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  • 2021-05-13 发布

陕西高考理科数学试题及答案详解

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ)(陕西卷)‎ 第一部分(共50分)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分).‎ ‎1.(2013陕西,理1)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则RM为(  ).‎ A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎1)∪(1,+∞).‎ ‎2.(2013陕西,理2)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(  ).‎ A.25 ‎ B.30 ‎ C.31 ‎ D.61‎ ‎3.(2013陕西,理3)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的(  ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(2013陕西,理4)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为(  ).‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ ‎5.(2013陕西,理5)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(  ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.(2013陕西,理6)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(  ).‎ A.若|z1-z2|=0,则 B.若,则 C.若|z1|=|z2|,则 D.若|z1|=|z2|,则z12=z22‎ ‎7.(2013陕西,理7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(  ).‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 ‎8.(2013陕西,理8)设函数f(x)=则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 A.-20 B.20 C.-15 D.15‎ ‎9.(2013陕西,理9)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(  ).‎ A.[15,20] B.[12,25]‎ C.[10,30] D.[20,30]‎ ‎10.(2013陕西,理10)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(  ).‎ A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x]‎ C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]‎ 第二部分(共100分)‎ 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).‎ ‎11.(2013陕西,理11)双曲线的离心率为,则m等于__________.‎ ‎12.(2013陕西,理12)某几何体的三视图如图所示,则其体积为__________.‎ ‎13.(2013陕西,理13)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为__________.‎ ‎14.(2013陕西,理14)观察下列等式 ‎12=1‎ ‎12-22=-3‎ ‎12-22+32=6‎ ‎12-22+32-42=-10‎ ‎……‎ 照此规律,第n个等式可为__________.‎ ‎15.(2013陕西,理15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)‎ A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为__________.‎ B.(几何证明选做题)如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=__________.‎ C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为__________.‎ ‎三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).‎ ‎16.(2013陕西,理16)(本小题满分12分)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值.‎ ‎17.(2013陕西,理17)(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列.‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式;‎ ‎(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.‎ ‎18.(2013陕西,理18)(本小题满分12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.‎ ‎(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;‎ ‎(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.‎ ‎19.(2013陕西,理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.‎ ‎(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;‎ ‎(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.‎ ‎20.(2013陕西,理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;‎ ‎(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.‎ ‎21.(2013陕西,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex,x∈R.‎ ‎(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;‎ ‎(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;‎ ‎(3)设a<b,比较与的大小,并说明理由.‎ ‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(理科)‎ ‎(陕西卷)‎ 第一部分(共50分)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分).‎ ‎1.‎ 答案:D 解析:要使函数f(x)=有意义,则1-x2≥0,解得-1≤x≤1,则M=[-1,1],RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).‎ ‎2.‎ 答案:C 解析:由算法语句可知 所以当x=60时,y=25+0.6×(60-50)=25+6=31.‎ ‎3.‎ 答案:C 解析:若a与b中有一个为零向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件;若a与b都不为零向量,设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ,由|a·b|=|a||b|得|cos θ|=1,则两向量的夹角为0或π,所以a∥b.若a∥b,则a与b同向或反向,故两向量的夹角为0或π,则|cos θ|=1,所以|a·b|=|a||b|,故“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.‎ ‎4.‎ 答案:B 解析:840÷42=20,把1,2,…,840分成42段,不妨设第1段抽取的号码为l,则第k段抽取的号码为l+(k-1)·20,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l+(k-1)·20≤720,得25+≤k≤37-.由1≤l≤20,则25≤k≤36.满足条件的k共有12个.‎ ‎5. ‎ 答案:A 解析:S矩形ABCD=1×2=2,S扇形ADE=S扇形CBF=.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P=.‎ ‎6.‎ 答案:D 解析:对于选项A,若|z1-z2|=0,则z1=z2,故,正确;对于选项B,若,则,正确;对于选项C,z1·=|z1|2,z2·2=|z2|2,若|z1|=|z2|,则,正确;对于选项D,如令z1=i+1,z2=1-i,满足|z1|=|z2|,而z12=2i,z22=-2i,故不正确.‎ ‎7.‎ 答案:B 解析:∵bcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A.又sin A>0,∴sin A=1,∴,故△ABC为直角三角形.‎ ‎8.‎ 答案:A 解析:当x>0时,f(x)=<0,则 f[f(x)]=.‎ ‎.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3=-20.‎ ‎9.‎ 答案:C 解析:设矩形另一边长为y,如图所示.,则x=40-y,y=40-x.由xy≥300,即x(40-x)≥300,解得10≤x≤30,故选C.‎ ‎10.‎ 答案:D 解析:对于选项A,取x=-1.1,则[-x]=[1.1]=1,而-[x]=-[-1.1]=-(-2)=2,故不正确;对于选项B,令x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,故不正确;对于选项C,令x=-1.5,y=-2.5,则[x+y]=[-4]=-4,[x]=-2,[y]=-3,[x]+[y]=-5,故不正确;对于选项D,由题意可设x=[x]+β1,0≤β1<1,y=[y]+β2,0≤β2<1,则x-y=[x]-[y]+β1-β2,由0≤β1<1,-1<-β2≤0,可得-1<β1-β2<1.若0≤β1-β2<1,则[x-y]=[[x]-[y]+β1-β2]=[x]-[y];若-1<β1-β2<0,则0<1+β1-β2<1,[x-y]=[[x]-[y]+β1-β2]=[[x]-[y]-1+1+β1-β2]=[x]-[y]-1<[x]-[y],故选项D正确.‎ 第二部分(共100分)‎ 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).‎ ‎11.答案:9‎ 解析:由双曲线方程知a=4.又,解得c=5,故16+m=25,m=9.‎ ‎12. ‎ 答案:‎ 解析:由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥,底面半圆的半径r=1,高SO=2,则V几何体=.‎ ‎13.答案:-4‎ 解析:由y=|x-1|=及y=2画出可行域如图阴影部分所示.‎ 令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)的直线l,此时-z最大,即z最小=2×(-1)-2=-4.‎ ‎14.‎ 答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·‎ 解析:第n个等式的左边第n项应是(-1)n+1n2,右边数的绝对值为1+2+3+…+n=,故有12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.‎ ‎15.(2013陕西,理15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)‎ A.答案:2‎ 解析:(am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)≥2abmn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(当且仅当m=n=时等号成立).‎ B. ‎ 答案:‎ 解析:∠C与∠A在同一个O中,所对的弧都是,则∠C=∠A.又PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,则,∴PE2=PA·PD.又PD=2DA=2,∴PA=PD+DA=3,∴PE2=3×2=6,∴PE=.‎ C. ‎ 答案:(θ为参数)‎ 解析:由三角函数定义知=tan θ(x≠0),y=xtan θ,由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2θ-x=0,x==cos2θ,则y=xtan θ=cos2θtan θ=sin θcos θ,又时,x=0,y=0也适合题意,故参数方程为(θ为参数).‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).‎ ‎16.‎ 解:f(x)=·(sin x,cos 2x)‎ ‎=cos xsin x-cos 2x ‎=sin 2x-cos 2x ‎=‎ ‎=.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为,‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤,‎ ‎∴.由正弦函数的性质,‎ 当,即时,f(x)取得最大值1.‎ 当,即x=0时,f(0)=,‎ 当,即时,,‎ ‎∴f(x)的最小值为.‎ 因此,f(x)在上最大值是1,最小值是.‎ ‎17.‎ ‎(1)解:设{an}的前n项和为Sn,‎ 当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;‎ 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①‎ qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②‎ ‎①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,‎ ‎∴,∴‎ ‎(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,‎ ‎(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),‎ ‎+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,‎ a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,‎ ‎∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.‎ ‎∵q≠0,∴q2-2q+1=0,‎ ‎∴q=1,这与已知矛盾,‎ ‎∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.‎ ‎18.‎ ‎(1)证法一:由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立直角坐标系,如图.‎ ‎∵AB=AA1=,‎ ‎∴OA=OB=OA1=1,‎ ‎∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).‎ 由=,易得B1(-1,1,1).‎ ‎∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0),‎ ‎=(-1,0,1),‎ ‎∴·=0,·=0,‎ ‎∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,‎ ‎∴A1C⊥平面BB1D1D.‎ 证法二:∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥BD.‎ 又∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面A1OC,∴BD⊥A1C.‎ 又∵OA1是AC的中垂线,∴A1A=A1C=,且AC=2,∴AC2=AA12+A1C2,∴△AA1C是直角三角形,∴AA1⊥A1C.‎ 又BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,∴A1C⊥平面BB1D1D.‎ ‎(2)解:设平面OCB1的法向量n=(x,y,z),‎ ‎∵=(-1,0,0),=(-1,1,1),‎ ‎∴∴‎ 取n=(0,1,-1),‎ 由(1)知,=(-1,0,-1)是平面BB1D1D的法向量,‎ ‎∴cos θ=|cos〈n,〉|=.‎ 又∵0≤θ≤,∴.‎ ‎19.‎ 解:(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,‎ 则P(A)=,P(B)=.‎ ‎∵事件A与B相互独立,‎ ‎∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=.‎ ‎(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=,‎ ‎∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0)=,‎ P(X=1)=‎ ‎=,‎ P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=,‎ P(X=3)=P(ABC)=,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望.‎ ‎20.‎ ‎(1)解:如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,‎ 当O1不在y轴上时,‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,‎ ‎∴,又,‎ ‎∴,‎ 化简得y2=8x(x≠0).‎ 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.‎ ‎(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 将y=kx+b代入y2=8x中,‎ 得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,‎ 其中Δ=-32kb+64>0.‎ 由求根公式得,x1+x2=,①‎ x1x2=,②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线,‎ 所以,‎ 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,‎ ‎(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,‎ ‎2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③‎ 将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,‎ ‎∴k=-b,此时Δ>0,‎ ‎∴直线l的方程为y=k(x-1),‎ 即直线l过定点(1,0).‎ ‎21.‎ 解:(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.‎ 设直线y=kx+1与g(x)=ln x的图像在P(x0,y0)处相切,‎ 则有y0=kx0+1=ln x0,k=g′(x0)=,‎ 解得x0=e2,.‎ ‎(2)曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线与y=m的公共点个数.‎ 令,则,‎ ‎∴φ′(2)=0.‎ 当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,2)上单调递减;‎ 当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为.‎ 当0<m<时,曲线与y=m无公共点;‎ 当时,曲线与y=m恰有一个公共点;‎ 当时,在区间(0,2)内存在,使得φ(x1)>m,在(2,+∞)内存在x2=me2,使得φ(x2)>m.由φ(x)的单调性知,曲线与y=m在(0,+∞)上恰有两个公共点.‎ 综上所述,当x>0时,‎ 若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;‎ 若,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;‎ 若,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点.‎ ‎(3)解法一:可以证明.‎ 事实上,‎ ‎(b>a).(*)‎ 令(x≥0),‎ 则(仅当x=0时等号成立),‎ ‎∴ψ(x)在[0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴x>0时,ψ(x)>ψ(0)=0.‎ 令x=b-a,即得(*)式,结论得证.‎ 解法二:‎ ‎=‎ ‎=[(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2],‎ 设函数u(x)=xex+x-2ex+2(x≥0),‎ 则u′(x)=ex+xex+1-2ex,‎ 令h(x)=u′(x),则h′(x)=ex+ex+xex-2ex=xex≥0(仅当x=0时等号成立),‎ ‎∴u′(x)单调递增,‎ ‎∴当x>0时,u′(x)>u′(0)=0,‎ ‎∴u(x)单调递增.‎ 当x>0时,u(x)>u(0)=0.‎ 令x=b-a,则得(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2>0,‎ ‎∴,‎ 因此,.‎