福建省福州市高考数学模拟试卷文科月份解析 23页

‎2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合A={x∈N|x≤4}，B={x|x2﹣4＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|0≤x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{0，1} D．{﹣2，0，1，2}‎ ‎2．设复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z|=（　　）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎3．已知条件p：x≤0，条件q：＞0，则￢p是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎4．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（　　）‎ A．f（x+）是奇函数 B．f（x+）是偶函数 C．f（x﹣）是奇函数 D．f（x﹣）是偶函数 ‎5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s甲，s乙，则（　　）‎ A．＜，s甲＞s乙 B．＜，s甲＜s乙 C．＞，s甲＞s乙 D．＞，s甲＜s乙 ‎6．函数f（x）= 的零点个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎7．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点M满足=，则•=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎8．在各项均为正数的等比数列{an}中，a5a6=4，则数列{log2an}的前10项和等于（　　）‎ A．20 B．10 C．5 D．2+log25‎ ‎9．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（　　）‎ A．8 B．21 C．34 D．55‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．10 B．20 C．40 D．60‎ ‎11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．5‎ ‎12．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（　　）‎ A．g（x）在（1，+∞）上有最大值 B．g（x）在（1，+∞）上有最小值 C．g（x）在（1，+∞）上为减函数 D．g（x）在（1，+∞）上为增函数 ‎　‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=_______．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于_______．‎ ‎15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为_______．‎ ‎16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为_______‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn2﹣anSn+an=0（n≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+Sn．‎ ‎18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：‎ ‎（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？‎ 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 ‎_______‎ ‎_______‎ ‎_______‎ 女性观众 ‎_______‎ ‎_______‎ ‎_______‎ 总计 ‎_______‎ ‎_______‎ ‎60‎ ‎（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE⊥AB；‎ ‎（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．‎ ‎21．已知a∈R，函数f（x）=ex﹣a（x+1）的图象与x轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ 四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．‎ ‎（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．‎ ‎　‎ ‎2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合A={x∈N|x≤4}，B={x|x2﹣4＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|0≤x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{0，1} D．{﹣2，0，1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先化简集合A，B，再根据交集的运算即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x∈N|x≤4}={0，1，2，3，4}，‎ 由集合B中的不等式x2﹣4＜0，‎ 因式分解得：（x+2）（x﹣2）＜0，‎ 解得：﹣2＜x＜2，‎ 所以集合B=（﹣2，2）；‎ 则集合A∩B={0，1}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．设复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z|=（　　）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．‎ ‎【分析】由题意可得 z=，再由|z|= 求出结果．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=1+i，‎ ‎∴z=，‎ ‎∴|z|===1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知条件p：x≤0，条件q：＞0，则￢p是q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别化简命题p，q，￢p，即可判断出关系．‎ ‎【解答】解：条件p：x≤0，可得：￢p：x＞0．‎ 条件q：＞0，可得x＞0．‎ 则￢p是q成立的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（　　）‎ A．f（x+）是奇函数 B．f（x+）是偶函数 C．f（x﹣）是奇函数 D．f（x﹣）是偶函数 ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由f（）=fmin（x）可知直线x=是f（x）的一条对称轴．故将f（x）图象向左平移个单位后关于y轴对称．‎ ‎【解答】解：∵f（x）在x=处取得最小值，‎ ‎∴直线x=是f（x）的一条对称轴．‎ ‎∴将f（x）的函数图象向左平移个单位后关于y轴对称，‎ ‎∴f（x+）是偶函数．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s甲，s乙，则（　　）‎ A．＜，s甲＞s乙 B．＜，s甲＜s乙 C．＞，s甲＞s乙 D．＞，s甲＜s乙 ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据茎叶图，从茎叶图上可以看出甲的成绩比较集中，甲的成绩比较整齐，结合方差的意义即可得出S甲，S乙的大小关系．‎ ‎【解答】解：由茎叶图可知，分别为＜，且甲的极差大于乙的极差，‎ 甲的数据波动比乙大，‎ 所以s甲＞s乙，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）= 的零点个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】按分段函数分类讨论，从而利用函数的零点的判定定理及函数与方程的关系求解．‎ ‎【解答】解：当x≤0时，f（x）=2x﹣1+x，‎ 易知f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且连续，‎ 而f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=＞0；‎ 故f（x）在（﹣∞，0]上有且只有一个零点；‎ 当x＞0时，f（x）=﹣1+lnx=0，‎ 则x=e；‎ 综上所述，‎ 函数f（x）= 有两个零点，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点M满足=，则•=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据条件即可得出点M为边AB的中点，且BC⊥AC，从而有，再由AC=2，进行向量数量积的运算即可求出的值．‎ ‎【解答】解：∵，∴M为边AB的中点，如图所示：‎ ‎∴；‎ ‎∵∠ACB=90°；‎ ‎∴BC⊥AC；‎ ‎∴；‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=2+0‎ ‎=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在各项均为正数的等比数列{an}中，a5a6=4，则数列{log2an}的前10项和等于（　　）‎ A．20 B．10 C．5 D．2+log25‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列{an}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，再利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由等比数列{an}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，‎ 则数列{log2an}的前10项和=log2（a1a2…a10）===10，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（　　）‎ A．8 B．21 C．34 D．55‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t，i的值，当n=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21，从而得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 n=4，s=1，t=1，i=1‎ 满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=2，t=3，i=2‎ 满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=4，t=7，i=3‎ 满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=7，t=14，i=4‎ 不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．10 B．20 C．40 D．60‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥后，所得的组合体，分别代入棱锥和棱柱体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，‎ 故几何体的体积V=（1﹣）Sh=××3×4×5=20，‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．5‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得△AOF为等腰三角形，即有F关于渐近线的对称点对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，‎ 过左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|，‎ 可得△AOF为等腰三角形，‎ 即有F关于渐近线的对称点为A（m，n），‎ 即有=﹣，‎ 且•n=•，‎ 解得m=，n=﹣，‎ 将A（，﹣），即（，﹣），‎ 代入双曲线的方程可得﹣=1，‎ 化简可得﹣4=1，即有e2=5，‎ 解得e=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（　　）‎ A．g（x）在（1，+∞）上有最大值 B．g（x）在（1，+∞）上有最小值 C．g（x）在（1，+∞）上为减函数 D．g（x）在（1，+∞）上为增函数 ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】利用导函数的最小值求出a的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）=x2﹣2ax+a．对称轴为：x=a，‎ 导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，‎ 令x2﹣2ax+a=0，可得方程在（﹣∞，1）有两个根，可得，解得：a＜0‎ 函数g（x）==x+﹣2a．‎ g′（x）=1﹣，‎ x∈（1，+∞），，‎ ‎1﹣，∴g′（x）＞0，‎ g（x）在在（1，+∞）上为增函数．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的准线方程，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=mx的准线方程为：x=﹣，‎ ‎∵点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，‎ ‎∴﹣m2=，‎ 解得m=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于﹣1．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣1，﹣1）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．‎ 代入目标函数z=2x﹣y，‎ 得z=﹣2+1=﹣1．即z=2x﹣y的最大值为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为9π．‎ ‎【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为2，则底面截球所得圆的半径为2，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．‎ ‎【解答】解：∵两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为，‎ ‎∴两个正四棱锥的高的比也为．‎ 设两个棱锥的高分别为X，2X，球的半径为R 则X+2X=3X=2R 即R=‎ 球心到那个公共底面距离是，‎ 又∵底面边长为2‎ ‎∴R2=（）2=（）2+（）2，‎ 解得X=1‎ ‎∴R=‎ 该球的表面积S=4πR2=9π 故答案为：9π．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为2＜l≤2+‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，由AD=AB，B=60°可知A＞60°，结合图形可知周长l=AD+AC+DC=2sinA+，结合正弦函数的性质可求．‎ ‎【解答】解：∵AD=AB，B=60°，‎ ‎∴A＞60°．‎ ‎∵B=，AC=，‎ ‎∴A+C=120°即A=120°﹣C 由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA ‎∴CD=2sinA﹣2sinC 周长l=AD+AC+DC=2sinA+，‎ ‎∵60°＜A＜120°‎ ‎∴＜sinA≤1‎ ‎∴2＜l≤2+．‎ 故答案为：2＜l≤2+．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn2﹣anSn+an=0（n≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+Sn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（I）利用递推关系、等差数列的定义即可证明；‎ ‎（II）利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵Sn2﹣anSn+an=0（n≥2）．‎ ‎∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，‎ 可得：﹣（Sn﹣Sn﹣1）Sn+Sn﹣Sn﹣1=0，‎ 化为：Sn﹣1Sn+Sn﹣Sn﹣1=0，‎ ‎∴﹣=1， =2．‎ ‎∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列．‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： =2+（n﹣1）=n+1，‎ ‎∴Sn=．‎ ‎∴=．‎ ‎∴S1+S2+S3+…+Sn=++…+‎ ‎=1﹣‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：‎ ‎（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？‎ 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女性观众 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ 总计 ‎39‎ ‎21‎ ‎60‎ ‎（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎【考点】独立性检验；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意和条形图易得列联表，计算可得则K2的观测值k≈5.934＞3.841，可得有关；‎ ‎（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为4，记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为1，记为1，列举可得总的方法种数，找出符合题意的方法种数，由概率公式可得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：‎ 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女性观众 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ 总计 ‎39‎ ‎21‎ ‎60‎ 计算可得则K2的观测值k==≈5.934＞3.841‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关；‎ ‎（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为24×=4，‎ 记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为6×=1，记为1．‎ 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，1）‎ ‎（b，c）（b，d）（b，1）（c，d）（c，1）（d，1）共有10种．‎ 其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有：（a，1）（b，1）（c，1）（d，1）共4种．‎ ‎∴所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是： =‎ ‎　‎ ‎19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE⊥AB；‎ ‎（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，推出CE∥DF，利用AB⊥平面PAD，证明CE⊥AB．‎ ‎（Ⅱ）设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，证明△ADP为正三角形，推出AD⊥PD，求出AD=，证明AO⊥平面PCD．然后求出三棱锥A﹣PCD的高．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：取AP的中点F，连结DF，EF，如图所示．‎ 因为点E是PB中点，‎ 所以EF∥AB且EF=．‎ 又因为AB∥CD且CD=，‎ 所以EF∥CD且EF=CD，‎ 所以四边形EFDC为平行四边形，‎ 所以CE∥DF，‎ 因为AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，‎ 所以AB⊥DF．‎ 所以CE⊥AB．‎ ‎（Ⅱ）解：设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，‎ 因为BC=，AB=4，‎ 由（Ⅰ）知，DF=，‎ 又因为AB=4，所以PD=AD=2，‎ 所以AP=2AF=2=2=2，‎ 所以△ADP为正三角形，‎ 所以AD⊥PD，且AD=．‎ 因为AB⊥平面PAD，AB∥CD，‎ 所以CD⊥平面PAD．‎ 因为AD⊂平面PAD，‎ 所以CD⊥AO，‎ 又因为PD∩CD=D，所以AO⊥平面PCD．‎ 所以三棱锥A﹣PCD的高为．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知，2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，写出椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2，并代入直线方程求得y1•y2，表示出和，利用向量数量积的坐标表示求得•＞0，因此点A在⊙M外．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得，2c=2，2a=4，即c=，a=，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1，‎ 所以E的方程为．‎ ‎（Ⅱ）点A在⊙M外．理由如下：‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，‎ 所以，△=（﹣8k2）2﹣4（1+4k2）（4k2﹣4）=48k2+16＞0，‎ 所以x1+x2=，x1•x2=．‎ 因为=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），‎ 所以•=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1•y2，‎ ‎=（1+k2）x1•x2﹣（2+k2）（x1+x2）+4+k2，‎ ‎=﹣+4+k2，‎ ‎=．‎ 因为k≠0，‎ 所以•＞0．‎ ‎∴cos∠PAQ＞0，‎ ‎∴∠PAQ为锐角，‎ 所以点A在⊙M外．‎ ‎　‎ ‎21．已知a∈R，函数f（x）=ex﹣a（x+1）的图象与x轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点的坐标，得到方程组，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）构造g（x）=f（x）﹣mx2，求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出m的具体范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ex﹣a，依题意，设切点为（b，0），‎ 则即，‎ 解得 所以f′（x）=ex﹣1，‎ 所以，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．‎ 所以，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣mx2，‎ 则g′（x）=ex﹣2mx﹣1，‎ 令h（x）=g′（x），则h′（x）=ex﹣2m，‎ ‎（ⅰ）若m≤，‎ 因为当x＞0时，ex＞1，所以h′（x）＞0，‎ 所以h（x）即g′（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 又因为g′（0）=0，所以当x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，‎ 从而g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx2成立．‎ ‎（ⅱ）若m＞，‎ 令h′（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，‎ 当x∈（0，ln（2m）），h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（0，ln（2m））上单调递减，‎ 又因为g′（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m））时，g′（x）＜0，‎ 从而g（x）在（0，ln（2m））上单调递减，‎ 而g（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m）），时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx2不成立．‎ 综上所述，m的取值范围是（﹣∞，]．‎ ‎　‎ 四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．‎ ‎（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．‎ ‎【考点】圆周角定理；平行截割定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．‎ ‎（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．‎ ‎【解答】（本题满分为10分）．‎ 解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，‎ 则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．‎ 因为AF平分∠BAC，‎ 所以，‎ 所以∠FBE=∠BAE，‎ 所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，‎ 所以O′B⊥BF，‎ 所以BF是△ABE外接圆的切线…‎ ‎（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，‎ 所以DF是圆O的直径，‎ 因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，‎ 所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．‎ 因为AF平分∠BAC，‎ 所以△ABF∽△AEC，‎ 所以=，‎ 所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，‎ 因为∠FBE=∠BAE，‎ 所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，‎ 所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，‎ 所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，‎ 即C1：x2+y2﹣4x=0，‎ 将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，‎ 所以C3的方程为x2+y2=1．‎ C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．‎ 又|OA|=4cos=2，‎ 所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，得到关于x的不等式组，求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质得到关于t的方程，解出即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由|x+3|＜2x+1得，‎ 或，‎ 解得x＞2，‎ 依题意m=2．‎ ‎（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t|+，‎ 当且仅当（x﹣t）（x+）≥0时取等号，‎ 因为关于x的方程|x﹣t|+|x+|=2有实数根，‎ 所以|t|+≤2，另一方面|t|+≥2，‎ 所以|=|t|+=2，‎ 所以t=1或t=﹣1．‎ ‎　‎ ‎2016年9月8日