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- 2021-05-13 发布
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选修4-4 坐标系与参数方程
1.坐标系与极坐标
(1)理解坐标系的作用.
(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标与直角坐标的互化.
(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示图形时选择坐标系的意义.
2.参数方程
(1)了解参数方程,了解参数的意义.
(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相关问题.
知识点一 极坐标系
1.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点O,点O叫作极点,自极点O引一条射线Ox,Ox叫作极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向,这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径,记为ρ.
②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为θ.
③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
2.极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:
易误提醒
1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.在解决此类问题时考生要注意两个方面:一是准确应用公式,二是注意方程中的限制条件.
2.在极坐标系下,点的极坐标不唯一性易忽视.
注意极坐标(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标.
[自测练习]
1.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为________.
解析:由知
代入y=sin x中得y′=3sin 2x′.
答案:y′=3sin 2x′
2.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为________.
解析:因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.
答案:
3.(2015·高考北京卷)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为________.
解析:点的直角坐标为(1,),直线ρ(cos θ+sin θ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,所以点(1,)到直线的距离d==1.
答案:1
知识点二 参数方程
参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一点P的坐标x,y是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由函数式所确定的点P(x,y)都在曲线C上,那么方程叫作这条曲线的参数方程,变数t叫作参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程.
易误提醒
1.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,否则不等价.
2.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义,且其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.
[自测练习]
4.在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为________.
解析:依题意,消去参数可得x-2=y-1,即x-y-1=0.
答案:x-y-1=0
5.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆(θ为参数)的右焦点,且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________.
解析:椭圆的普通方程为+=1,则右焦点的坐标为(1,0).直线的普通方程为x-2y+2=0,过点(1,0)与直线x-2y+2=0平行的直线方程为x-2y-1=0,由得4x2-2x-11=0,所以所求的弦长为× =.
答案:
考点一 曲线的极坐标方程|
1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin =.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0,
直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,即x-y+1=0.
(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
2.(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解:(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2.
所以x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
即ρsin=.
直角坐标化为极坐标的关注点
(1)根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρ,θ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.
当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.
考点二 曲线的参数方程|
1.已知曲线C1:(t为参数)曲线C2:(θ为参数)
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)的距离的最小值.
解:(1)曲线C1:(x+4)2+(y-3)2=1,曲线C2:+=1,
曲线C1是以(-4,3)为圆心,1为半径的圆;
曲线C2是以坐标原点为中心,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ),故M.曲线C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|,从而当cos θ=,sin θ=-时,d取最小值.
2.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为
d=|4cos θ+3sin θ-6|.
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,
其中α为锐角,且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.
考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|
(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
[解] (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线,在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.
解:(1)直线l的参数方程:(t为参数).
∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ,∴C:x2+y2=4x.
(2)直线l的参数方程:(t为参数),
代入x2+y2=4x,得t2+4(sin α+cos α)t+4=0,
∴sin α·cos α>0,又0≤α<π,
∴α∈,且t1<0,t2<0.
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|
=4(sin α+cos α)=4sin,
由α∈,得α+∈,
∴0)为极坐标方程;
(2)化曲线的极坐标方程ρ=8sin θ为直角坐标方程.
解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2=r2,得ρ2cos2 θ+ρ2sin2 θ=r2,ρ2(cos2 θ+sin2 θ)=r2,ρ=r.所以,以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r(0≤θ<2π).
(2)法一:把ρ=,sin θ=代入ρ=8sin θ,
得=8·,即x2+y2-8y=0.
法二:方程两边同时乘以ρ,得ρ2=8ρsin θ,即x2+y2-8y=0.
2.(2016·济宁模拟)已知直线l:ρsin=4和圆C:ρ=2kcos(k≠0),若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.
解:∵ρ=kcos θ-ksin θ,
∴ρ2=kρcos θ-kρsin θ,
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-kx+ky=0,即2+2=k2,
∴圆心的直角坐标为.
∵ρsin θ·-ρcos θ·=4,
∴直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,
∴-|k|=2.
即|k+4|=2+|k|,两边平方,得|k|=2k+3,
∴或
解得k=-1,故圆心C的直角坐标为.
3.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;
(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值及此时P点的直角坐标.
解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,
点R的直角坐标为R(2,2).
(2)设P(cos θ,sin θ),
根据题意可得|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,
∴|PQ|+|QR|=4-2sin (θ+60°),
当θ=30°时,|PQ|+|QR|取最小值2,
∴矩形PQRS周长的最小值为4,
此时点P的直角坐标为.
4.(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,已知点P
的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C的半径为4.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.
(2)试判断直线l与圆C的位置关系.
解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).
由题知C点的直角坐标为(0,4),圆C的半径为4,
∴圆C方程为x2+(y-4)2=16,将代入得,圆C的极坐标方程为ρ=8sin θ.
(2)由题意得,直线l的普通方程为x-y-5-=0,
圆心C到l的距离为d==>4,∴直线l与圆C相离.
5.倾斜角为α的直线l过点P(8,2),直线l和曲线C:(θ为参数)交于不同的两点M1,M2.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并写出直线l的参数方程;
(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围.
解:(1)曲线C的普通方程为+=1,直线l的参数方程为(t为参数).
(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得:(8+tcos α)2+8(2+tsin α)2=32,
整理得(8sin2 α+cos2 α)t2+(16cos α+32sin α)t+64=0,
由Δ=(16cos α+32sin α)2-4×64(8sin2 α+cos2 α)>0,得cos α>sin α,故α∈,
∴|PM1||PM2|=|t1t2|=∈.
B组 高考题型专练
1.(2015·高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,求点A到直线l的距离.
解:由2ρsin=得2ρ=,所以y-x=1,故直线l的直角坐标方程为x-y+1=0,而点A对应的直角坐标为A(2,-2),所以点A(2,-2)到直线l:x-y+1=0的距离为=.
2.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,
解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
3.(2015·高考湖南卷)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
解:(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①
将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②
(2)将代入②,得t2+5t+18=0,设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
4.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
解:(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.
(2)设P,又C(0,),
则|PC|= =,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,P点的直角坐标为(3,0).