高考极坐标与参数方程题型总结 7页

‎（一）极坐标中的运算 ‎1．在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎2．【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎3．（2016年全国I高考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.‎ ‎（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：⑴ （均为参数）‎ ‎∴ ①‎ ‎∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ‎∵‎ ‎∴ 即为的极坐标方程 ⑵ ‎ 两边同乘得 即 ②‎ ‎：化为普通方程为 由题意：和的公共方程所在直线即为 ‎①—②得：，即为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎4：已知圆C的圆心C的极坐标为‎(2,π)‎，半径为‎3‎，过极点O的直线L与圆C交于A,B两点，OA与AB同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为α （1） 求圆C的极坐标方程；‎ （2） 当α=‎‎135‎‎°‎时，求A,B两点的极坐标以及弦AB的长 ‎5：在直角坐标系xoy中，曲线C‎1‎的参数方程为x=4-‎2‎‎2‎ty=‎2‎‎2‎t（为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C‎2‎的极坐标方程为ρ=2‎cosθ （1） 求曲线C‎1‎的极坐标方程和C‎2‎的参数方程；‎ （2） 若射线θ=θ‎°‎(ρ>0)‎与曲线C‎1‎‎,‎C‎2‎分别交于M,N且‎|ON|=μOM，求实数μ的最大值.‎ ‎（二）.参数方程中任意点（或动点）‎ 例：曲线C‎1‎:x=-4+costy=3+sint(t为参数)，C‎2‎：x=8cosθy=3sinθ(θ为参数)‎ ‎（1）.化C‎1‎，C‎2‎为直角坐标系方程，并说明表示什么曲线。‎ ‎(2).若C‎1‎上的点P对应的参数为t=‎π‎2‎,Q为C‎2‎上的动点，求PQ中点M到直线C‎3‎x=3+2ty=-2+t(t为参数)距离最小值。‎ 例：在极坐标中，射线L:θ=‎π‎6‎与圆c:ρ=2‎交于A点，椭圆D的方程为ρ‎2‎‎=‎‎3‎‎1+2sin‎2‎θ，以极点为原点，极轴为x正半轴建立平面直角坐标系xoy （1） 求点A的直角坐标和椭圆D的参数方程；‎ （2） 若E为椭圆D的下顶点，F为椭圆D上任意一点，求AE‎.‎AF的取值范围。‎ 例：在直角坐标系中，圆C‎1‎x‎2‎‎+y‎2‎=1‎经过伸缩变换x‎'‎‎=3xy‎'‎‎=2y后得到曲线C‎2‎以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L的极坐标方程为cosθ+2sinθ=‎‎10‎ρ .‎ （1） 求曲线C‎2‎的直角坐标方程及直线L的直角坐标方程；‎ （2） 设点M是C‎2‎上一动点，求点M到直线L的距离的最小值.‎ 例（2016年全国III高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 三．直线与曲线相交问题 例（2016年全国II高考）在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ 解：⑴整理圆的方程得，‎ ‎ 由可知圆的极坐标方程为．‎ ‎ ⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，‎ ‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知：，‎ ‎ 即，整理得，则．‎ 例（2015）湖南已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ （1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ （2） 设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.‎ 例：在平面直角坐标系xoy中，曲线C‎1‎的参数方程为x=‎cosαy=‎sinα，(α为参数，且αϵ‎0，π））‎以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，.曲线C‎2‎的极坐标方程 四．求点坐标，图形面积，轨迹方程等的计算。‎ 例：（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C‎1‎的参数方程为 x=2cosαy=2+2sinα (α 为参数 ) M为C‎1‎上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线C‎2‎．‎ ‎（I）求C‎2‎的方程；‎ ‎（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=‎π‎3‎与C‎1‎的异于极点的交点为A，与C‎2‎的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ 解：‎ ‎（I）设P(x，y)，则由条件知M‎（x‎2‎,‎y‎2‎）由于M点在C‎1‎上，所以x‎2‎‎=2cosαy‎2‎‎=2+2sinα ‎ 从而的参数方程为 ‎ （为参数）‎ ‎ （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．‎ 射线与的交点的极径为，‎ ‎ 射线与的交点的极径为．‎ ‎ 所以.‎ 例：在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数为x=a+acosβy=asinβ‎(a>0)‎，以O为极点x，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线L的极坐标方程ρcosθ-‎π‎3‎)=‎‎3‎‎2‎ .‎ (1) 若曲线C与L只有一个公共点，求a的值；‎ (2) A,B为曲线C上的两点且∠AOB=π‎3‎，求△OAB的面积最大值.‎ 习题训练：‎ ‎1.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ‎2‎‎-2‎2‎ρsin⁡(θ-‎π‎4‎)-2=0曲线的极坐标方程为θ=π‎4‎ (ρ∈R)‎,‎ ‎C‎1‎与C‎2‎相交于A,B两点.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P为C‎1‎上的动点，求PA‎2‎+PB‎2‎的取值范围.‎ ‎2. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程x=4-‎2‎‎2‎ty=‎2‎‎2‎t (为参数）曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ ‎(1) 求的极坐标方程和C‎2‎的参数方程;‎ ‎(2)若射线θ=θ‎0 ‎ （ρ>0）‎与曲线C‎1‎‎，‎C‎2‎分别交于M,N且ON‎=λOM，求实数λ的最大值.‎ ‎3. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C和直线L的极坐标方程分别为ρ=4‎‎2‎cos(θ-‎π‎4‎)，‎ρ‎3‎cosθ-sinθ=2 .‎ ‎(1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）直线L与曲线C交于A,B两点，点P（‎3‎‎，1‎）求‎1‎PA‎2‎‎+‎‎1‎PB‎2‎的值.‎ ‎4. 在极坐标系中，已知曲线C：ρcosθ+‎π‎4‎=1‎,过极点O作射线与曲线C交于Q，在射线OQ上取一点P，使OP‎∙OQ=‎‎2‎ ‎（1）求点P的轨迹C‎1‎的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，若直线L：y=‎-‎3‎x与（1）的曲线C‎1‎相交于E（异于点O）,与曲线C‎2‎‎:x=‎1‎‎2‎-‎2‎‎2‎ty=‎2‎‎2‎t(为参数）‎相交于点F，求EF的值.‎ ‎5. 在直角坐标系中，曲线的参数方程x=1+‎2‎cosθy=2+‎2‎sinθ (θ为参数）‎若M是曲线C‎1‎上的一点，点P是曲线C‎2‎上任意一点，且满足OP‎=3‎OQ .‎ ‎（1）求曲线C‎2‎的直角坐标方程；‎ ‎(2) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线L:ρsinθ-ρcosθ-7=0‎，在直线L上两动点E,F满足EF‎=4‎‎2‎，试求△MEF面积的最大值.‎ ‎6．在直角坐标系中，曲线L的参数方程x=-‎3‎‎2‎ty=1+‎1‎‎2‎t (为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程ρ=‎36‎‎4‎3‎sinθ-12cosθ-ρ定点M‎6，0‎，点N是曲线C‎1‎上的动点，Q为MN的中点；‎ ‎（1）求点Q的轨迹C‎2‎的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线L与x轴的交点为P，与曲线C‎2‎的交点为A,B若AB的中点为D，求PD的长.‎ ‎7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C‎1‎的极坐标方程为ρ‎2‎-‎2‎2‎ρsin⁡(θ-‎π‎4‎)-2=0, 曲线C‎2‎的极坐标方程为θ=π‎4‎ρ∈R,C‎1‎与C‎2‎的交点为A,B.‎ ‎(1) 将曲线C‎1‎‎,C‎2‎极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A,B的直角坐标；‎ ‎（2）若P为C‎1‎上的动点，求PA‎2‎‎+‎PB‎2‎的取值范围.‎