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  • 2021-05-13 发布

2015年江苏省高考数学试卷解析

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2015 年江苏省高考数学试卷   一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1.(5 分)(2015•江苏)已知集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则集合 A∪B 中元素的个数 为      .   2.(5 分)(2015•江苏)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数 为      .   3.(5 分)(2015•江苏)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模 为      .   4.(5 分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为      .   5.(5 分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球、1 只红球、2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为      .   6.(5 分)(2015•江苏)已知向量 =(2,1), =(1,﹣2),若 m +n =(9,﹣8)(m, n∈R),则 m﹣n 的值为      .   7.(5 分)(2015•江苏)不等式 2 <4 的解集为      .   8.(5 分)(2015•江苏)已知 tanα=﹣2,tan(α+β)= ,则 tanβ 的值为      .   9.(5 分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2, 高为 8 的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的 圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为      .   10.(5 分)(2015•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为      .   11.(5 分)(2015•江苏)设数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{ }的 前 10 项的和为      .   12.(5 分)(2015•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2﹣y2=1 右支上的一个动 点,若点 P 到直线 x﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为      .   13.(5 分)(2015•江苏)已知函数 f(x)=|lnx|,g(x)= ,则方程|f (x)+g(x)|=1 实根的个数为      .   14.(5 分)(2015•江苏)设向量 =(cos ,sin +cos )(k=0,1,2,…,12), 则 (ak•ak+1)的值为      .     二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(14 分)(2015•江苏)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin2C 的值.   16.(14 分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1, 设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1.   17.(14 分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的 交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l1,l2,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得 点 M 到 l1,l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1,l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千 米,以 l2,l1 在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y= (其中 a,b 为常数)模型. (1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t),并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.   18.(16 分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1(a>b> 0)的离心率为 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.   19.(16 分)(2015•江苏)已知函数 f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R). (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 b=c﹣a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值 范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1, )∪( ,+∞),求 c 的值.   20.(16 分)(2015•江苏)设 a1,a2,a3.a4 是各项为正数且公差为 d(d≠0)的等差数 列. (1)证明:2 ,2 ,2 ,2 依次构成等比数列; (2)是否存在 a1,d,使得 a1,a22,a33,a44 依次构成等比数列?并说明理由; (3)是否存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k 依次构成等比数列?并 说明理由.     三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括 21-24 题,请选定其 中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1:几何证明选讲】 21.(10 分)(2015•江苏)如图,在△ABC 中,AB=AC,△ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D. 求证:△ABD∽△AEB.   【选修 4-2:矩阵与变换】 22.(10 分)(2015•江苏)已知 x,y∈R,向量 = 是矩阵 的属于特征值﹣2 的 一个特征向量,求矩阵 A 以及它的另一个特征值.     【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.(2015•江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 ρsin(θ﹣ )﹣4=0,求圆 C 的半 径.   [选修 4-5:不等式选讲】 24.(2015•江苏)解不等式 x+|2x+3|≥2.     【必做题】每题 10 分,共计 20 分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 25.(10 分)(2015•江苏)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1. (1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时,求线段 BQ 的长.   26.(10 分)(2015•江苏)已知集合 X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n)(n∈N*),设 Sn={(a,b)|a 整除 b 或整除 a,a∈X,B∈Yn},令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数. (1)写出 f(6)的值; (2)当 n≥6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明. 2015 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析   一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1.(5 分) 考点:并集及其运算.菁优网版权所有 专题:集合. 分析:求出 A∪B,再明确元素个数 解答:解:集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则 A∪B={1,2,3,4,5}; 所以 A∪B 中元素的个数为 5; 故答案为:5 点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题 2.(5 分) 考点:众数、中位数、平均数.菁优网版权所有 专题:概率与统计. 分析:直接求解数据的平均数即可. 解答:解:数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的平均数为: =6. 故答案为:6. 点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查. 3.(5 分) 考点:复数求模.菁优网版权所有 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可. 解答:解:复数 z 满足 z2=3+4i, 可得|z||z|=|3+4i|= =5, ∴|z|= . 故答案为: . 点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力. 4.(5 分) 考点:伪代码.菁优网版权所有 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 I,S 的值,当 I=10 时不满足条件 I< 8,退出循环,输出 S 的值为 7. 解答:解:模拟执行程序,可得 S=1,I=1 满足条件 I<8,S=3,I=4 满足条件 I<8,S=5,I=7 满足条件 I<8,S=7,I=10 不满足条件 I<8,退出循环,输出 S 的值为 7. 故答案为:7. 点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础 题. 5.(5 分) 考点:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 专题:概率与统计. 分析:根据题意,把 4 个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即 可. 解答:解:根据题意,记白球为 A,红球为 B,黄球为 C1、C2,则 一次取出 2 只球,基本事件为 AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2 共 6 种, 其中 2 只球的颜色不同的是 AB、AC1、AC2、BC1、BC2 共 5 种; 所以所求的概率是 P= . 故答案为: . 点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目. 6.(5 分) 考点:平面向量的基本定理及其意义.菁优网版权所有 专题:平面向量及应用. 分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可. 解答:解:向量 =(2,1), =(1,﹣2),若 m +n =(9,﹣8) 可得 ,解得 m=2,n=5, ∴m﹣n=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力. 7.(5 分) 考点:指、对数不等式的解法.菁优网版权所有 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:利用指数函数的单调性转化为 x2﹣x<2,求解即可. 解答: 解;∵2 <4, ∴x2﹣x<2, 即 x2﹣x﹣2<0, 解得:﹣1<x<2 故答案为:(﹣1,2) 点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不 大. 8.(5 分) 考点:两角和与差的正切函数.菁优网版权所有 专题:三角函数的求值. 分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可. 解答:解:tanα=﹣2,tan(α+β)= , 可知 tan(α+β)= = , 即 = , 解得 tanβ=3. 故答案为:3. 点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查. 9.(5 分) 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径 r,求出体积, 由前后体积相等列式求得 r. 解答:解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为: . 设新圆锥和圆柱的底面半径为 r, 则新圆锥和圆柱的体积和为: . ∴ ,解得: . 故答案为: . 点评:本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题. 10.(5 分) 考点:圆的标准方程;圆的切线方程.菁优网版权所有 专题:计算题;直线与圆. 分析:求出圆心到直线的距离 d 的最大值,即可求出所求圆的标准方程. 解答:解:圆心到直线的距离 d= = ≤ , ∴m=1 时,圆的半径最大为 , ∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2. 故答案为:(x﹣1)2+y2=2. 点评:本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基 础. 11.(5 分) 考点:数列的求和;数列递推式.菁优网版权所有 专题:等差数列与等比数列. 分析:数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N*),利用“累加求和”可得 an= .再 利用“裂项求和”即可得出. 解答:解:∵数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N*), ∴当 n≥2 时,an=(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1= . 当 n=1 时,上式也成立, ∴an= . ∴ =2 . ∴数列{ }的前 n 项的和 Sn= = = . ∴数列{ }的前 10 项的和为 . 故答案为: . 点评:本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前 n 项和公式,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 12.(5 分) 考点:双曲线的简单性质.菁优网版权所有 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x±y=0,c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣y=0 的距离. 解答:解:由题意,双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x±y=0, 因为点 P 到直线 x﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立, 所以 c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣y=0 的距离,即 . 故答案为: . 点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 13.(5 分) 考点:根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析::由|f(x)+g(x)|=1 可得 g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结 论. 解答:解:由|f(x)+g(x)|=1 可得 g(x)=﹣f(x)±1. g(x)与 h(x)=﹣f(x)+1 的图象如图所示,图象有两个交点; g(x)与 φ(x)=﹣f(x)﹣1 的图象如图所示,图象有两个交点; 所以方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数为 4. 故答案为:4. 点评:本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1 实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生 分析解决问题的能力,属于中档题. 14.(5 分) 考点: 数列的求和.菁优网版权所有 专题: 等差数列与等比数列;平面向量及应用. 分析: 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期 性即可得出. 解答: 解: = + = + + + + = + + = + + , ∴ (ak•ak+1)= + + + + + + +…+ + + + + + +…+ = +0+0 = . 故答案为:9 . 点评: 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数 的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.   二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(14 分) 考点:余弦定理的应用;二倍角的正弦.菁优网版权所有 专题:解三角形. 分析:(1)直接利用余弦定理求解即可. (2)利用正弦定理求出 C 的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可. 解答:解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3× =7, 所以 BC= . (2)由正弦定理可得: ,则 sinC= = = , ∵AB<BC,∴C 为锐角, 则 cosC= = = . 因此 sin2C=2sinCcosC=2× = . 点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解 题的关键.   16.(14 分) 考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.菁优网版权所有 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析:(1)根据中位线定理得 DE∥AC,即证 DE∥平面 AA1C1C; (2)先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC,即证 AC⊥CC1;再证明 AC⊥平面 BCC1B1, 即证 BC1⊥AC;最后证明 BC1⊥平面 B1AC,即可证出 BC1⊥AB1. 解答:证明:(1)根据题意,得; E 为 B1C 的中点,D 为 AB1 的中点,所以 DE∥AC; 又因为 DE⊄平面 AA1C1C,AC⊂平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C; (2)因为棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 因为 AC⊂平面 ABC, 所以 AC⊥CC1; 又因为 AC⊥BC, CC1⊂平面 BCC1B1, BC⊂平面 BCC1B1, BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1; 又因为 BC1⊂平面平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC; 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 所以 BC1⊥平面 B1AC; 又因为 AB1⊂平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1. 点评:本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象 能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目. 17.(14 分) 考点:函数与方程的综合运用.菁优网版权所有 专题:综合题;导数的综合应用. 分析:(1)由题意知,点 M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入 y= ,建立方程组,即可求 a,b 的值; (2)①求出切线 l 的方程,可得 A,B 的坐标,即可写出公路 l 长度的函数解析式 f (t),并写出其定义域; ②设 g(t)= ,利用导数,确定单调性,即可求出当 t 为何值时,公路 l 的长度最短,并求出最短长度. 解答:解:(1)由题意知,点 M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5), 将其分别代入 y= ,得 , 解得 , (2)①由(1)y= (5≤x≤20),P(t, ), ∴y′=﹣ , ∴切线 l 的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣t) 设在点 P 处的切线 l 交 x,y 轴分别于 A,B 点,则 A( ,0),B(0, ), ∴f(t)= = ,t∈[5,20]; ②设 g(t)= ,则 g′(t)=2t﹣ =0,解得 t=10 , t∈(5,10 )时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10 ,20)时,g′(t)>0,g (t)是增函数, 从而 t=10 时,函数 g(t)有极小值也是最小值, ∴g(t)min=300, ∴f(t)min=15 , 答:t=10 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 千米. 点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正 确求导是关键. 18.(16 分) 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.菁优网版权所有 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:(1)运用离心率公式和准线方程,可得 a,c 的方程,解得 a,c,再由 a,b,c 的关 系,可得 b,进而得到椭圆方程; (2)讨论直线 AB 的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达 定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方 程. 解答:解:(1)由题意可得,e= = , 且 c+ =3,解得 c=1,a= , 则 b=1,即有椭圆方程为 +y2=1; (2)当 AB⊥x 轴,AB= ,CP=3,不合题意; 当 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将 AB 方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0, 则 x1+x2= ,x1x2= , 则 C( , ),且|AB|= • = , 若 k=0,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意; 则 k≠0,故 PC:y+ =﹣ (x﹣ ),P(﹣2, ), 从而|PC|= , 由|PC|=2|AB|,可得 = ,解得 k=±1, 此时 AB 的方程为 y=x﹣1 或 y=﹣x+1. 点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程, 运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档 题. 19.(16 分) 考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.菁优网版权所有 专题:综合题;导数的综合应用. 分析:(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出 f(x)的单调性; (2)由(1)知,函数 f(x)的两个极值为 f(0)=b,f(﹣ )= +b,则函 数 f(x)有三个不同的零点等价于 f(0)f(﹣ )=b( +b)<0,进一步转 化为 a>0 时, ﹣a+c>0 或 a<0 时, ﹣a+c<0.设 g(a)= ﹣a+c, 利用条件即可求 c 的值. 解答:解:(1)∵f(x)=x3+ax2+b, ∴f′(x)=3x2+2ax, 令 f′(x)=0,可得 x=0 或﹣ . a=0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增; a>0 时,x∈(﹣∞,﹣ )∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(﹣ ,0)时,f′ (x)<0, ∴函数 f(x)在(﹣∞,﹣ ),(0,+∞)上单调递增,在(﹣ ,0)上单调递减; a<0 时,x∈(﹣∞,0)∪(﹣ ,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,﹣ )时,f′ (x)<0, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0),(﹣ ,+∞)上单调递增,在(0,﹣ )上单调递减; (2)由(1)知,函数 f(x)的两个极值为 f(0)=b,f(﹣ )= +b,则函 数 f(x)有三个不同的零点等价于 f(0)f(﹣ )=b( +b)<0, ∵b=c﹣a, ∴a>0 时, ﹣a+c>0 或 a<0 时, ﹣a+c<0. 设 g(a)= ﹣a+c, ∵函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1, )∪ ( ,+∞), ∴在(﹣∞,﹣3)上,g(a)<0 且在(1, )∪( ,+∞)上 g(a)>0 均恒成立, ∴g(﹣3)=c﹣1≤0,且 g( )=c﹣1≥0, ∴c=1, 此时 f(x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+(a﹣1)x+1﹣a], ∵函数有三个零点, ∴x2+(a﹣1)x+1﹣a=0 有两个异于﹣1 的不等实根, ∴△=(a﹣1)2﹣4(1﹣a)>0,且(﹣1)2﹣(a﹣1)+1﹣a≠0, 解得 a∈(﹣∞,﹣3)∪(1, )∪( ,+∞), 综上 c=1. 点评:本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨 论的数学思想,难度大.   20.(16 分) 考点:等比关系的确定;等比数列的性质.菁优网版权所有 专题:等差数列与等比数列. 分析:(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明; (2)利用反证法,假设存在 a1,d 使得 a1,a22,a33,a44 依次构成等比数列,推出矛 盾,否定假设,得到结论; (3)利用反证法,假设存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k 依 次构成等比数列,得到 a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k= (a1+2d)2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到 ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln (1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点 存在定理,推出假设不成立. 解答: 解:(1)证明:∵ = =2d,(n=1,2,3,)是同一个常数, ∴2 ,2 ,2 ,2 依次构成等比数列; (2)令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4 分别为 a﹣d,a,a+d,a+2d(a>d,a>﹣2d, d≠0) 假设存在 a1,d 使得 a1,a22,a33,a44 依次构成等比数列, 则 a4=(a﹣d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4, 令 t= ,则 1=(1﹣t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(﹣ <t<1,t≠0), 化简得 t3+2t2﹣2=0(*),且 t2=t+1,将 t2=t+1 代入(*)式, t(t+1)+2(t+1)﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则 t=﹣ , 显然 t=﹣ 不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立, 因此不存在 a1,d,使得 a1,a22,a33,a44 依次构成等比数列. (3)假设存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k 依次构成等比数 列, 则 a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2 (n+2k), 分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令 t= ,(t> ,t≠0), 则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k), 将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t), 且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t), 化简得,2k[ln(1+2t)﹣ln(1+t)]=n[2ln(1+t)﹣ln(1+2t)], 且 3k[ln(1+3t)﹣ln(1+t)]=n[3ln(1+t)﹣ln(1+3t)], 再将这两式相除,化简得, ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**) 令 g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)﹣ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t), 则 g′(t)= [(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t) +3(1+t)2ln(1+t)], 令 φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t), 则 φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)﹣2(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)ln(1+t)], 令 φ1(t)=φ′(t),则 φ1′(t)=6[3ln(1+3t)﹣4ln(1+2t)+ln(1+t)], 令 φ2(t)=φ1′(t),则 φ2′(t)= >0, 由 g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t)>0, 知 g(t),φ(t),φ1(t),φ2(t)在(﹣ ,0)和(0,+∞)上均单调, 故 g(t)只有唯一的零点 t=0,即方程(**)只有唯一解 t=0,故假设不成立, 所以不存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k 依次构成等比数 列. 点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数 推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.   三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括 21-24 题,请选定其 中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1:几何证明选讲】 21.(10 分) 考点:相似三角形的判定.菁优网版权所有 专题:推理和证明. 分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似. 解答:证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE 是公共角, 可知:△ABD∽△AEB. 点评:本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.   【选修 4-2:矩阵与变换】 22.(10 分) 考点:特征值与特征向量的计算.菁优网版权所有 专题:矩阵和变换. 分析:利用 A =﹣2 ,可得 A= ,通过令矩阵 A 的特征多项式为 0 即得结论. 解答: 解:由已知,可得 A =﹣2 ,即 = = , 则 ,即 , ∴矩阵 A= , 从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=(λ+2)(λ﹣1), ∴矩阵 A 的另一个特征值为 1. 点评:本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.   【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.(2015•江苏) 考点:简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有 专题:计算题;坐标系和参数方程. 分析:先根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径. 解答:解:圆的极坐标方程为 ρ2+2 ρsin(θ﹣ )﹣4=0,可得 ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0, 化为直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y﹣4=0, 化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6, 圆的半径 r= . 点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关 键是利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,   [选修 4-5:不等式选讲】 24.(2015•江苏) 考点:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 专题:不等式. 分析:思路 1(公式法):利用|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或 f(x)≤﹣g(x); 思路 2(零点分段法):对 x 的值分“x≥ ”“x< ”进行讨论求解. 解答:解法 1:x+|2x+3|≥2 变形为|2x+3|≥2﹣x, 得 2x+3≥2﹣x,或 2x+3≥﹣(2﹣x), 即 x≥ ,或 x≤﹣5, 即原不等式的解集为{x|x≥ ,或 x≤﹣5}. 解法 2:令|2x+3|=0,得 x= . ①当 x≥ 时,原不等式化为 x+(2x+3)≥2,即 x≥ , 所以 x≥ ; ②x< 时,原不等式化为 x﹣(2x+3)≥2,即 x≤﹣5, 所以 x≤﹣5. 综上,原不等式的解集为{x|x≥ ,或 x≤﹣5}. 点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪 种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些, 其套路为:|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或 f(x)≤﹣g(x);|f(x)|≤g(x)⇔﹣g (x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时, 应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.   【必做题】每题 10 分,共计 20 分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 25.(10 分)( 考点:二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.菁优网版权所有 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析:以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系 A﹣xyz. (1)所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝 对值,计算即可; (2)利用换元法可得 cos2< , >≤ ,结合函数 y=cosx 在(0, )上的单调 性,计算即得结论. 解答:解:以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系 A﹣xyz 如 图, 由题可知 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2). (1)∵AD⊥平面 PAB,∴ =(0,2,0),是平面 PAB 的一个法向量, ∵ =(1,1,﹣2), =(0,2,﹣2), 设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z), 由 ,得 , 取 y=1,得 =(1,1,1), ∴cos< , >= = , ∴平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为 ; (2)∵ =(﹣1,0,2),设 =λ =(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1), 又 =(0,﹣1,0),则 = + =(﹣λ,﹣1,2λ), 又 =(0,﹣2,2),从而 cos< , >= = , 设 1+2λ=t,t∈[1,3], 则 cos2< , >= = ≤ , 当且仅当 t= ,即 λ= 时,|cos< , >|的最大值为 , 因为 y=cosx 在(0, )上是减函数,此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值. 又∵BP= = ,∴BQ= BP= . 点评:本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的 积累,属于中档题. 26.(10 分) 考点:数学归纳法.菁优网版权所有 专题:综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析:(1)f(6)=6+2+ + =13; (2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论. 解答:解:(1)f(6)=6+2+ + =13; (2)当 n≥6 时,f(n)= . 下面用数学归纳法证明: ①n=6 时,f(6)=6+2+ + =13,结论成立; ②假设 n=k(k≥6)时,结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1 在 Sk 的基础上新增加的元素 在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论: 1)若 k+1=6t,则 k=6(t﹣1)+5,此时有 f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2+ + ,结论成立; 2)若 k+1=6t+1,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+ + +1=(k+1)+2+ + ,结论成立; 3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2=(k+1) +2+ + ,结论成立; 4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2=(k+1)+2+ + ,结论成立; 5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2=(k+1)+2+ + ,结论成立; 6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2=(k+1)+2+ + ,结论成立. 综上所述,结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立. 点评:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.