2011年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析 13页

‎2011年重庆市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2011•重庆）在等差数列{an}中，a2=2，a3=4，则a10=（　　）‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差，写出等差数列的第十项的表示式，用第三项加上七倍的公差，代入数值，求出结果．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=2，a3=4，‎ ‎∴d=a3﹣a2=4﹣2=2，‎ ‎∴a10=a3+7d=4+14=18‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的公差求法，考查等差数列的通项公式，这是一个等差数列基本量的运算，是一个数列中最常出现的基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2011•重庆）设U=R，M={a|a2﹣2a＞0}，则CUM=（　　）‎ A．[0，2] B．（0，2） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）‎ ‎【考点】补集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据已知中M={a|a2﹣2a＞0}，我们易求出M，再根据集合补集运算即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵M={a|a2﹣2a＞0}={a|a＜0，或a＞2}，‎ ‎∴CUM={a|0≤a≤2}，‎ 即CUM=[0，2]‎ 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，在求连续数集的补集时，若子集不包括端点，则补集一定要包括端点．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2011•重庆）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．‎ ‎【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，‎ ‎∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，‎ ‎∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），‎ 即y=3x﹣1，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2011•重庆）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（　　）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5‎ ‎【考点】频率分布表．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．‎ ‎【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，‎ 样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，‎ ‎∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，‎ 故选C ‎【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2011•重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值．‎ ‎【解答】解：∵=（3，k+2）‎ ‎∵共线 ‎∴k+2=3k 解得k=1‎ ‎∴=（1，1）‎ ‎∴=1×2+1×2=4‎ 故选D ‎【点评】本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】对数值大小的比较．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．‎ ‎【解答】解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．‎ 因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，‎ 因为32＞23，即3＞，即有log23＞log2=＞，‎ 则（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D 故选B．‎ ‎【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（　　）‎ A．1+ B．1+ C．3 D．4‎ ‎【考点】基本不等式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．‎ ‎【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4‎ 当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．‎ ‎∵x=a处取最小值，‎ ‎∴a=3‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2011•重庆）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值．‎ ‎【解答】解：△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，所以6a=4b=3c，不妨令a=2，b=3，c=4，‎ 所以由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，所以cosB=，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2011•重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）‎ A．（0，） B．（1，） C．（，1） D．（，+∞）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．‎ ‎【解答】解：渐近线y=±x．‎ 准线x=±，‎ 求得A（）．B（），‎ 左焦点为在以AB为直径的圆内，‎ 得出 ，‎ ‎，‎ b＜a，‎ c2＜2a2‎ ‎∴，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离．‎ ‎【解答】解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：=‎ 故选A ‎【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是　240　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．‎ ‎【解答】解：展开式的通项为Tr+1=2rC6rxr 令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240‎ 故答案为：240‎ ‎【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2011•重庆）若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=　　．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】根据α∈（π，），cosα=﹣，求出sinα，然后求出tanα，即可．‎ ‎【解答】解：因为α∈（π，），cosα=﹣，所以sinα=﹣，所以tanα==‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，注意角所在的象限，三角函数值的符号，是本题解答的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2011•重庆）过原点的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为　2x﹣y=0　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可．‎ ‎【解答】解：直线方程为y=kx，‎ 圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1‎ 即圆心坐标为（1，2），半径为r=1‎ 因为弦长为2，为直径，故y=kx过圆心，所以k=2‎ 所以该直线的方程为：y=2x 故答案为：2x﹣y=0‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的相交弦长问题，属基础知识的考查．注意弦长和半径的关系．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2011•重庆）从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为　　．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得从10人中任取3人参加活动的取法数，进而可得“有甲但没有乙”的取法相当于“从除甲乙之外的8人中任取2人”，可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，从10人中任取3人参加活动，有C103=120种取法；‎ 分析可得有甲但没有乙的取法即从除甲乙之外的8人中任取2人即可，‎ 则所选3位中有甲但没有乙的情况有C82=28种；‎ 则其概率为=；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的运用；涉及等可能事件的概率计算，解题时注意排列、组合是解决问题的基本思路与突破口．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2011•重庆）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是　2﹣log23　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，‎ 再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．‎ ‎【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，‎ 令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=‎ 因为t≥4，所以，即，所以 故答案为：2﹣log23‎ ‎【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16．（13分）（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列 ‎∴设其公比为q，q＞0‎ ‎∵a3=a2+4，a1=2‎ ‎∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1‎ ‎∵q＞0‎ ‎∴q=2 ‎ ‎∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n ‎（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 ‎∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1‎ ‎∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的4位申请人中：‎ ‎（I）没有人申请A片区房源的概率；‎ ‎（II）每个片区的房源都有人申请的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）解法一：首先分析所有的可能申请方式的情况数目，再分析没有人申请A片区房源的即所有的都申请BC区的申请方式的情况数目，由古典概型概率公式，计算可得答案；‎ 解法二：视为独立重复试验中事件A恰好发生k次的情况，设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A片区房源”为事件A，易得P（A），进而由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式计算可得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，分析可得所有的可能申请方式的种数；而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式的种数；‎ 由古典概型概率公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 解法一：所有的可能申请方式有34种；而“没有人申请A片区房源的”的申请方式有24种；‎ 记“没有人申请A片区房源”为事件A，‎ 则P（A）==；‎ 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则P（A）=；‎ 由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式知：‎ ‎“没有人申请A片区房源”的概率为P4（0）=C30•（）0（）4=；‎ ‎（Ⅱ）所有的可能申请方式有34种；而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有C42•A33种；‎ 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，‎ 从而有P（B）==．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，注意解题的格式应该规范，先有“记××为事件×”，进而又公式进行计算．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2011•重庆）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）‎ ‎（I）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；综合题．‎ ‎【分析】（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．‎ ‎（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．‎ ‎【解答】解：（I）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx ‎=sinxcosx+cosxcosx ‎=sin2x+cos2x+‎ ‎=sin（2x+）+‎ ‎∴f（x）的最小正周期T==π ‎（II）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，‎ ‎∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+‎ ‎∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，‎ ‎∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2011•重庆）设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值 ‎（Ⅱ）求函数f（x）的极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b ‎（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b 从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，‎ 从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3‎ 又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1‎ f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）‎ 令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2‎ 当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；‎ 当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；‎ 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ 从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．‎ ‎【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1‎ ‎（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；压轴题；转化思想．‎ ‎【分析】法一：几何法，‎ ‎（Ⅰ）过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，可得AG⊥CD，计算可得AG与DF的长，进而可得S△ABC，由棱锥体积公式，计算可得答案；‎ ‎（Ⅱ）过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，分析可得∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，计算可得EF的长，由（Ⅰ）中DF的值，结合正切的定义，可得答案．‎ 法二：向量法，‎ ‎（Ⅰ）首先建立坐标系，根据题意，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；易知OH⊥OM，因此可以以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O﹣XYZ，进而可得B、D的坐标；从而可得△ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案；‎ ‎（Ⅱ）设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（Ⅰ）易得向量的坐标，同时易得=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夹角公式可得从而cos＜，＞，进而由同角三角函数的基本关系，可得tan＜，＞，即可得答案．‎ ‎【解答】解：法一 ‎（Ⅰ）如图：过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，‎ 可得DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高；‎ 设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AG⊥CD，‎ 则AG===；‎ 由S△ADC=AC•DF=CD•AG可得，DF==；‎ 在Rt△ABC中，AB==，‎ S△ABC=AB•BC=；‎ 故四面体的体积V=×S△ABC×DF=；‎ ‎（Ⅱ）如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，‎ 由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂线定理可得DE⊥AB，故∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，‎ 在Rt△AFD中，AF===；‎ 在Rt△ABC中，EF∥BC，从而，可得EF=；‎ 在Rt△DEF中，tan∠DEF==．‎ 则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为．‎ 解法二：（Ⅰ）如图（2）‎ 设O是AC的中点，过O作OH⊥AB，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；‎ 由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，‎ 因此以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O﹣XYZ，‎ 已知AC=2，故A、C的坐标分别为A（0，﹣1，0），C（0，1，0）；‎ 设点B的坐标为（x1，y1，0），由⊥，||=1；‎ 有，‎ 解可得或（舍）；‎ 即B的坐标为（，，0），‎ 又舍D的坐标为（0，y2，z2），‎ 由||=1，||=2，有（y2﹣1）2+z22=1且（y2+1）2+z22=1；‎ 解可得或（舍），‎ 则D的坐标为（0，，），‎ 从而可得△ACD边AC的高为h=|z2|=‎ 又||=，||=1；‎ 故四面体的体积V=××||×||h=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（，，0），=（0，，），‎ 设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由⊥可得，l+m=0，（1）；‎ 由⊥可得，m+n=0，（2）；‎ 取m=﹣1，由（1）（2）可得，l=，n=，即=（，﹣1，）‎ 显然=（0，0，1）是平面ABC的法向量，‎ 从而cos＜，＞=；‎ 故tan＜，＞=；‎ 则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为．‎ ‎【点评】本题是立体几何综合题目，此类题目一般有两种思路即几何法与向量法，注意把握两种思路的特点，进行选择性的运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是x=2‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点P满足：=+2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用；椭圆的定义．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 由题意得 =，==2，解出a、b 的值，即得椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）． 由向量间的关系得到 x=x1+2x2，y=y1+2y2，据 M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4（x1x2+2y1y2 ）．再根据直线OM与ON的斜率之积为﹣，得到点P是椭圆 x2+2y2=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点F（，0），满足条件．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 由题意得 =，==2，∴a=2，b=，‎ 故椭圆的标准方程为 +=1．‎ ‎（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）．∵动点P满足：=+2，‎ ‎∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2 ），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，‎ ‎∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12﹣4=0，x22+2y22﹣4=0．‎ ‎∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x12+2y12 ）+4（x22+2y22 ）+4（x1x2+2y1y2 ）‎ ‎=4+4×4+4（x1x2+2y1y2 ）=20+4（x1x2+2y1y2 ）．‎ ‎∵直线OM与ON的斜率之积为﹣，∴•=﹣，∴x2+2y2=20，‎ 故点P是椭圆 =1 上的点，焦点F（，0），准线l：x=2，离心率为，‎ 根据椭圆的第二定义，|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值，‎ 故存在点F（，0），满足|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值．‎ ‎【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，两个向量坐标形式的运算，以及椭圆的第二定义，属于中档题．‎ ‎　‎