揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试理数 13页

揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试 数学（理科）‎ 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.‎ ‎4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合， ，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知复数，则 ‎（A）4 （B）6 （C）8 （D）10‎ ‎（3）已知向量，，若，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知，实数满足 ，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为 ‎（A）3.5里 （B）7里 （C）14里 （D）28里 ‎（7）函数的部分图象大致为‎-1‎ ‎1‎ x y ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知两条直线与被圆截得的线段长均为，则圆的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ 图1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（9）某几何体三视图如图1示，则此几何体的表面积为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段 的垂直平分线经过点F2，且，则此双曲线 C的离心率为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（11）某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为 ‎（A）60 （B）180 （C）360 （D）720‎ ‎（12）已知是函数的极值点，且满足，则符合要求的的个数为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上．‎ ‎（13）图2是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出的 y的值是 . ‎ ‎（14）已知实数满足约束条件，则的 取值范围为是 ．‎ ‎ （15）已知数列满足，设数列的前n项和为，则 ‎ =___________. ‎ ‎ （16）已知抛物线的焦点为，抛物线上的动点（不在原点）在轴上的投影为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，当最小时，三角形的面积为 ． ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知， ，.‎ ‎（Ⅰ）求角A的值；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图3，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC和 ‎△PAC都是正三角形，，E、F分别是AC、BC的中点，且 PD⊥AB于D. ‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PEF⊥平面PED；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得图4‎ 的条形图：记x表示1台机器在三年使用期 内需更换的易损零件数，y表示1台机器在 图4‎ 购买易损零件上所需的费用（单位：元）,‎ 表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）若=19，求y与x的函数解析式；‎ ‎（II）以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率．‎ ‎（ⅰ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的概率不小于0.5，求的最小值；‎ ‎（ⅱ）假设取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此 作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知A是椭圆上的动点，点，点与点关于原点对称.‎ ‎（I）求△PAC面积的最大值；‎ ‎（II）若射线、分别与椭圆T交于点、，且，，证明：‎ 为定值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知，函数. ‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）已知当时，函数有两个零点和（），求证：．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方 程为（m为参数），当k变化时，设 l1与l2的交点的轨迹为曲线C． ‎ ‎（I）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（II）设曲线C上的点A的极角为，射线OA与直线 的交点为B，且，求的值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数，a为实数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集； ‎ ‎（II）求的最小值．‎ 数学（理科）参考答案 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数． ‎ 一、选择题 题序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B A ‎ A B C A B D C B 解析: （9）由三视图知，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径为、高为1的圆柱的组合体，其表面积.‎ ‎（10）不妨设点P在第一象限，依题意有，，又由得.‎ ‎（11）；‎ ‎（12）法1：由是函数的极值点可得，即，故因，当时，，成立；当时，；‎ 当时，，；综上知，满足题意的时，共个．‎ ‎【法:2：由题意知，得()；由图象得的解为或，即或，即或，因()故无解，由得时，共个．】‎ 二、填空题 题序 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎2‎ 解析（16）显然，即的最小值为，仅当、、 ‎ 共线且点在、之间时取等号，此时，即直线 的斜率为（取也可），联立，可得，故．‎ 三、解答题 ‎（17）解：（Ⅰ）由已知及，‎ 得，-------------------------------------------------------------------------------2分 即，得-----------------------------------------------------------4分 又，∴，‎ 即；-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）由已知及正弦定理得，--------------------------------------------------------------7分 由余弦定理，‎ 得， -----------------------------------------------------------9分 解得，-------------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎∴△ABC的面积为．-----------------------------------------------------------12分 ‎（18）解：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，‎ ‎∴EF//AB，----------------------------------------------------------------------------------------------------1分 在正三角形PAC中，PE⊥AC，‎ 又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，‎ ‎∴PE⊥平面ABC，----------------------------------------------------------------------------------------3分 ‎∴PE⊥AB，‎ 又PD⊥AB，PE∩PD=P，‎ ‎∴AB⊥平面PED， --------------------------------------------------------------------------------------5分 又EF//AB，∴EF⊥平面PED，‎ 又平面PEF，∴平面PEF⊥平面PED.------------------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）解法1：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，‎ ‎∴BE⊥平面PAC，----------------------------------------------------------------------------------------7分 以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在 的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，‎ 则,,--------8分 ‎,,‎ 设为平面PAB的一个法向量，‎ 则由得 ‎，令，得，即------------------------------10分 设二面角的大小为，则,‎ ‎，‎ 即二面角的正弦值为. ---------------------------------------------------------12分】‎ ‎【解法2：由（Ⅰ）知EF⊥平面PED，∴EF⊥ED，‎ ‎ 以点E为坐标原点，ED所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴，‎ 建立空间直角坐标系如图示，‎ ‎∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD=,,,‎ 又,∴,,‎ 则,, -------------------------------------8分 ‎∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，‎ ‎∴BE⊥平面PAE，故为平面PAE的法向量，----------------------------------9分 设为平面PAD的一个法向量，则由得 ‎，令得，故---------------------------------10分 设二面角的大小为，则,‎ ‎，‎ 即二面角的正弦值为. ---------------------------------------------------------12分】‎ ‎【解法3：二面角即二面角C-PA-B，‎ ‎ 在平面PAB内过点B作于G，连结GE,‎ ‎ ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，‎ ‎∴BE⊥平面PAC，∴,‎ 又，,‎ ‎∴平面BEG，∴PA⊥GE，‎ ‎∴∠EGB为二面角C-PA-B的平面角，----------------------------8分 ‎∵,，‎ ‎，，--------------------------------11分 即二面角的正弦值为. --------------------------------------------------------12分】‎ ‎（19）解：（I）依题意得------------------------------------------3分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由条形图知,，，，，‎ 故，------------------------------------5分 ‎，--------------------------------------6分 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,‎ 不大于19的概率为0.7,故的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分 ‎（ⅱ）n取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为元和元,‎ 则的可能取值为：1900,2150,2400.‎ 且,,，‎ 故 (元) -----------------------------------9分 的可能取值为：2000,2250.‎ 且，，‎ 故（元） ------------------------------------------------11分 ‎，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. --------------------------------12分 ‎（20）解：（Ⅰ）设，依题意得点,------------------------------------------------1分 ‎ 则----------------------------------------------------------------------2分 ‎∵点A在椭圆上，∴，------------------------------------------------------3分 ‎∴（当且仅当时等号成立）‎ ‎∴△PAC面积的最大值为1. -----------------------------------------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为，‎ 由，消去，得，----------------------------------------5分 设，由韦达定理，得，‎ 而由，得，故，，‎ 代入①、②，得 两式相除，得，代入④，整理得；-----------------7分 对于射线，同样的方法可得，‎ 故是方程的两个根， ------------------------------------------------9分 由韦达定理，； --------------------------------------------------------------------------10分 当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（0.-1），D、A重合，‎ 由，，得这时；--------------------------11分 若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得；‎ 综上可知为定值，该值为.-------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，‎ 设其方程为由，消去，得，------------5分 设，由韦达定理，得，----------------------------------------------------6分 又，代入上式得，----------------------------------------------7分 由，得，故，‎ 得，-----------------------------------------------------------------------8分 对于射线，同样的方法可得，----------9分 ‎∴．-------------------------------------------------------------------10分 当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（0.-1），D、A重合，‎ 由，，得这时；---------------------------11分 若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得；‎ 综上可知为定值，该值为.--------------------------------------------------------------12分】‎ ‎（21）解：（Ⅰ） ，，‎ ‎①若，显然恒成立，在上单调递增；-----------------------2分 ‎②若，当时，，当时，，‎ 故在上单调递减，在上单调递增；----------------------------------------4分 ‎③若，当时，，‎ 当时，由，得，由，得，‎ 故在上单调递减，在上单调递增；-----------------6分 ‎（Ⅱ）证法1：∵，故，结合的单调性知，‎ 的两个零点和满足以及，且，----7分 ‎∴，，于是，-------------------------8分 令，（）‎ 则，----------------------------9分 记，，‎ 则，∴在上单调递减，，故，‎ 即函数 在上单调递减，∴，‎ ‎∴，----------------------------------------------------------------------------------------11分 又在上单调递减，‎ ‎∴---------------------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法2：∵，故，结合的单调性知，‎ 的两个零点和满足以及，且，----7分 要证明，只需证，即证，--------------------------8分 注意到、，且在上单调递减，‎ 故只需证，即证，--------------------------------------9分 而，‎ 记，，，‎ 记，，则，‎ 故即单调递减，，-------------------------------------11分 故单调递减，，‎ 于是成立，原题得证．----------------------------------------------------------12分】‎ 选做题：‎ ‎（22）解：（Ⅰ）直线l1的普通方程为，----------------------------------------------1分 直线l2的普通方程为，-----------------------------------------------------------------------2分 联立两方程消去k，得，即曲线C的普通方程为，--------3分 由得曲线C的极坐标方程为；---------------------4分 化简得-------------------------------------------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）把代入，得，‎ ‎∴，得， --------------------------------------------------------------------------7分 由已知得，------------------------------------------------------------------------------8分 把，代入方程l3得，‎ 又，∴---------------------------------------------------------------------9分 ‎∴，．--------------------------------------------------------------------------------10分 ‎（23）解：（Ⅰ）当时，不等式即，-------------------1分 ‎①当时，得，无解；------------------------------------------------------------2分 ‎②当时，得，‎ 解得，得；-------------------------------------------------------------------------3分 ‎③当时，得，无解；---------------------------------------------------------------4分 综上知，不等式的解集为.-----------------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ），--------------------------------------------------6分 ‎①当或时，，-----------------------------------------------8分 ‎②当时，，-------------------------------------------------9分 综上知，的最小值为2．-----------------------------------------------------------10分