高考导数题的解题技巧绝版 18页

导数题的解题技巧 导数命题趋势：‎ ‎（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.‎ ‎（2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.‎ ‎【考点透视】‎ ‎1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．‎ ‎2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．‎ ‎3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．‎ ‎【例题解析】‎ 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. ‎ 例1．（2007年北京卷）是的导函数，则的值是 ．‎ ‎[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.‎ ‎[解答过程] ‎ 故填3.‎ 例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) ‎ A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由 综上可得MP时, ‎ 考点2 曲线的切线 ‎（1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.‎ ‎（2）关于两曲线的公切线 ‎ 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.‎ 典型例题 例3.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．‎ ‎（I）求的最大值；‎ ‎（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．‎ 思路启迪：用求导来求得切线斜率.‎ 解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，‎ 设两实根为（），则，且．于是 ‎，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．‎ ‎（II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ‎，即，‎ 因为切线在点处空过的图象，‎ 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点．‎ 而，且 ‎．‎ 若，则和都是的极值点．‎ 所以，即，又由，得，故．‎ 解法二：同解法一得 ‎．‎ 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．‎ 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 设，则 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 由知是的一个极值点，则，‎ 所以，又由，得，故．‎ 例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.‎ 故选A.‎ 例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )‎ A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x ‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]解法1：设切线的方程为 又 故选A.‎ 解法2:由解法1知切点坐标为由 故选A.‎ 例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.‎ 思路启迪：先对求导数.‎ 解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 　 ①‎ 曲线在点Q的切线方程是即 ‎ 　 ②‎ 若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得 ‎，消去得方程， ‎ 若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.‎ ‎∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .‎ 考点3导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:‎ ‎1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;‎ ‎5.构造函数证明不等式.‎ 典型例题 例7．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）‎ A．1个 ‎ B．2个 ‎ C．3个 D． 4个 ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.‎ 故选A.‎ 例8 . （福建省2008年普通高中毕业班质量检查）已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x = 0处取得极值．‎ ‎(I)求实数a的值；‎ ‎(Ⅱ)若关于x的方程，f(x)= 在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)证明：对任意的正整数n，不等式ln 都成立．‎ ‎[考查目的]本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力。‎ 解答过程：解：(Ⅰ) = ‎ ‎∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0，‎ 故 =0，解得a=1.经检验a=1符合题意.‎ ‎ (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x，由f(x)= +b,‎ 得ln(x+1)-x2+ x-b=0，‎ 令φ(x)= ln(x+1)-x2+ x-b，‎ 则f(x)= +b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]‎ 恰有两个不同实数根．‎ ‎ ，‎ 当x∈(O，1)时， >O，于是φ(x)在(O，1)上单调递增；‎ 当x∈(1，2)时， <0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减．‎ ‎ 依题意有 ‎ ∴ln3 -1≤b -1}，‎ ‎ 由(Ⅰ)知，‎ ‎ 令=0得，x=0或x= -(舍去)，‎ ‎ ∴当-10，f(x)单调递增；‎ ‎ 当x>0时，<0，f(x)单调递减.‎ ‎∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值. ‎ ‎∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).‎ 对任意正整数n，取x=>0得，ln(+1)< +，故ln()<.‎ 例9.函数的值域是_____________.‎ 思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。‎ 解答过程：由得，，即函数的定义域为.‎ ‎ ，‎ ‎ 又，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 函数在上是增函数，而，的值域是.‎ 例10．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．‎ ‎（1）当时，判断函数是否有极值；‎ ‎（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；‎ ‎（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎[考查目的]‎ 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.‎ ‎[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.‎ ‎（Ⅱ），令，得.‎ 由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ‎ ‎①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此，函数在处取得极小值，且.‎ 要使，必有，可得.‎ 由于，故.‎ ②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 因此，函数处取得极小值，且 若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.‎ 综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.‎ ‎（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。‎ 由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 ‎ 或 ‎ 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数 恒成立，必有，即.‎ 综上，解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ 例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.‎ ‎[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]由已知得函数的定义域为，且 ‎（1）当时，函数在上单调递减，‎ ‎（2）当时，由解得 ‎、随的变化情况如下表 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递增.‎ 综上所述：当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.‎ 例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：‎ ‎（Ⅰ）的值；‎ ‎（Ⅱ）的值.‎ ‎[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,‎ 故在上递增，在上递减，‎ 因此在处取得极大值，所以 ‎（Ⅱ）‎ 由 得 解得 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）设 又 所以 由即得 所以 例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.‎ ‎（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.‎ ‎[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,‎ 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，‎ 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ‎＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.‎ 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，‎ 所以x+a+1≠0，那么a≠－4.‎ 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.‎ 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，‎ 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，‎ 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].‎ 又在区间[0，4]上是增函数，‎ 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，‎ 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 ‎（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0