2017年度高考数学（理）二模试题（上海市四区） 10页

上海市杨浦、静安、宝山、青浦（四区）‎ ‎2014届高三下学期质量调研（二模）‎ 数学（理）试题 一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1.二阶行列式的值是 . （其中为虚数单位） ‎ ‎2. 已知是方向分别与轴和轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量的模等于 . ‎ ‎3．二项式的展开式中含项的系数值为_______________.‎ ‎4.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)‎ ‎5.已知集合，，则 .‎ 理6文7.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . ‎ 理7文8.已知，则的最小值为_____________.‎ 理8文10. 已知首项的无穷等比数列的各项和等于4，则这个数列的公比是 ．‎ 结束 开始 输出 否 是 ‎ 第10题图 ‎9．（理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．则的参数方程为 .‎ ‎10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 . ‎ ‎ ‎ ‎11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．‎ ‎12．（理）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列 的变号数.已知数列的前项和，（），则数列的变号数为 . ‎ ‎13.（理）已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）‎ ‎14．（理）正方形和内接于同一个直角三角形中，如图所示，设，若，，则 .‎ A B C D E F S1‎ aF A B C P N F S2‎ aF M Q 二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15. （理）在实数集上定义运算：．若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围是…………………（ ）.‎ ‎ ‎ ‎16．“”是“函数的最小正周期为”的…………（ ）.‎ ‎ 充分必要条件 充分不必要条件 ‎ 必要不充分条件 既不充分又必要条件 ‎17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则:=………………………………………………………………（ ）.‎ ‎ 1:1 2:1 3:2 4:1‎ ‎18.（理）函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是…………………………………………（ ）.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ ‎（理）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.‎ ‎(1) 求证：平面； ‎ ‎（2）若以为坐标原点，射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得是平面的法向量，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 D ‎ A ‎ C ‎ B ‎ ‎ ‎ ‎ (第20题图) ‎ ‎ ‎ 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧、弧以及两条线段和围成的封闭图形．花坛设计周长为‎30米，其中大圆弧所在圆的半径为‎10米．设小圆弧所在圆的半径为米（），圆心角为弧度．‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，当为何值时，取得最大值？‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分 ‎（理）已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为,且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围．‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 ‎（理）设函数，.‎ ‎（1） 解方程：；‎ ‎（2）令，，求证：‎ ‎（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 ‎（理）设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有．记． ‎ ‎（1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，证明：；‎ ‎（3）若数列的首项，，是公差为1的等差数列．记，，问：使成立的最小正整数是否存在？并说明理由．‎ 参考答案及评分标准 2014.04‎ 说明 ‎1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．‎ ‎2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．‎ ‎3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．‎ ‎4．给分或扣分均以1分为单位．‎ 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ 理1．2； 2．‎ ‎3．35； 4．‎ ‎5．；6． ‎ ‎7. ； 8．‎ ‎9． （为参数）；10. ‎ ‎11．‎ ‎12．3．‎ ‎13.‎ ‎14．‎ ‎3．35； 4．‎ ‎5．；6．‎ ‎7. ； 8．‎ ‎9．； 10. ‎ ‎11. ； 12．‎ ‎13．当时，；‎ 当时，舍去．‎ ‎14.‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15．D；16．B；17．C；18．理D；‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .‎ ‎19．（理）. (1) 证明方法一：四边形是平行四边形，平面，又，，‎ 平面.‎ 方法二：证得是平面的一个法向量，平面.‎ ‎ (2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面一个法向量为，‎ 又平面法向量为，所以 ‎ 所求二面角的余弦值为. ‎ ‎20．(1)设扇环的圆心角为q，则，‎ 所以，‎ ‎ (2) 花坛的面积为 ‎．‎ 装饰总费用为，‎ 所以花坛的面积与装饰总费用的比，‎ 令，则，当且仅当t=18时取等号，‎ 此时．‎ 答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．‎ ‎21．理（1）依题意不妨设，，则，.‎ 由，得. ‎ 又因为，‎ 解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）依题意直线的方程为. ‎ 由得.‎ 设，，则，.‎ 所以弦的中点为 ‎.‎ 所以 ‎.‎ 直线的方程为，‎ 由，得，则，‎ 所以. ‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ 所以.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎22．理（1），， ‎ ‎（2），．‎ 因为，‎ 所以，，‎ ‎．‎ ‎=．‎ ‎（3）因为是实数集上的奇函数，所以.‎ ‎，在实数集上单调递增.‎ 由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，‎ 又因为在实数集上单调递增，所以 即对任意的都成立，‎ 即对任意的都成立，.‎ ‎23．理（1），‎ ‎；‎ ‎（2）根据反证法排除和 证明：假设，又，所以或 ‎①当时，与矛盾，所以；‎ ‎②当时，即，即，又，所以与矛盾； ‎ 由①②可知．‎ ‎（3）首先是公差为1的等差数列，‎ 证明如下：‎ 时，‎ 所以，‎ 即 由题设又 即是等差数列．又的首项，所以，，对此式两边乘以2，得 两式相减得 ‎，即，当时，，即存在最小正整数5使得成立．‎ 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明．‎