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- 2021-05-13 发布
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2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)
一、填空题
1.函数的定义域是______.
2.已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组的解为,则实数a=______.
3.计算=______.
4.若向量,满足且与的夹角为,则=______.
5.若复数z1=3+4i,z2=1﹣2i,其中i是虚数单位,则复数的虚部为______.
6.在的展开式中,常数项是______.(用数字作答)
7.已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c,若,则角C的大小是______.
8.已知等比数列{an}的各项均为正数,且满足:a1a7=4,则数列{log2an}的前7项之和为______.
9.在极坐标系中曲线C:ρ=2cosθ上的点到(1,π)距离的最大值为______.
10.袋中有5只大小相同的乒乓球,编号为1至5,从袋中随机抽取3只,若以ξ表示取到球中的最大号码,则ξ的数学期望是______.
11.已知双曲线的右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P,M在直线PF上,且满足,则=______.
12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务,要求每个班级至多两位老师带队,且教师甲、乙不能单独带队,则不同的带队方案有______.(用数字作答)
13.若关于x的方程(4x+)﹣|5x﹣|=m在(0,+∞)内恰有三个相异实根,则实数m的取值范围为______.
14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:已知椭圆的标准方程为,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),其体积等于______.
二、选择题
15.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上递增的是( )
A.y=2|x| B.y=lnx C. D.
16.已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,则“”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
17.设x,y,z是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( )
A. B.
C. D.|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|
18.已知命题:“若a,b为异面直线,平面α过直线a且与直线b平行,则直线b与平面α的距离等于异面直线a,b之间的距离”为真命题.根据上述命题,若a,b为异面直线,且它们之间的距离为d,则空间中与a,b均异面且距离也均为d的直线c的条数为( )
A.0条 B.1条
C.多于1条,但为有限条 D.无数多条
三、解答题
19.如图,底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,,D是棱AA1上的动点.
(1)证明:DC1⊥BC;
(2)求三棱锥C﹣BDC1的体积.
20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10(米),,∠OAP=∠OBP.设∠OAP=θ,四边形OAPB的面积为S.
(1)将S表示为θ的函数,并写出自变量θ的取值范围;
(2)求出S的最大值,并指出此时所对应θ的值.
21.已知函数,其中a∈R.
(1)根据a的不同取值,讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)已知a>0,函数f(x)的反函数为f﹣1(x),若函数y=f(x)+f﹣1(x)在区间[1,2]上的最小值为1+log23,求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.
22.已知椭圆C:的焦距为,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且在椭圆C上存在点M,使得:(其中O为坐标原点),则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l垂直于x轴,且具有性质H,求直线l的方程;
(3)求证:在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.
23.已知数列{an}和{bn}满足:,且对一切n∈N*,均有.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若λ=2,求数列{bn}的前n项和Sn;
(3)设,记数列{cn}的前n项和为Tn,问:是否存在正整数λ,对一切n∈N*,均有T4≥Tn恒成立.若存在,求出所有正整数λ的值;若不存在,请说明理由.
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题
1.函数的定义域是 {x|x≥﹣2且x≠1} .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零,列出不等式组求解,最后要用集合或区间的形式表示.
【解答】解:由题意,要使函数有意义,则,
解得,x≠1且x≥﹣2;
故函数的定义域为:{x|x≥﹣2且x≠1},
故答案为:{x|x≥﹣2且x≠1}.
2.已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组的解为,则实数a= 2 .
【考点】线性方程组解的存在性,唯一性.
【分析】由已知得,把x=﹣1,y=2,能求出a的值.
【解答】解:∵线性方程组的增广矩阵为,该线性方程组的解为,
∴,
把x=﹣1,y=2,代入得﹣a+6=4,解得a=2.
故答案为:2.
3.计算= .
【考点】数列的极限.
【分析】将1+2+3+…+n=的形式,在利用洛必达法则,求极限值.
【解答】解:原式====
故答案为:
4.若向量,满足且与的夹角为,则= .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据可得答案.
【解答】解:∵且与的夹角为
∴=7
∴则=
故答案为:
5.若复数z1=3+4i,z2=1﹣2i,其中i是虚数单位,则复数的虚部为 ﹣3 .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵z1=3+4i,z2=1﹣2i,
∴,,
∴==,
∴复数的虚部为﹣3.
故答案为:﹣3.
6.在的展开式中,常数项是 15 .(用数字作答)
【考点】二项式系数的性质.
【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.
【解答】解:∵在的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•,
令r﹣6=0,求得r=4,故的展开式中的常数项是5.
故答案为:15.
7.已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c,若,则角C的大小是 .
【考点】二阶行列式的定义.
【分析】由二阶行列式性质得a2+b2﹣c2=ab,由此利用余弦定理求出cosC=,从而能求出角C的大小.
【解答】解:∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c,,
∴a2﹣c2=﹣b2+ab,即a2+b2﹣c2=ab,
∴cosC===,
∵C是△ABC的内角,∴C=.
故答案为:.
8.已知等比数列{an}的各项均为正数,且满足:a1a7=4,则数列{log2an}的前7项之和为 7 .
【考点】等比数列的性质.
【分析】由等比数列的性质可得:a1a7=a2a6=a3a5=4,再利用指数与对数的运算性质即可得出.
【解答】解:由等比数列的性质可得:a1a7=a2a6=a3a5=4=4,
∴数列{log2an}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1a2…a7)=log227=7,
故答案为:7.
9.在极坐标系中曲线C:ρ=2cosθ上的点到(1,π)距离的最大值为 3 .
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到点(1,π)的距离,进而得出最大值.
【解答】解:曲线C:ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标方程:x2+y2=2x,
配方为:(x﹣1)2+y2=1,可得圆心C(1,0),半径r=1.
点P(1,π)化为直角坐标P(﹣1,0).
∴|CP|=2,
∴曲线C:ρ=2cosθ上的点到(1,π)距离的最大值=2+1=3.
故答案为:3.
10.袋中有5只大小相同的乒乓球,编号为1至5,从袋中随机抽取3只,若以ξ表示取到球中的最大号码,则ξ的数学期望是 .
【考点】离散型随机变量的期望与方差.
【分析】由已知得ξ的可能取值为3,4,5,分别求出相应的概率,由此能求出E(ξ).
【解答】解:由已知得ξ的可能取值为3,4,5,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
∴E(ξ)==.
故答案为:.
11.已知双曲线的右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P,M在直线PF上,且满足,则= .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得双曲线的a,b,c,可得F(,0),渐近线方程为y=±2x,设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2(x﹣),
代入双曲线的方程可得P的坐标,由两直线垂直的条件可得直线OM的方程,联立直线y=2(x﹣),求得M的坐标,由向量共线的坐标表示,计算即可得到所求值.
【解答】解:双曲线的a=1,b=2,c==,
可得F(,0),渐近线方程为y=±2x,
设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2(x﹣),
代入双曲线的方程,可得x=,
可得P(,﹣),
由直线OM:y=﹣x和直线y=2(x﹣),可得M(,﹣),
即有==.
故答案为:.
12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务,要求每个班级至多两位老师带队,且教师甲、乙不能单独带队,则不同的带队方案有 54 .(用数字作答)
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,采用分类原理,对甲,乙老师分当甲,乙带不同班和当甲,乙带相同班时分别求解,最后求和即可.
【解答】解:当甲,乙带不同班时:
×=36种;
当甲,乙带相同班时,
=18种;
故共有54中,
故答案为:54.
13.若关于x的方程(4x+)﹣|5x﹣|=m在(0,+∞)内恰有三个相异实根,则实数m的取值范围为 (6,) .
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【分析】分类讨论以去掉绝对值号,从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数,从而解得.
【解答】解:当x≥时,5x﹣≥0,
∵方程(4x+)﹣|5x﹣|=m,
∴(4x+)﹣(5x﹣)=m,即﹣x+=m;
∴m≤.
当0<x<时,5x﹣<0,
∵方程(4x+)﹣|5x﹣|=m,
∴(4x+)+(5x﹣)=m,
即9x+=m;
∵9x+≥6;
∴当m<6时,方程9x+=m无解;
当m=6时,方程9x+=m有且只有一个解;
当6<m<10时,方程9x+=m在(0,1)上有两个解;
当m=10时,方程9x+=m的解为1,;
综上所述,实数m的取值范围为(6,).
故答案为:(6,).
14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:已知椭圆的标准方程为,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),其体积等于 .
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】构造一个底面半径为2,高为5的圆柱,从中挖去一个圆锥,则由祖暅原理可得:椭球的体积为几何体体积的2倍.
【解答】解:椭圆的长半轴为5,短半轴为2,
现构造一个底面半径为2,高为5的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,
根据祖暅原理得出椭球的体积V=2(V圆柱﹣V圆锥)=2(π×22×5﹣)=.
故答案为:.
二、选择题
15.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上递增的是( )
A.y=2|x| B.y=lnx C. D.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可.
【解答】解:A.函数y=2|x|为偶函数,不满足条件.
B.函数的定义域为(0,+∞),函数为非奇非偶函数,不满足条件.
C.是奇函数,在(0,+∞)上递增,满足条件.
D.是奇函数,当0<x<1时函数为减函数,当x>1时函数为增函数,不满足条件.
故选:C
16.已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,则“”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】“”,可得0≤tanα<,“”;反之不成立,α可能为钝角.
【解答】解:“”⇒0≤tanα<⇒“”;
反之不成立,α可能为钝角.
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
17.设x,y,z是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( )
A. B.
C. D.|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|
【考点】基本不等式.
【分析】A.x,y,是互不相等的正数,令t=x+≥2,可得:﹣=t2﹣t﹣2=(t﹣2)(t+1)≥0,即可判断出真假;
B.﹣=﹣,即可判断出真假.
C.取x=1,y=2,即可判断出真假;
D.|x﹣y|=|(x﹣z)+(z﹣y)|≤|x﹣z|+|y﹣z|,即可判断出真假.
【解答】解:A.∵x,y,是互不相等的正数,令t=x+≥2,∴﹣=t2﹣t﹣2=(t﹣2)(t+1)≥0,正确;
B.∵>,∴﹣=﹣≤0,∴≤,正确.
C.取x=1,y=2,则|x﹣y|+=1﹣1=0<2,因此不正确;
D.|x﹣y|=|(x﹣z)+(z﹣y)|≤|x﹣z|+|y﹣z|,正确.
故选:C.
18.已知命题:“若a,b为异面直线,平面α过直线a且与直线b平行,则直线b与平面α的距离等于异面直线a,b之间的距离”为真命题.根据上述命题,若a,b为异面直线,且它们之间的距离为d,则空间中与a,b均异面且距离也均为d的直线c的条数为( )
A.0条 B.1条
C.多于1条,但为有限条 D.无数多条
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】如图所示,给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1.取AD=a,A1B1=b,假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d.若平面BCC1B1∥a,平面CDD1C1∥b,且满足它们之间的距离等于d,其交线CC1满足条件.把满足平面BCC1B1∥a,平面CDD1C1∥b,且它们之间的距离等于d的两个平面旋转,则所有的交线CC1都满足条件,即可判断出结论.
【解答】解:如图所示,给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1.
取AD=a,A1B1=b,假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d.
平面BCC1B1∥a,平面CDD1C1∥b,且满足它们之间的距离等于d,其交线CC1满足与a,b均异面且距离也均为d的直线c.
把满足平面BCC1B1∥a,平面CDD1C1∥b,且它们之间的距离等于d的两个平面旋转,则所有的交线CC1都满足与a,b均异面且距离也均为d的直线c.
因此满足条件的直线有无数条.
故选:D.
三、解答题
19.如图,底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,,D是棱AA1上的动点.
(1)证明:DC1⊥BC;
(2)求三棱锥C﹣BDC1的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直,由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1,进一步得到BC⊥DC1;
(2)利用等积法,把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解.
【解答】(1)证明:如图,∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥底面ABC,又CC1⊂面ACC1A1,
∴面ACC1A1⊥底面ABC,而面ACC1A1∩底面ABC=AC,
由△ABC为Rt△,且AC=BC,得BC⊥AC,
∴BC⊥平面ACC1A1,
∴BC⊥DC1;
(2)解:由(1)知,BC⊥平面ACC1A1,
∵,
∴AA1=2,
则
∴=.
20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长).已知
|PA|=|PB|=10(米),,∠OAP=∠OBP.设∠OAP=θ,四边形OAPB的面积为S.
(1)将S表示为θ的函数,并写出自变量θ的取值范围;
(2)求出S的最大值,并指出此时所对应θ的值.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)在三角POB中,由正弦定理,得:,得OB=10(cosθ+sinθ).再利用三角形面积计算公式即可得出.
(2)由(1)利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出.
【解答】解:(1)在三角POB中,由正弦定理,得:,得OB=10(cosθ+sinθ).
所以,S==100(sinθcosθ+sin2θ),θ∈∪.
(2)S=100(sinθcosθ+sin2θ)=50(2sinθcosθ+2sin2θ)
=50(sin2θ﹣cos2θ+1)=,
所以S的最大值为:50+50,θ=.
21.已知函数,其中a∈R.
(1)根据a的不同取值,讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)已知a>0,函数f(x)的反函数为f﹣1(x),若函数y=f(x)+f﹣1(x)在区间[1,2]上的最小值为1+log23,求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.
【考点】函数的最值及其几何意义;反函数.
【分析】(1)由得f(﹣x)=﹣ax+log2(2x+1)﹣x,从而可得当a=时函数为偶函数;
(2)可判断与f﹣1(x)都是增函数,从而可得f(1)+f﹣1(1)=1+log23,从而解出a.
【解答】解:(1)∵,
∴f(﹣x)=﹣ax+log2(2﹣x+1)
=﹣ax+log2(2x+1)﹣log22x
=﹣ax+log2(2x+1)﹣x,
∴f(﹣x)=f(x),
即﹣ax﹣x=ax,
故a=;此时函数为偶函数,
若a≠﹣,函数为非奇非偶函数;
(2)∵a>0,
∴单调递增,
又∵函数f(x)的反函数为f﹣1(x),
∴f﹣1(x)单调递增;
∴f(1)+f﹣1(1)=1+log23,
即a+log23+f﹣1(1)=1+log23,
故f﹣1(1)=1﹣a,
即a(1﹣a)+log2(2a﹣1+1)=1,
解得,a=1;
故f(2)=2+log25.
22.已知椭圆C:的焦距为,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且在椭圆C上存在点M,使得:(其中O为坐标原点),则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l垂直于x轴,且具有性质H,求直线l的方程;
(3)求证:在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由椭圆的焦距为,右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(2)设直线l:x=t,(﹣2<t<2),则A(t,y1),B(t,y2),设M(xm,ym),求出, =﹣,由点M在椭圆C上,能求出直线l的方程.
(3)假设在椭圆C上存在三个不同的点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),使得直线PQ、QR、RP都具有性质H,利用反证法推导出相互矛盾结论,从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.
【解答】解:(1)∵椭圆C:的焦距为,∴c=,
∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形,∴c=,解得b=1,
∴a2=b2+c2=4,
∴椭圆C的方程为.
(2)设直线l:x=t,(﹣2<t<2),则A(t,y1),B(t,y2),
其中y1,y2满足:,y1+y2=0,
设M(xm,ym),
∵(其中O为坐标原点),
∴, =﹣,
∵点M在椭圆C上,∴,
∴49t2+4﹣t2=100,∴t=,
∴直线l的方程为x=或x=﹣.
证明:(3)假设在椭圆C上存在三个不同的点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3),
使得直线PQ、QR、RP都具有性质H,
∵直线PQ具有性质H,∴在椭圆C上存在点M,使得:,
设M(xm,ym),则,ym=,
∵点M在椭圆上,∴+()2=1,
又∵,,∴=0,①
同理: =0,②,,③
1)若x1,x2,x3中至少一个为0,不妨设x1=0,则y1≠0,
由①③得y2=y3=0,即Q,R为长轴的两个端点,则②不成立,矛盾.
2)若x1,x2,x3均不为0,则由①②③得=﹣>0,矛盾.
∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.
23.已知数列{an}和{bn}满足:,且对一切n∈N*,均有.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若λ=2,求数列{bn}的前n项和Sn;
(3)设,记数列{cn}的前n项和为Tn,问:是否存在正整数λ,对一切n∈N*,均有T4≥Tn恒成立.若存在,求出所有正整数λ的值;若不存在,请说明理由.
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】(1)化简可得,从而写出,即;
(2)当λ=2时,an=n2+n,从而求得bn=2n,从而求等比数列前n项和.
(3)仿照(2)可得,bn=2n+r﹣2,从而化简cn=2﹣r﹣2n﹣(),从而分类讨论以确定λ的值.
【解答】解:(1)证明:∵,
两边除以n(n+1)得,,
即,故数列为等差数列,
故,故;
(2)当λ=2时,an=n2+n,
∵,
∴b1==2,
bn+1===2n+1,
综上所述,bn=2n,
Sn==2n+1﹣2;
(3)仿照(2)可得,
,bn=2n+r﹣2,
cn==﹣=2﹣r﹣2n﹣(),
∵对一切n∈N*,均有T4≥Tn恒成立,
∴当n>4时,cn≤0;
若λ=1,则cn=1﹣2n﹣,
c5=﹣>0,故T5>T4,故不成立;
若λ=2,则cn=﹣2n﹣,
故c1=﹣=0,c2=﹣,c3=﹣>0,c4=﹣>0,
c5=﹣<0,
且当n≥5时,2n>n2+n,
故成立;
若λ=3,则cn=﹣,
故c1=﹣>0,c2=﹣>0,c3=﹣>0,c4=﹣>0,
故且当n≥5时, •2n>n2+2n,故成立;
若λ≥4,则cn=﹣,
c4=﹣,
令f(r)=16﹣16﹣4(r﹣1),
则f′(r)=16•ln•﹣4=4(ln4•﹣1)>0,
故f(r)在[4,+∞)上是增函数,
故f(4)=16×2﹣16﹣4×3>0,
故c4<0,
故T3>T4,故不成立;
综上所述,λ的值为2或3.
2016年9月20日
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