高考数学理与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题目二轮提高练习题目 5页

‎　与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点 ‎(　　)．‎ A．(2,0) B．(1,0)‎ C．(0,1) D．(0，－1)‎ ‎2．设AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(－c,0)，则△F1AB的面积最大为 ‎(　　)．‎ A．bc B．ab C．ac D．b2‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ‎(　　)．‎ A．(1,2) B．(－1,2)‎ C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)‎ ‎4．若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝‎ ‎(　　)．‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎5．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为 ‎(　　)．‎ A．5 B．‎4 C．3 D．2‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6．点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．‎ ‎7．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值为________．‎ ‎8．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．‎ 三、解答题(本题共3小题，共35分)‎ ‎9．(11分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．‎ ‎10．(12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝4 y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在直线l，使得·＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎11．(12分)如图，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t， b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．‎ ‎(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；‎ ‎(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．‎ 参考答案 ‎1．B　[因为动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.]‎ ‎2．A　[如图，由椭圆对称性知O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半．又OF1＝c，△F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值为b.所以△F1OB的面积最大值为cb.所以△F1AB的面积最大值为cb.]‎ ‎3．D　[由题意知，双曲线的渐近线y＝x的斜率需大于或等于，即≥.∴≥3，≥4，∴≥2，即e≥2.]‎ ‎4．B　[(特殊值法)因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.]‎ ‎5．C　[由题意设直线l的方程为y＝ ，即x＝＋，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2py－ p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝p，yB＝－p，所以＝＝3.]‎ ‎6．解析　由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．‎ 答案　 ‎7．解析　由离心率e＝2得，＝2，从而b＝a＞0，所以＝＝a＋≥2 ＝2 ＝，当且仅当a＝，即a＝时，“＝”成立．‎ 答案　 ‎8．解析　设P(x，y)，则 ·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①‎ 将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，又x2∈[0，a2]，所以‎2c2≤a2≤3c2，所以离心率e＝∈.‎ 答案　 ‎9．(1)解　由题意可得圆的方程为x2＋y2＝b2，‎ ‎∵直线x－y＋2＝0与圆相切，‎ ‎∴d＝＝b，即b＝，‎ 又e＝＝，即a＝c，a2＝b2＋c2，解得a＝，c＝1，‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　设P(x0，y0)(y0≠0)，A(－，0)，B(，0)，‎ 则＋＝1，即y＝2－x，‎ 则k1＝， k2＝，‎ 即k1·k2＝＝＝＝－，‎ ‎∴k1·k2为定值－.‎ ‎10．解　(1)椭圆的顶点为(0，)，即b＝.‎ e＝＝ ＝，解得a＝，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题可知，直线l与椭圆必相交．‎ ‎①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．‎ ‎②设存在直线l为y＝k(x－1)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0.‎ x1＋x2＝，x1·x2＝，‎ ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]‎ ‎＝＋k2＝＝－1.‎ 所以k＝±，故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．‎ ‎11．(1)解　设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A‎1A的方程为y＝(x＋a)，①‎ 直线A2B的方程为y＝(x－a)．②‎ 由①②得y2＝(x2－a2)．③‎ 由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.从而y＝b2，代入③得－＝1(x＜－a，y＜0)．‎ ‎(2)证明　设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，‎ 故xy＝xy.‎ 因为点A，A′均在椭圆上，所以b2x＝b2x.‎ 由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2.从而y＋y＝b2，‎ 因此t＋t＝a2＋b2为定值．‎