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- 2021-05-13 发布
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第十一讲 立体几何之空间距离
一、空间距离包括:
点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线)、线与面(线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。
二、空间距离的求法
重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离
(1) 线线距离:找公垂线段
(2) 点面距离
① 直接法(过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度)
② 等体积法(三棱锥)
③ 向量法:设平面的法向量为,P为平面外一点,Q是平面内任一点,则点P到平面的距离为d 等于在法向量上的投影绝对值。
三、例题讲解
1、下列命题中:
①所在的平面,则P、B间的距离等于P到BC的距离;
②若 则a与b的距离等于a 与的距离;
③直线a、b是异面直线,则a、b之间的距离等于b与的距离
④直线a、b是异面直线,则a、b之间的距离等于间的距离
其中正确的命题个数有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、如图所示,正方形的棱长为1,C、D为两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是____________。
解析:取AB、CD中点P、Q,易证中,PQ边长的高MH为所求,
3、在底面是正方形的四棱锥A-BCDE中,且AE=CD=a, G、H是BE、ED的中点,则GH到面ABD的距离是____________。
解析:连结EC,交BD于O,且交GH于,则有平面。
过E作于K,则所求距离等于
4、如图,在棱长为a的正方体中,E、F分别为棱AB和BC的中点,G为上底面的中心,则点D到平面的距离___________。
解:方法1:建立如图直角坐标系,
则
设平面的法向量为
取, 则
可取
又 到平面的距离
方法2:等体积法
设D到平面的距离为h
是等腰三角形,取EF中点H,连结
可得
即D到平面的距离为。
5、如图所示,将等腰直角三角形ABC沿斜边AB上的高CD为棱折成一个的二面角,使B到的位置,已知AB=2,求
(1)顶点C到平面的距离
(2)顶点A到平面的距离
(3)CD和的之间的距离
分析:有关立体几何中的翻折问题,主要判断翻折前后各种量的变化与否。
解析:(1)由已知得, 即在翻折前后它们的位置关系不变,
,则C点到平面的距离就是CD的长,为等腰三角形,AB=2,
(2)如图所示,过A作于E,连结CE
故AE的长为A点到平面的距离
为平面ACD与平面所成二面角的平面角
即
(3)如图二,平面中,过D作,交AB于F点
为异面直线CD和的距离
由得
6、(06海淀模拟)如图所示,在直三棱柱中
D、E分别为棱中点
(1) 求点B到平面的距离
(2) 求二面角的大小
(3) 在线段AC上是否存在一点F,使?若存在,确定其位置并证明结论,若不存在,说明理由。
解析:(1)为直三棱柱
长度即为B点到平面的距离
点B到平面的距离为2。
(2)是直三棱柱
D、E分别为棱中点
建立如图直角坐标系
设平面的法向量为
平面的法向量为
即二面角的大小为。
(3)在线段AC上存在一点F,设使得
欲使由(2)知当且仅当
存在唯一一点满足条件 即点F为AC的中点
7、(06年福建)如图所示,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,
CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。
(1) 求证:
(2) 求异面直线AB与CD所成角的大小
(3) 求点E到平面ACD的距离
解析:方法1
(1)连结OC
在中,由已知可得而AC=2
(2)取AC中点M,连结OM,ME,OE,由于E为BC的中点知
ME//AB,OE//DC
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中,
是直角三角形AOC斜边AC上的中线
异面直线AB与CD所成角的大小为。
(3)设点E到平面ACD的距离为h
在中,
而
点E到平面ACD的距离为。
方法2:(1)同方法1
(2)以O为原点,如图四所示建立空间直角坐标系,
则
异面直线AB与CD所成角的大小为。
(3)设平面ACD的法向量
则
令 得是平面ACD是一个法向量
又
点E到平面ACD的距离为。