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- 2021-05-13 发布
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导数的定义、运算和运用(一)
考向一:定义(平均变化率瞬时变化率,适当补充极限定义)
【例】函数在闭区间内的平均变化率为
A. B. C. D.
【解析】∵f(1+△x)=2(1+△x)2+1=2(△x)2+4△x+3,f(1)=2,∴该函数在区间[1,1+△x]上的平均变化率为
【例】若,则( )
A. B. C. D.
【解析】
。故选D。
【练1】若,则等于( )
A.-1 B.-2 C.1 D.
【练2】若,则( )
A. B. C. D.
【解析1】根据导数的定义知
===-1
【解析2】
考向二:导数几何意义(在/过某点切线)
【例】曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【解析】∵,∴,由点斜式知切线方程为:,即.
【例】过点且与曲线相切的直线方程为( )
A. 或 B.
C.或 D.
【解析】设切点为,因为,所以切线的斜率为,所以切线方程为,又因为切线过点,所以即,注意到是在曲线上的,故方程必有一根,代入符合要求,进一步整理可得即,也就是即,所以或,当时,,切线方程为即;当时,,切线方程为即
【例】设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【练1】已知直线l过点,且与曲线相切,则直线的方程为 .
【练2】曲线的一条切线平行于直线,则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是( )
A. B. C. D.
【练3】若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则 .
【解析1】将求导得,设切点为,的方程为,因为直线l过点,所以.又,所以.所以切线方程为.
【解析2】设切点,则,于是,因为切线平行于直线,所以,即.则,切线方程为:或分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为或
【解析3】对函数求导得,对求导得,设直线与曲线相切于点,与曲线相切于点,则,由点在切线上得
,由点在切线上得,这两条直线表示同一条直线,所以,解得.
考向三:常用函数导数与导数的四则运算
【例】函数的导数是 ( )
A. B. C. D .
【解析】
所以
【例】若,则等于 ( )
A. -2 B. -4 C. 2 D. 0
【解析】∵,∴,∴,∴ ,∴
【练1】已知函数,则 ( )
A.-1 B.-3 C.2 D.-2
【练2】已知函数则( )
A. B. C. D.
【练3】设曲线在点处的切线与直线垂直,则等于 ( )
A. B. C. D.
【练4】等比数列中, ,函数,则
A. B. C. D.
【解析1】根据题意,由于函数
【解析2】注意到是常数,所以,令得
【解析3】由曲线在点处的切线的斜率为; 又直线的斜率为 ,由它们垂直得
【解析4】因为,
所以.
考向四:导数运用:
函数图像
【例】函数的图象如图所示,则导函数的图象可能是 ( )
x
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
f(x)
【解析】先根据导函数f'(x)的图象得到f'(x)的取值范围,从而得到原函数的斜率的取值范围,从而得到正确选项.由于原函数都是递减区间可知导数都小于零,故排除A,B,C,只能选D.
【例】已知函数的定义域为,部分对应值如下表,
的导函数的图象如右图所示.当时,函数的零点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据导函数图象,知是函数的1极小值点,函数的大致图象如图所示,由于,,所以的零点个数为4个
【练1】定义在R上的函数满足,为的导函数,已知的图象如右图所示,若两个正数满足,则的取值范围是( )
A. (-∞, -3) B.(-∞, )∪(3,+∞) C. D.
【练2】在同意直角坐标系中,函数的图像不可能的是( )
【练3】已知函数的图象经过四个象限,则实数的取值范围是 .
【解析1】由导数图像可知,函数减,函数增,,即,即,等价于,如图:
表示可行域内的点到连线的斜率的取值范围,所以取值范围为
【解析2】当时,两函数图像为D所示,当时,由得:或,的对称轴为.当时,由知B不对. 当时,由知A,C正确.
【解析3】=ax2+ax-2a=a(x2+x-2)=a(x+2)(x-1),显然a≠0,①:若a<0,则f(x)在(),(1,+
)上单调递减,在(-2,1)上单调递增,因此若要使f(x)图像过四个象限,需;②:若a>0,则f(x)在(),(1,+)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,因此若要使f(x)图像过四个象限,需,综上,a的取值范围是().
单调性极值最值零点
【例】函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
【解析】根据题意,对于函数,由于(x>0),可知,当y’<0时,则可知00,因此函数f(x)在0,1]上单调递增,
所以x∈0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.
根据题意可知存在x∈1,2],使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,
即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,令h(x)=+,则要使a≥h(x)在x∈1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,又函数h(x)=+在x∈1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.
【解析5】:基本法:由三次函数的值域为R知,f(x)=0必有解,A项正确;因为f(x)=x3+ax2+bx+c的图象可由y=x3平移得到,所以y=f(x)的图象是中心对称图形,B项正确;若y=f(x)有极值点,则其导数y=f′(x)必有2个零点,设为x1,x2(x1<x2),则有f′(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2),所以f(x)在(-∞,x1)上递增,在(x1,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,则x2为极小值点,所以C项错误,D项正确.选C.
【错误解析6】由单调递减得:,故在上恒成立。而是一次函数,在上的图像是一条线段。故只须在两个端点处即可。即
,
由得:。所以,. 选C。
【错误原因】当且仅当时取到最大值,而当,不满足条件。
【正确解析6】同前面一样满足条件。由条件得:。于是,。当且仅当时取到最大值。经验证,满足条件。故选。
简单函数构造
【例】函数的定义域为R,,对任意,,则的解集为( )
A. B. C. D.
【解析】设,所以为减函数,又所以根据单调性的解集是
【例】已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,不等式成立, 若, ,,则的大小关系( )
A. B. C. D.
【解析】设时函数递减,函数是定义在R上的奇函数,所以是偶函数时递增,,结合图像可知
【例】已知函数对定义域内的任意都有=,且当时其导函数满足若,则( )
A. B.
C. D.
【解析】由题意得,因为函数对定义域内的任意都有=,所以函数关于对称,又当时其导函数满足,所以当时,,所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减,因为,所以,所以,又在上单调递增,所以
【例】设函数在上存在导数,,有,在上,若,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【解析】设 因为对任意 ,
所以,=
所以,函数为奇函数;又因为,在上,
所以,当时 , 即函数在上为减函数,
因为函数为奇函数且在上存在导数,所以函数在上为减函数,所以,
所以,
所以,实数的取值范围为故选B.
【练1】若的定义域为,恒成立,,则解集为( )
A. B. C. D.
【练2】设是定义在R上的奇函数,且,当x>0时,有恒成立,则不等式的解集是 ( )
A.(2,0) ∪(2,+∞) B.(2,0) ∪(0,2) C.(∞,2)∪(2,+∞) D.(∞,2)∪(0,2)
【练3】已知实数满足其中是自然对数的底数,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【练4】设奇函数定义在上,其导函数为,且,, ,则关于的不等式的解集为 .
【解析1】设,则,因为恒成立,所以,即函数在R上单调递增.因为,所以.所以有,即.所以,即不等式的解集是,故选B.
【解析2】不等式的解集就是的解集,由恒成立得,,函数为单调递减函数,,当时,,,时,,根据奇函数,知,当时,时,,故选D.
【解析3】实数满足,,
因此点在曲线上,点在曲线上,的几何意义就是曲线到直线上点的距离最小值的平方,求曲线
平行于直线的切线,
,令,得,因此切点,切点到直线的距离,就是两曲线的最小距离,的最小值
【解析4】令.因为在上为奇函数,所以可得.即在上函数为偶函数.,
当时,所以当时, .即在上函数单调递增.
因为偶函数图像关于轴对称,所以在上函数单调递减.
将变形可得,即.根据的单调性及奇偶性可得且.即所求解集为.
考向五:导数实际应用题
【例】用边长为的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转角,再焊接成水箱.问:水箱底边的长取多少时,水箱容积最大?最大容积是多少?
【解析】设水箱底边长为,则水箱高为.
水箱容积.
.
令,得(舍)或.
当在内变化时,导数的正负如下表:
+
-
因此在处,函数取得极大值,并且这个极大值就是函数的最大值.
将代入,得最大容积.
【练1】一火车每小时煤消耗的费用与火车行驶的速度之立方成正比,已知当速度为每小时千米时,每小时消耗煤之价格为元,其他费用每小时要元,问火车行驶的速度如何时,才能使火车从甲城开往乙城的费用最少。(已知火车的最高速度为每小时千米)
【练2】某隧道长2150米,通过隧道的车速不能超过20米/秒.一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道.设车队的速度为x米/秒,根据安全和车流的需要,相邻两车均保持米的距离,其中a为常数且,自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) (1)将y表示为x的函数;(2)求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度.
【解析1】设甲、乙之间的距离为千米,每小时消耗的煤的费用与火车行驶的速度之间的比例系数为,火车行驶速度为千米/小时,总费用为元。则。由题意得:,∴,∴,令得,经检验,当时函数取极小值。又,当时函数取最小值,∴车行的速度为千米/小时,火车从甲城到乙城的费用最省。
【解析2】(1)y =
=.
(2)当时,y≥
当且仅当,即x =时取等号
即当x =时,
当时,,故y = f (x)在(0,20]上是减函数,
故当x = 20时,=153 + 180a
含参导数讨论单调区间
【例】已知(),讨论的单调区间
【解析】
,在上单增,在上单减
,在和上单增,在上单减
,在上单增
,在和上单增,在单减
【例】设,讨论函数的单调区间
【解析】
【例】(1)讨论函数的单调性,并证明当时,;
(2)证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.
【解析】⑴证明:
∵当时,
∴在上单调递增
∴时, ∴
⑵
由(1)知,当时,的值域为,只有一解.
使得,
当时,单调减;当时,单调增
记,在时,,∴单调递增∴.
【练1】已知,函数F(x)=min{2|x−1|,x2−2ax+4a−2},
其中min{p,q}=
(1)求使得等式F(x)=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围;
(2)(i)求F(x)的最小值m(a);
(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
【练2】已知函数,.讨论的单调性
【练3】设,集合,,
(1)求集合(用区间表示)
(2)求函数在D内的极值点
【练4】设函数,其中,
记的最大值为.
(1)求;(2)求;(3)证明.
【解析1】
(2)(i)设函数,,则
,,
所以,由的定义知,即
.
(ii)当时,
,
当时,
.
所以,.
【解析2】=
当时,的增区间为,减区间为
当时,在单减
当时,的增区间为,减区间为,
综上,时,的增区间为,减区间为;
时,在单减;
时,的增区间为,减区间为;
【解析3】
【解析4】(1).
(2)当时,
因此,.
当时,将变形为.
令,则是在上的最大值,,
,且当时,取得极小值,极小值为.
令,解得(舍去),.
恒成立问题
直接讨论
【例】已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).
(1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);
(2)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=所以f′(x)=
由于-1≤x≤1,
(i)当a≤-1时,有x≥a,故f(x)=x3+3x-3a,
此时f(x)在(-1,1)上是增函数,
因此,M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-4-3a,故M(a)-m(a)=(4-3a)-(-4-3a)=8.
(ii)当-10,t(a)在上是增函数,故t(a)>t(0)=-2,因此-2≤3a+b≤0.
(iii)当0,且时,.
【解析】(1)
由于直线的斜率为,且过点,故即
解得,
(2)由(1)知,所以
考虑函数,则
所以当时,故
当时,当时,
从而当
【例】已知函数
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,
(3)如果,且,证明
(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即于是
当x>1时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明:(1)
若
(2)若
根据(1)(2)得
由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内为增函数,所以>,即>2.
【练】已知.
(1)当时,求函数在区间上的最值;
(2)证明:对一切,都有成立.
【解析】(1)当时,,由得.
当时,在上,在上. 因此在处取得极小值,也是最小值. 故. 由于,,因此.
当时,,因此在上单调递增,故,.
(2)问题等价于证明,. 由(1)知时,
的最小值是,当且仅当时取等号. 设,则,易知,当且仅当时取到. 从而可知对一切,都有.
用已知函数
【例】
【解析】
【例】已知函数,.
(1)讨论的单调区间;
(2)当时,求在上的最小值,并证明.
【解析】(1)的定义域为.
当时,在上恒成立,所以的单调递增区间是,
无单调递减区间.
当时,由得,由得,所以的单调递增区间是,单调递减区间是,
由(1)知,当时,在上单调递增,所以在上的
最小值为. 所以()
所以,即().
所以
整体代换
【例】已知函数,设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则
即
则
,
设 ①
令则
∵ ∴
所以上单调递增,故 , 则
这与①矛盾,假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
【例】设函数设是函数图象上任意不同两点,线段AB中点为C,直线AB的斜率为k.证明:.
【解析】又
所以 ,即证
不妨设,即证:,
即证:,设,即证:,
也就是要证:,其中
事实上:设,
则
所以在单调递增,因此,即结论成立.
【练】己知函数若 ,正实数 满足 ,证明:
【解析】当时,
由,即
从而
令,则由得,
可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以,所以,
因此成立.
【练】已知函数,.
如果是函数的两个零点,且,是的导函数,证明:.
【解析】由题意知,
两式相减,整理得所以
又因为,所以
令则,
所以在上单调递减,故,
又,所以.
【练】已知函数().
(1)若曲线在点处与直线相切,求的值;
(2)若函数有两个零点,,判断的符号,并证明.
【解析】分析:(2)不妨设, ,,化简的表达式为的函数式,利用导数求得这个表达式的取值范围,由此判断的正负.
(2)函数的定义域是.若,则.
令,则.又据题设分析知,∴,.
又有两个零点,且都大于0,∴,不成立.
据题设知
不妨设,,.所以.
所以.又,
所以
引入(),则.
所以在上单调递减. 而,所以当时,.
易知,,所以当时,;当时,.
放缩
【例】已知函数.
(1)令,是否存在实数,当(是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(2)当时,证明:.
【解析】(1)假设存在实数,使有最小值3,
①当时,在上单调递减,(舍去),
②当时,在上单调递减,在上单调递增
∴,满足条件.
③当时,在上单调递减,(舍去),
综上,存在实数,使得当时有最小值3.
(2)令,由(2)知,.令
,
当时,,在上单调递增
∴,
即
【例】设函数。
(1)若在定义域内为增函数,求的取值范围;
(2)设,当时,
求证:① 在其定义域内恒成立;
求证:② 。
【解析】(1)在定义域为
要在定义域内为增函数,则在上恒成立。
∴
而,∴。经检验适合
(2)①,当时,,,
∴
在处取得极大值,也是最大值。
而,∴,在上恒成立,
因此,∴
②,∴,∴
∴
=
= =
【例】已知函数,e为自然对数的底数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:,;
(3)当时,求证:.
【解析】(1),
令,则,
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为,;
(2)证明:由(1)知f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,
当时,,
因为当时,,,
所以当时,,
所以,
所以对,都有;
(3)当时,,由(2)知:
即,
∴,从而,
,…,,
将以上各式相加,得:,
即:,
即:,化简得:,
即.
定积分与微积分基本定理
知识网络
知识要点梳理
知识点一:定积分的概念
定积分的定义:如果函数在区间上连续,用分点将区间等分成个小区间,在每个小区间上任取一点,作和式,当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作,即=,这里,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式.
说明:
(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;
(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.
知识点二:定积分的性质
(1)(为常数),
(2),
(3)(其中),
(4)利用函数的奇偶性求积分:
若函数在区间上是奇函数,则
;
若函数在区间上是偶函数,则.
知识点三:微积分基本定理
如果,且在上连续,则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数,其中c为常数.
一般地,原函数在上的改变量简记作.因此,微积分基本定理可以写成形式:.
说明:求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
知识点四:定积分的几何意义
设函数在区间上连续.
在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积;如图(1)所示.
在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;
在上,当既取正值又取负值时,定积分的几何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号,在轴下方的面积积分时,取负号.如图(2)所示.
知识点五:应用
(一)应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积:;
2. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积:;
3. 如图,由曲线及直线,围成图形的面积公式为:.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;
(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;
(3)写出定积分表达式;(4)求出平面图形的面积.
(二)利用定积分解决物理问题
①变速直线运动的路程:作变速直线运动的物体所经过的路程,等于其速度函数在时间区间上的定积分,即.
②变力作功:物体在变力的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从移动到,那么变力所作的功.
1.已知 ,则k=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】,所以.故选D.
2.设,则的值为( )
A. B. C. D.
【解析】先作出函数的图象如下,由定积分的意义知的值为的图象与轴和直线所围成的区域的面积,所以,故选A.
3.若,则等于( )
A. B. C. D.
【解析】
4.如图,函数的图象过矩形OABC的顶点B,且OA=4.若在矩形OABC内随机地撒100粒豆子,落在图中阴影部分的豆子有67粒,则据此可以估算出图中阴影部分的面积约为( )
A.2.64 B.2.68 C.5.36 D.6.64
【解析】由题意,AB=2,SOABC=8,符合几何概型,
设阴影部分的面积为S,则,解得S=5.36,故选:C.
5.若,,,则的大小关系是( )
A. B. C. D/
【解析】,,∴,排除C,D,
由图象可知:表示的面积最小,故.
6.已知,,,则,,的大小关系为( )
A. B.C. D.
【解析】设,,,显然当时,,
令,∴,,,
∴,∴在上单调递增,,∴在上单调递增,∴,∴,∴当时,,
∴,故选B.
7.( )
A. B. C. D.
【解析】
8.计算积分______________.
【解析】根据定积分的基本原理可得,故答案填.
9.计算定积分= .
【解析】的几何意义表示单位圆面积的四分之一,所以,,所以原定积分=+
10.如图,阴影部分的面积是___________.
【解析】由题意得,阴影部分的面积为
.