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- 2021-05-13 发布
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专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围
一、能力突破训练
1.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.
(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
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3.已知函数f(x)=ax+xln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;
(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:.
4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
5.设函数f(x)=aln x,g(x)=x2.
(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围;
(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.
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6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
二、思维提升训练
7.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.
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专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围
一、能力突破训练
1.解 (1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,
可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
则g'(x)=-2a=,
当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;
当a>0时,x时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为
(2)由(1)知,f'(1)=0.
①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当01,由(1)知f'(x)在区间内单调递增,
可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>时,0<<1,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.
综上可知,实数a的取值范围为a>
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2.解 (1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-,
设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=,
当-10时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.
所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增.
又f(0)=0,故当-10时,f(x)>0.
(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.
②若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-
由于当|x|0,故h(x)与f(x)符号相同.
又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.
h'(x)=
若6a+1>0,则当00,故x=0不是h(x)的极大值点.
若6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.
所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.
综上,a=-
3.解 (1)∵f(x)=ax+xln x,∴f'(x)=a+ln x+1.
又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,
∴f'(e)=3,即a+ln e+1=3,∴a=1.
(2)由(1)知,f(x)=x+xln x,
10
若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k对任意x>0成立.
令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-
令g'(x)=0,解得x=1.
当00,
∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;
当x>1时,g'(x)<0,
∴g(x)在区间(1,+∞)内是减函数.
故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.
(3)证明:令h(x)=,则h'(x)=
由(2)知,x≥1+ln x(x>0),∴h'(x)≥0,
∴h(x)是区间(1,+∞)内的增函数.
∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即,
∴mnln n-nln n>mnln m-mln m,
即mnln n+mln m>mnln m+nln n,
∴ln nmn+ln mm>ln mmn+ln nn.
整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n.
∴(mnn)m>(nmm)n,
4.解 (1)f'(x)=2ax-(x>0).
当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.
当a>0时,由f'(x)=0,有x=
此时,当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
(2)令g(x)=,s(x)=ex-1-x.
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则s'(x)=ex-1-1.
而当x>1时,s'(x)>0,
所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.
当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.
故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.
当01.
由(1)有f0,
所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.
当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).
当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x->0.
因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.
又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.
综上,a
5.解 (1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),
即aln x+2x≤(a+3)x-x2,
化简,得a(x-ln x)x2-x.
由x∈[1,e]知x-ln x>0,
因而a设y=,
则y'=
∵当x∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,
∴y'>0在x∈[1,e]时成立.
由不等式有解,可得a≥ymin=-,
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即实数a的取值范围是
(2)当a=1时,f(x)=ln x.
由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立,
设t(x)=x2-xln x(x>0).
由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,
∴t'(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立.
因此,记h(x)=,得h'(x)=
∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.
由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.
6.(1)解 由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,
所以g'(x)=2-
当00,φ(e)=--2<0.
故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.
令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).
由u'(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
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所以0==a0<<1.
即a0∈(0,1).
当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.
由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,
故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.
所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.
综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
二、思维提升训练
7.解 (1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a,
①当a≥1时,Δ≤0,则f'(x)≥0,此时f(x)在R上是增函数;
②当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-,x2=-1+,
解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,
解不等式x2+2x+a<0,解得-1-0,
故方程4+14x0+7+12a=0的两根为x1'=,x'2=
由x0>0,得x0=x'2=,
依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-
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