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- 2021-05-13 发布
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高考中有关恒成立问题的解题策略
恒成立问题是历年高考的一个热点..这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.
恒成立问题在解题过程中有以下几种方法和策略.
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.
方法一、赋特值——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
例1.(2012江西)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则
A.2 B.4 C.5 D.10.
略解:题目是对所有直角三角形恒成立,故取等腰直角三角形并且直角边长为2这样一种特殊的三角形,由此,|PA|,|PB|,|PB|都为定值。易得答案D.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
方法二、一次函数型——利用单调性求解
对于一次函数有:
例2.若不等式对满足的所有都成立,求x的范围围.
分析:在不等式中出现了两个字母:x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,我们的原则是谁有范围谁当自变量,显然将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.
解析:我们可以用改变主元的办法,将m视为主变元,即将元不等式化为:,;令,则时,恒成立,所以只需即,所以x的范围是)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.
策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解,即
f(x)>0恒成立;f(x)<0恒成立.
例3(2013高考重庆)设,不等式对恒成立,则
的取值范围为
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.
例4(07年山东卷文15)当时,不等式恒成立,则的取值范围是
解析: 设, 则有 由此可得
这种类型利用了二次函数的根的分布
总结:,设且a>0
上恒成立
策略四、变量分离型——分离变量,巧妙求解
利用函数的最值(或值域)
(1)对任意x都成立;
(2)对任意x都成立。简单计作:“大的大于最大的,小的小于最小的”例5(07年山东卷文15)当时,不等式恒成立,则的取值范围是 .
解析: 当时,由得.令,则易知在上是减函数,所以时,则
所以
利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题.
策略五、数形结合——直观求解
例6 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是
O
(A) (B) (C) (D)
解析:对,不等式恒成立,
则由一次函数性质及图像知,即.
上述例子剖析了近年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”.
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