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- 2021-05-13 发布
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上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练:导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若函数图象上任意点处切线的斜率为,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
2.曲线在点(1,1)处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
3.曲线在点P(1,0)处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
4.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x,则点P0的坐标是( )
A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) D.(-1,-4)
【答案】B
5.设,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
6.设函数f′(x)=x2+3x-4,则y=f(x+1)的单调递减区间为( )
A.(-4,1) B.(-5,0) C.() D.()
【答案】B
7.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量x( )
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不等于零
【答案】D
8.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为( )
A.(,1) B.(,+) C.(,) D.(,+)
【答案】B
9.已知等差数列的前n项和为,又知,且,,则为 ( )
A.33 B.46 C.48 D.50
【答案】C
10.曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )
A.( 1 , 0 ) B.( 2 , 8 )
C.( 1 , 0 )或(-1, -4) D.( 2 , 8 )和或(-1, -4)
【答案】C
11.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
12.曲线在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9 B.-3 C.9 D.15
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则=____________
【答案】
14.函数的单调增区间为 .
【答案】
15.曲线y=3x2与x轴及直线x=1所围成的图形的面积为 .
【答案】1
16.= 。
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?
【答案】解法一:根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50-,∴BC=
又设总的水管费用为y元,依题意有:=3(50-x)+5
y′=-3+,令y′=0,解得=30
在(0,50)上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,
函数在=30(km)处取得最小值,此时AC=50-=20(km)
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.
解法二:设∠BCD=,则BC=,CD=,
设总的水管费用为f(θ),依题意,有
(θ)=3(50-40·cotθ)+5=150+40·
∴(θ)=40
令(θ)=0,得cosθ=
根据问题的实际意义,当cosθ=时,函数取得最小值,此时sinθ=,∴cotθ=,
∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.
18. 已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.
(I)求a,b的值;
(II)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.
【答案】(1)因为函数f(x)=ax2+blnx,所以f′(x)=2ax+.又函数f(x)在x=1处有极值,
所以即解得
(2)由(1)可知f(x)=x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且f′(x)=x-=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以函数y=f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
19.设,向量,函数的图象经过坐标原点,是函数的导函数.已知,,.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根,求的取值范围;
(Ⅲ)若,设数列满足.
求证:.
【答案】(I)∵,
∴ .
令,则,解得.
∴.
∵的图象过原点,
∴.
(II)原方程可以整理为.
令,则.
由有或,
且当或时,当时.
∴ 在时,在上是减函数,在上是增函数,
∴ 在上.
又,
∴ 要使原方程在上有两个不相等的实数根,则须使.
即的取值范围为.
(III)时,.
∴ ),整理得 ().
变形得 ,
令,则,() .
两边同取对数有 ,即.
令,则,且,
∴-1>2(-1)( ),
∴-1>2(-1) >22(-1)>……>(-1)=,
∴>1+>,∴=,
∴ ().
当时,=3>-1=1,即不等式也成立,
∴.
20.已知函数,
(Ⅰ)若求曲线在处的切线的斜率;(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设若存在对于任意使 求 的范围。
【答案】
(Ⅰ)若
(Ⅱ)当
当令
综上:
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,一定符合题意;
当
由题意知,只需满足
综上:
21.已知函数。
(Ⅰ)设,讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围
【答案】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e-ax.
(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数.
(ⅱ)当0 0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.
(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)= 0 ,解得x1= - , x2= .
当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
f(x)在(-∞, -), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-,)为减函数.
(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.
(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e-ax≥1,得
f(x)= e-ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1
22.函数
(I)当时,求函数的极值;
(II)设,若,
求证:对任意,且,都有.
【答案】(1)当时,
函数定义域为()且
令,解得或
当变化时,的变化情况如下表:
所以当时,,
当时,;
(2)因为,
所以,
因为,所以(当且仅当时等号成立),
所以在区间上是增函数,
从而对任意,当时,,
即,所以.