2015高考数学（理）（数系的扩充与复数的引入）一轮复习学案 8页

学案72　数系的扩充与复数的引入 导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．‎ 自主梳理 ‎1．数系的扩充 数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．‎ ‎2．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若________________，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．‎ 复数集C和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．‎ ‎(5)复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________.‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________；‎ ‎④除法：＝＝ ‎＝________________________(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________________.‎ 自我检测 ‎1．(2011·山东)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i ‎3．(2011·大纲全国)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1等于(　　)‎ A．－2i B．－i C．i D．2i ‎4．(2011·重庆)复数等于(　　)‎ A．－－i B．－＋i C.－i D.＋i ‎5．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________.‎ 探究点一　复数的基本概念 例1　设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．‎ ‎(1)若z为实数，则m＝________；‎ ‎(2)若z为纯虚数，则m＝________.‎ 变式迁移1　已知复数z＝＋(a2－‎5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：‎ ‎(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．‎ 探究点二　复数的四则运算 例2　(2010·全国Ⅱ)复数2等于(　　)‎ A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 变式迁移2　计算：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3).‎ 例3　(2011·唐山模拟)计算：＋2 012＋.‎ 变式迁移3　(1)(2010·四川)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3等于(　　)‎ A．－1 B．‎1 ‎ C．－i D．i ‎(2)(2010·福建)i是虚数单位，()4等于(　　)‎ A．i B．－i C．1 D．－1‎ ‎(3)i是虚数单位，＋等于(　　)‎ A．i B．－i C．1 D．－1‎ 探究点三　复数的点坐标表示 例4　如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎(1)所表示的复数，所表示的复数；‎ ‎(2)对角线所表示的复数；‎ ‎(3)求B点对应的复数．‎ 变式迁移4　(2011·江苏苏北四市期末)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(‎2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________________．‎ ‎2．乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法则：＝＝＋i(c＋di≠0)．特别地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.‎ ‎3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：‎ ‎(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 (n∈N)；‎ ‎(2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i.‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·江西)若z＝，则复数等于(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i ‎2．(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．－4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i ‎3．(2011·平顶山调研)若θ∈(，)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．(2011·课标全国)复数的共轭复数是(　　)‎ A．－i B.i C．－i D．i ‎5．下面四个命题：‎ ‎①0比－i大；‎ ‎②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；‎ ‎③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；‎ ‎④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，则复数的虚部为______．‎ ‎7．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m＝________.‎ ‎8．(2011·上海九校联考)复数z＝x＋yi (x，y∈R)满足|z－1|＝x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为__________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)已知|z|－z＝1－2i，求复数z.‎ ‎10．(12分)(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.‎ ‎11．(14分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋‎2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．‎ 学案72　数系的扩充与复数的引入 自主梳理 ‎1．自然数系　有理数系　实数系　N　Q　R　2.(1)实部 虚部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0　(2)a＝c，b＝d ‎(3)a＝c，b＝－d　(4)x轴　y轴　实数　纯虚数　非纯虚数　所有的点　原点O　(5)|z|　|a＋bi|　 ‎3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i　④ ‎(2)　z2＋z1　z1＋(z2＋z3)‎ 自我检测 ‎1．D　[∵z＝＝＝＝－i，‎ ‎∴复数z对应的点的坐标为(，－)，在第四象限．]‎ ‎2．B　[方法一　设z＝x＋yi，‎ 则(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2，‎ 故应有解得故z＝1－i.‎ 方法二　z＝＝＝1－i.]‎ ‎3．B　[∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2，‎ ‎∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]‎ ‎4．C　[＝＝＝ ‎＝＝－i.]‎ ‎5．1‎ 解析　设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，‎ 得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.‎ 课堂活动区 例1　解题导引　根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值．利用概念解题时，要看准实部与虚部．‎ ‎(1)1或2　(2)－ 解析　z＝(‎2m2‎－‎3m－2)＋(m2－‎3m＋2)i.‎ ‎(1)若z为实数，则m2－‎3m＋2＝0.∴m＝1或2.‎ ‎(2)若z为纯虚数，则 解得m＝－.‎ 变式迁移1　解　(1)当z为实数时，则有，‎ ‎∴，∴a＝6，即a＝6时，z为实数．‎ ‎(2)当z为虚数时，‎ 则有a2－‎5a－6≠0且a2－1≠0，‎ ‎∴a≠－1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.‎ ‎∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，‎ z为虚数．‎ ‎(3)当z为纯虚数时，有，∴.‎ ‎∴不存在实数a使z为纯虚数．‎ 例2　解题导引　复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．‎ A　[2＝2＝2‎ ‎＝(1－2i)2＝－3－4i.]‎ 变式迁移2　解　(1)＝＝－1－3i.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝＝＋i.‎ ‎(3)＝＝＝ ‎＝－－i.‎ 例3　解题导引　注意in (n∈N)的周期性，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1‎ ‎ (其中k∈N)，以及(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i等运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为a＋bi (a，b∈R)的形式．‎ 解　原式＝＋1 006＋ ‎＝＋1 006＋0‎ ‎＝i＋(－i)1 006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i.‎ 变式迁移3　(1)A　(2)C　(3)D 解析　(1)i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1.‎ ‎(2)()4＝[()2]2＝()2＝1.‎ ‎(3)＋＝＋ ‎＝＝＝－1.‎ 例4　解题导引　根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．‎ 解　(1)∵＝－，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎(2)∵＝－，∴所表示的复数为 ‎(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎(3)∵＝＋＝＋，‎ ‎∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，‎ 即B点对应的复数为1＋6i.‎ 变式迁移4　c>且c≠9‎ 解析　在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c，‎2c－6)，由∠BAC是钝角得·<0且B、A、C不共线，由(－3，－4)·(c－3,‎2c－10)<0，解得c>，其中当c＝9时，＝(6,8)＝－2，三点共线，故c≠9.‎ 课后练习区 ‎1．D　[∵z＝＝＝2－i，‎ ‎∴＝2＋i.]‎ ‎2．C　[复数6＋5i对应A点的坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i.]‎ ‎3．B　[由三角函数线知识得当θ∈(，)时，‎ sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故选B.]‎ ‎4．C　[方法一　∵＝＝ ‎＝i，‎ ‎∴的共轭复数为－i.‎ 方法二　∵＝＝＝i.‎ ‎∴的共轭复数为－i.]‎ ‎5．A　[(1)中实数与虚数不能比较大小；‎ ‎(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；‎ ‎(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；‎ ‎(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．]‎ ‎6．－1‎ 解析　＝＝＝－i，‎ 故虚部为－1.‎ ‎7．－ 解析　＝＝ ‎＝是实数，∴6＋‎4m＝0，故m＝－.‎ ‎8．y2＝2x－1‎ 解析　由|z－1|＝x得|(x－1)＋yi|＝x，‎ 故(x－1)2＋y2＝x2，x≥0，整理得y2＝2x－1.‎ ‎9．解　设z＝a＋bi (a、b∈R)，‎ 则－(a＋bi)＝1－2i.(5分)‎ 由两复数相等的充要条件得 解得.(10分)‎ 所以所求复数为z＝＋2i.(12分)‎ ‎10．解　(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.(4分)‎ 设z2＝a＋2i，a∈R，‎ 则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(‎2a＋2)＋(4－a)i.‎ ‎∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.(12分)‎ ‎11．解　(1)当z为实数时，则有m2＋‎2m－3＝0且m－1≠0‎ 得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2分)‎ ‎(2)当z为纯虚数时，则有 解得m＝0，或m＝2.‎ ‎∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(4分)‎ ‎(3)当z对应的点位于复平面第二象限时，则有， 解得m<－3或1