的 都有 , 在 上递增。 又 。 当 时, ,且 , 2 2 2( ) 1 ( ) 12 4 b bx x bx xϕ = − + = − + − ( )xϕ )(' xf 2 1 0, 2 24 b b− > − < < ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b = ± 1x > )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b < − ( )xϕ 12 bx = < − (0) 1ϕ = 1x > ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b ≤ 1x > 2 2 2( ) 1 2 1 ( 1) 0x x bx x x xϕ = − + ≥ − + = − > )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b > ( )xϕ 12 bx = > ( ) 0xϕ = 2 24 4,2 2 b b b b+ − − − 2 2 2 4 4 21, (0,1)2 2 4 b b b b b b + − − −> = ∈ + − 2 4(1, )2 b bx + −∈ ( )xϕ 0< )(' xf 0< )(xf 2 4(1, )2 b b+ − )(xf 2 4[ , )2 b b+ − +∞ 2b ≤ )(xf ),1( +∞ 2b > )(xf 2 4(1, )2 b b+ − )(xf 2 4[ , )2 b b+ − +∞ 2 2'( ) ( )( 2 1) ( )( 1)g x h x x x h x x= − + = − )(xh ),1( +∞∈x )(xh ),1( +∞∈x ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞ 1 2 1 2, (2 1)( )x x m x xα β α β+ = + − = − − 1 , 12m m> ≠ α β< 1 1 2 2 1 2( 1) (1 ) , (1 ) ( 1)x m x m x x m x m xα β− = − + − − = − + − 综合以上讨论 ,得:所求 的取值范围是(0,1)。 ( 方 法 二 ) 由 题 设 知 , 的 导 函 数 , 其 中 函 数 对 于 任 意 的 都成立。所以,当 时, ,从而 在区间 上单调递增。 ①当 时,有 , ,得 ,同理可得 ,所以由 的单调 性知 、 , 从而有| |<| |,符合题设。 ②当 时, , , 于 是 由 及 的 单 调 性 知 ,所以| |≥| |,与题设不符。 ③当 时,同理可得 ,进而得| |≥| |,与题设不符。 因此综合 ①、②、③得所求的 的取值范围是(0,1)。 m ( )g x 2'( ) ( )( 2 1)g x h x x x= − + ( ) 0h x > ),1( +∞∈x 1x > 2'( ) ( )( 1) 0g x h x x= − > ( )g x ),1( +∞ (0,1)m∈ 1 2 1 1 1(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − > + − = 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − < + − = 1 2( , )x xα ∈ 1 2( , )x xβ ∈ ( )g x ( )g α ( )g β 1 2( ( ), ( ))g x g x∈ )()( βα gg − )()( 21 xgxg − 0m ≤ 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − ≥ + − = 1 2 1 1 1(1 ) (1 )m x mx m x mx xβ = − + ≤ − + = 1, 1α β> > ( )g x 1 2( ) ( ) ( ) ( )g g x g x gβ α≤ < ≤ )()( βα gg − )()( 21 xgxg − 1m ≥ 1 2,x xα β≤ ≥ )()( βα gg − )()( 21 xgxg − m