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  • 2021-05-13 发布

高考数学压轴题解题技巧和方法

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圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型:‎ ‎(1)中点弦问题 ‎ 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为,,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。‎ 如:(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有。‎ ‎ (2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有 ‎(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.‎ ‎ 典型例题 给定双曲线。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点 及,求线段的中点P的轨迹方程。‎ ‎(2)焦点三角形问题 ‎ 椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点、构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 ‎ ‎ 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点,,为焦点,,。‎ ‎ (1)求证离心率;‎ ‎ (2)求的最值。‎ ‎(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 ‎ 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。‎ 典型例题 ‎ ‎ (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 ‎ (2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。‎ ‎(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。‎ ‎ <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。‎ ‎<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。‎ ‎(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。‎ 最值问题的处理思路:‎ ‎ 1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;‎ ‎2、数形结合,用化曲为直的转化思想;‎ ‎3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;‎ ‎4、借助均值不等式求最值。‎ 典型例题 已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,‎ ‎|AB|≤2p ‎(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。‎ ‎(5)求曲线的方程问题 ‎1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。‎ 典型例题 已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。‎ ‎2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 M N Q O 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。‎ ‎(6) 存在两点关于直线对称问题 ‎ 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)‎ 典型例题 已知椭圆C的方程,试确定m的取值范围,使得对于直线,椭圆C上有不同两点关于直线对称 ‎(7)两线段垂直问题 ‎ 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用来处理或用向量的坐标运算来处理。‎ 典型例题 已知直线的斜率为,且过点,抛物线,直线与抛物线C有两个不同的交点(如图)。‎ ‎ (1)求的取值范围;‎ ‎(2)直线的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。‎ 四、解题的技巧方面:‎ ‎ 在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:‎ ‎(1)充分利用几何图形 ‎ 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。‎ ‎ 典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点,O为坐标原点,若,求的值。‎ ‎(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。‎ 典型例题 已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点,且,,求此椭圆方程。‎ ‎(3) 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。‎ 典型例题 求经过两已知圆和0的交点,且圆心在直线:上的圆的方程。‎ ‎(4)充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。‎ 典型例题 P为椭圆上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。‎ ‎(5)线段长的几种简便计算方法 ‎① 充分利用现成结果,减少运算过程 ‎ 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中,得到型如的方程,方程的两根设为,,判别式为△,则,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。‎ 例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。‎ ‎② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。‎ 例 、是椭圆的两个焦点,AB是经过的弦,若,求值 ‎③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A(3,2)为定点,点F是抛物线的焦点,点P在抛物线上移动,若取得最小值,求点P的坐标。‎ 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备:‎ ‎1. 直线方程的形式 ‎(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。‎ ‎(2)与直线相关的重要内容 ‎①倾斜角与斜率 ‎②点到直线的距离 ③夹角公式:‎ ‎(3)弦长公式 直线上两点间的距离:‎ ‎ 或 ‎(4)两条直线的位置关系 ‎①=-1 ② ‎ ‎2、圆锥曲线方程及性质 ‎(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)‎ ‎ 标准方程:‎ ‎ 距离式方程:‎ ‎ 参数方程:‎ ‎(2)、双曲线的方程的形式有两种 ‎ 标准方程:‎ ‎ 距离式方程:‎ ‎(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?‎ ‎ ‎ ‎(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?‎ 如:已知是椭圆的两个焦点,平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是( )‎ A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线 ‎(5)、焦点三角形面积公式:‎ ‎ ‎ ‎(其中)‎ ‎(6)、记住焦半径公式:(1),可简记为“左加右减,上加下减”。‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)‎ ‎(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? ‎ 第二、方法储备 ‎1、点差法(中点弦问题)‎ 设、,为椭圆的弦中点则有 ‎,;两式相减得 ‎=‎ ‎2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?‎ ‎ 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到两个式子,然后-,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为,就意味着k存在。‎ 例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).‎ ‎(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;‎ ‎(2)若角A为,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.‎ 分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为 可得出AB⊥AC,从而得,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;‎ 解:(1)设B(,),C(,),BC中点为(),F(2,0)则有 两式作差有 (1) F(2,0)为三角形重心,所以由,得,由得,代入(1)得 直线BC的方程为 2)由AB⊥AC得 (2)‎ 设直线BC方程为,得 , 代入(2)式得 ,解得或 直线过定点(0,,设D(x,y),则,即 所以所求点D的轨迹方程是。‎ ‎4、设而不求法 例2、如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围。‎ 分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系,如图,若设C,代入,求得,进而求得再代入,建立目标函数,整理,此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,‎ 建立目标函数,整理,化繁为简.‎ ‎ 解法一:如图,以AB为垂直平分线为轴,直线AB为轴,建立直角坐标系,则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ‎ 依题意,记A,C,E,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高,由定比分点坐标公式得 ‎ , ‎ 设双曲线的方程为,则离心率 由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ‎ , ①‎ ‎ ② ‎ 由①式得 , ③‎ 将③式代入②式,整理得 ‎ ‎ ,‎ 故 ‎ 由题设得,‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ 分析:考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示,回避的计算, 达到设而不求的解题策略.‎ ‎ 解法二:建系同解法一,,‎ ‎,又,代入整理,由题设得,‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎5、判别式法 例3已知双曲线,直线过点,斜率为,当时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为,试求的值及此时点B的坐标。‎ 分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发,可设计如下解题思路:‎ 把直线l’的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式 直线l’在l的上方且到直线l的距离为 解题过程略.‎ 分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:‎ 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程有唯一解 简解:设点为双曲线C上支上任一点,则点M到直线的距离为:‎ ‎ ‎ 于是,问题即可转化为如上关于的方程.‎ 由于,所以,从而有 于是关于的方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可知:‎ ‎ 方程的二根同正,故恒成立,于是等价于 ‎.‎ ‎ 由如上关于的方程有唯一解,得其判别式,就可解得 .‎ 点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.‎ 例4已知椭圆C:‎ 和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.‎ 分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.‎ 由于点的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率作为参数,如何将与联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件:来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到,要建立与的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.‎ 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数. ‎ 将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程:y = k (x—4)+1,消去参数k 点Q的轨迹方程 ‎ ‎ 在得到之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关于的方程(不含k),则可由解得,直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。‎ 简解:设,则由可得:,‎ 解之得: (1)‎ 设直线AB的方程为:,代入椭圆C的方程,消去得出关于 x的一元二次方程:‎ ‎ (2)‎ ‎∴ ‎ 代入(1),化简得: (3)‎ 与联立,消去得:‎ 在(2)中,由,解得 ‎ ‎,结合(3)可求得 ‎ 故知点Q的轨迹方程为: ().‎ 点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.‎ ‎6、求根公式法 例5设直线过点P(0,3),和椭圆顺次交于A、B两点,试求的取值范围.‎ 分析:本题中,绝大多数同学不难得到:=,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.‎ 分析1: 从第一条想法入手,=已经是一个关系式,但由于有两个变量,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.‎ 所求量的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程 xA= f(k),xB = g(k)‎ 得到所求量关于k的函数关系式 求根公式 AP/PB = —(xA / xB)‎ 由判别式得出k的取值范围 简解1:当直线垂直于x轴时,可求得;‎ 当与x轴不垂直时,设,直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得 解之得 ‎ 因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑的情形.‎ 当时,,,‎ 所以 ===.‎ 由 , 解得 ,‎ 所以 ,‎ 综上 .‎ ‎ 分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于的对称关系式.‎ 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程 xA+ xB = f(k),xA xB = g(k)‎ 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = —(xA / xB)‎ 由判别式得出k的取值范围 简解2:设直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得 ‎ (*)‎ 则 令,则,‎ 在(*)中,由判别式可得 ,‎ 从而有 ,所以 ,解得 .‎ 结合得. ‎ 综上,.‎ 点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.‎ 解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.‎ 第三、推理训练:数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。‎ 例6椭圆长轴端点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点,‎ 且,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)记椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,问:是否存在直线,使点恰为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。‎ 思维流程:‎ 写出椭圆方程 由,‎ ‎,‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎ ‎ 由F为的重心 ‎(Ⅱ) ‎ 两根之和,‎ 两根之积 得出关于 m的方程 解出m ‎ 消元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解题过程: ‎ ‎(Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为,则 又∵即 ,∴ ‎ 故椭圆方程为 ‎ ‎ (Ⅱ)假设存在直线交椭圆于两点,且恰为的垂心,则 设,∵,故,‎ 于是设直线为 ,由得, ‎ ‎∵ 又 得 即 ‎ 由韦达定理得 ‎ ‎ 解得或(舍) 经检验符合条件.‎ 点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.‎ 例7、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程:‎ ‎(Ⅱ)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,,当Δ内切圆的面积最大时,求Δ内心的坐标;‎ 由椭圆经过A、B、C三点 设方程为 得到的方程组 解出 思维流程:‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎ ‎ 由内切圆面积最大 转化为面积最大 转化为点的纵坐标的绝对值最大最大 为椭圆短轴端点 面积最大值为 ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ 得出点坐标为 解题过程: (Ⅰ)设椭圆方程为,将、、代入椭圆E的方程,得 解得.∴椭圆的方程 ‎ . ‎ ‎(Ⅱ),设Δ边上的高为 ‎ 当点在椭圆的上顶点时,最大为,所以的最大值为.‎ ‎ 设Δ的内切圆的半径为,因为Δ的周长为定值6.所以,‎ ‎ 所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为.‎ 点石成金: ‎ 例8、已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点.‎ ‎(Ⅰ)若线段中点的横坐标是,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)在轴上是否存在点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 思维流程:‎ ‎(Ⅰ)解:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,‎ 将代入, 消去整理得 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 由线段中点的横坐标是, 得,解得 ‎,符合题意。‎ 所以直线的方程为 ,或 . ‎ ‎(Ⅱ)解:假设在轴上存在点,使为常数.‎ ① 当直线与轴不垂直时,由(Ⅰ)知 ‎ 所以 ‎ 将代入,整理得 ‎ 注意到是与无关的常数, 从而有, 此时 ‎ ② 当直线与轴垂直时,此时点的坐标分别为,当时, 亦有 ‎ ‎ 综上,在轴上存在定点,使为常数.‎ 点石成金:‎ ‎ ‎ 例9、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),交椭圆于A、B两个不同点。‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)求m的取值范围;‎ ‎ (Ⅲ)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 思维流程:‎ 解:(1)设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 ‎(Ⅱ)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m 又KOM= ‎ 由 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点, ‎ ‎(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可 设 ‎ 则 由 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 点石成金:直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 例10、已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 ‎ (1)求双曲线的方程;‎ ‎ (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.‎ ‎ 思维流程:‎ 解:∵(1)原点到直线AB:的距离.‎ ‎ 故所求双曲线方程为 ‎ ‎(2)把中消去y,整理得 .‎ ‎ 设的中点是,则 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 故所求k=±.‎ 点石成金: C,D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;‎ 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎ (II)若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 思维流程:‎ 解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为,‎ ‎ 由已知得:,‎ ‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎ (II)设.‎ ‎ 联立 ‎ 得 ,则 ‎ ‎ ‎ 又.‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点,‎ ‎ ,即. .‎ ‎ . .‎ ‎ 解得:,且均满足.‎ ‎ 当时,的方程,直线过点,与已知矛盾;‎ ‎ 当时,的方程为,直线过定点.‎ ‎ 所以,直线过定点,定点坐标为.‎ 点石成金:以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;‎ 例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.‎ ‎(Ⅰ)若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.‎ 思维流程:‎ 解:(Ⅰ)(法一)由题意知,, ,‎ ‎, (1分)‎ 解得 . 由双曲线定义得: ‎ ‎, ‎ ‎ 所求双曲线的方程为: ‎ ‎ (法二) 因,由斜率之积为,可得解.‎ ‎(Ⅱ)设,‎ ‎ (法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,, ‎ 的最大值为2,无最小值. 此时,‎ 此时双曲线的渐进线方程为 ‎ ‎(法二)设,.‎ ‎(1)当时, , ‎ 此时 .‎ ‎(2)当,由余弦定理得:‎ ‎ ,‎ ‎,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)‎ 附:1.圆锥曲线的两个定义:‎ ‎(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。‎ 如 (1)已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A. B. C. ‎ ‎ D.(答:C);‎ ‎(2)方程表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)‎ ‎(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。‎ 如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)‎ ‎2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):‎ ‎(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。‎ 如(1)已知方程表示椭圆,则的取值范围为____(答:); ‎ ‎(2)若,且,则的最大值是____,的最小值是___(答:)‎ ‎(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:=1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。‎ 如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:); ‎ ‎(2)设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_______(答:)‎ ‎(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。‎ ‎3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):‎ ‎(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。‎ 如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)‎ ‎(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;‎ ‎(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。‎ 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。‎ ‎4.圆锥曲线的几何性质:‎ ‎(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线; ⑤离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。‎ 如(1)若椭圆的离心率,则的值是__(答:3或);‎ ‎(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:)‎ ‎(2)双曲线(以()为例):①范围:或;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:两条准线; ⑤离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:。‎ 如 (1)双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______(答:或); ‎ ‎(2)双曲线的离心率为,则= (答:4或); ‎ ‎ (3)设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答:); ‎ ‎(3)抛物线(以为例):①范围:;②焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线; ⑤离心率:,抛物线。‎ 如设,则抛物线的焦点坐标为________(答:);‎ ‎5、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外 ‎;(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内 ‎6.直线与圆锥曲线的位置关系:‎ ‎(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。‎ 如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(-,-1)); ‎ ‎(2)直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞)); ‎ ‎(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3);‎ ‎(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;‎ ‎(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。‎ 特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。‎ 如(1)过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有______(答:2); (2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答:); ‎ ‎(3)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直线有____条(答:3); ‎ ‎(4)对于抛物线C:,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:与抛物线C的位置关系是_______(答:相离); ‎ ‎(5)过抛物线的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则_______(答:1); ‎ ‎(6)设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于); ‎ ‎(7)求椭圆上的点到直线的最短距离(答:);‎ ‎(8)直线与双曲线交于、两点。①当为何值时,、分别在双曲线的两支上?②当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①;②);‎ ‎7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。‎ 如(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:);‎ ‎(2)已知抛物线方程为,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;‎ ‎(3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为_____(答:);‎ ‎(4)点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:);‎ ‎(5)抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为______(答:2);‎ ‎(6)椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_______(答:);‎ ‎8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中, ①=,且当即为短轴端点时,最大为=;②,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线的焦点三角形有:①;②。 如 (1)短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过 作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为________(答:6);‎ ‎(2)设P是等轴双曲线右支上一点,F1、F2是左右焦点,若,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:);‎ ‎(3)椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当·<0时,点P的横坐标的取值范围是 (答:);‎ ‎(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与等差中项,则=__________(答:);‎ ‎(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程(答:);‎ ‎9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。                              ‎ ‎10、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。‎ 如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); ‎ ‎(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);‎ ‎11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。‎ 如(1)如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答:);‎ ‎(2)已知直线y=-x+1与椭圆 相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:);‎ ‎(3)试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答:); ‎ 特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!‎ ‎12.你了解下列结论吗?‎ ‎(1)双曲线的渐近线方程为;‎ ‎(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。‎ 如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:)‎ ‎(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;‎ ‎(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为; ‎ ‎(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;‎ ‎(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;②‎ ‎(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点 ‎13.动点轨迹方程:‎ ‎(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;‎ ‎(2)求轨迹方程的常用方法:‎ ‎①直接法:直接利用条件建立之间的关系;‎ 如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:或);‎ ‎②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。‎ 如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答:); ‎ ‎③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;‎ 如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为 (答:);‎ ‎(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:);‎ ‎(3) 一动圆与两圆⊙M:和⊙N:都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);‎ ‎④代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;‎ 如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:);‎ ‎⑤参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。‎ 如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点,使,求点的轨迹。(答:);‎ ‎(2)若点在圆上运动,则点的轨迹方程是____(答:);‎ ‎(3)过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:);‎ 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。‎ 如已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足(1)设为点P的横坐标,证明;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2);(3)当时不存在;当时存在,此时∠F1MF2=2)‎ ‎②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.‎ ‎③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.‎ ‎④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.‎ ‎14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:‎ ‎(1) 给出直线的方向向量或;‎ ‎(2)给出与相交,等于已知过的中点;‎ ‎(3)给出,等于已知是的中点;‎ ‎(4)给出,等于已知与的中点三点共线;‎ ‎(5) 给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线.‎ ‎(6) 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即 ‎(7) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,‎ ‎(8)给出,等于已知是的平分线/‎ ‎(9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;‎ ‎(10) 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;‎ ‎(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);‎ ‎(12) 在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);‎ ‎(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);‎ ‎(14)在中,给出等于已知通过的内心;‎ ‎(15)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);‎