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- 2021-05-13 发布
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2004年高考试题全国卷Ⅰ理
球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径,
球的体积公式
V=,
其中R表示球的半径
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=CPk(1-P)n-k
一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共60
1.(1-i)2·i= ( )
A.2-2i B.2+2i C.-2 D.2
2.已知函数 ( )
A.b B.-b C. D.-
3.已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+3|= ( )
A. B. C. D.4
4.函数的反函数是 ( )
A.y=x2-2x+2(x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1)
C.y=x2-2x (x<1) D.y=x2-2x (x≥1)
5.的展开式中常数项是 ( )
A.14 B.-14 C.42 D.-42
6.设A、B、I均为非空集合,且满足AB I,则下列各式中错误的是 ( )
A.(A)∪B=I B.(A)∪(B)=I C.A∩(B)= D.(A)(B)= B
7.椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=
A. B. C. D.4
8.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是A.[-,] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]
9.为了得到函数的图象,可以将函数的图象 ( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
10.已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T,则等于 ( )
A. B. C. D.
11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为 ( )
A. B. C. D.
12.的最小值为 ( )
A.- B.- C.-- D.+
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.不等式|x+2|≥|x|的解集是 .
14.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .
15.已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项
16.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线; ④一条直线及其外一点;在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
求函数的最小正周期、最大值和最小值.
18.(本小题满分12分)
一接待中心有A、B、C、D四部热线电话,已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5,电话C、D占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.
19.(本小题满分12分)
已知求函数的单调区间.
20.(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
(I)求点P到平面ABCD的距离,
(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.
21.(本小题满分12分)
设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.
(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:
(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.
22.(本小题满分14分)
已知数列,且a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
(I)求a3, a5;
(II)求{ an}的通项公式.
2004年高考试题全国卷1 理科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案
一、选择题
DBCBABCCBADB
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.{x|x≥-1} 14.x2+y2=4 15. 16.①②④
三、解答题
17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.
解:
所以函数f(x)的最小正周期是π,最大值是,最小值是.
18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.
P(ξ=1)= ×0.52×0.62+ ×0.52×0.4×0.6=0.3
P(ξ=2)= ×0.52×0.62+×0.52×0.4×0.6+ ×0.52×0.42=0.37.
P(ξ=3)= ×0.52×0.4×0.6+×0.52×0.42=0.2
P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04
于是得到随机变量ξ的概率分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.
19.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分.
解:函数f(x)的导数:
(I)当a=0时,若x<0,则<0,若x>0,则>0.
所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.
(II)当
由
所以,当a>0时,函数f(x)在区间(-∞,-)内为增函数,在区间(-,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;
(III)当a<0时,由2x+ax2>0,解得0-.
所以当a<0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-)内为增函数,在区间(-,+∞)内为减函数.
20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.
(I)解:如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连结PE.
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,
∵PA=PD,∴OA=OD,
于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=,
即点P到平面ABCD的距离为.
(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.
.连结AG.
又知由此得到:
所以
等于所求二面角的平面角,
于是
所以所求二面角的大小为 .
解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG//BC,FG=BC.
∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.
又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=.
在Rt△PEG中,EG=AD=1.
于是tan∠GAE==,
又∠AGF=π-∠GAE.
所以所求二面角的大小为π-arctan.
21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
双曲线的离心率
(II)设
由于x1+x2都是方程①的根,且1-a2≠0,
22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.
解:(I)a2=a1+(-1)1=0,
a3=a2+31=3.
a4=a3+(-1)2=4,
a5=a4+32=13,
所以,a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k
= a2k-1+(-1)k+3k,
所以a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k,
同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1,
……
a3-a1=3+(-1).
所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)
=(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)],
由此得a2k+1-a1=(3k-1)+[(-1)k-1],
于是a2k+1=
a2k= a2k-1+(-1)k=(-1)k-1-1+(-1)k=(-1)k=1.
{an}的通项公式为:
当n为奇数时,an=
当n为偶数时,