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- 2021-05-13 发布
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2014年上海市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题(共14题,满分56分)
1.(4分)(2014•上海)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是 .
考点:
二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
由二倍角的余弦公式化简,可得其周期.
解答:
解:y=1﹣2cos2(2x)
=﹣[2cos2(2x)﹣1]
=﹣cos4x,
∴函数的最小正周期为T==
故答案为:
点评:
本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题.
2.(4分)(2014•上海)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•= 6 .
考点:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.
解答:
解:复数z=1+2i,其中i是虚数单位,
则(z+)•=
=(1+2i)(1﹣2i)+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6.
故答案为:6
点评:
本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查.
3.(4分)(2014•上海)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 x=﹣2 .
考点:
椭圆的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
由题设中的条件y2=2px(p>0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性质求出它的准线方程
解答:
解:由题意椭圆+=1,故它的右焦点坐标是(2,0),
又y2=2px(p>0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,
故得p=4,
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.
故答案为:x=﹣2
点评:
本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题.
4.(4分)(2014•上海)设f(x)=,若f(2)=4,则a的取值范围为 (﹣∞,2] .
考点:
分段函数的应用;真题集萃.菁优网版权所有
专题:
分类讨论;函数的性质及应用.
分析:
可对a进行讨论,当a>2时,当a=2时,当a<2时,将a代入相对应的函数解析式,从而求出a的范围.
解答:
解:当a>2时,f(2)=2≠4,不合题意;
当a=2时,f(2)=22=4,符合题意;
当a<2时,f(2)=22=4,符合题意;
∴a≤2,
故答案为:(﹣∞,2].
点评:
本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想,本题是一道基础题.
5.(4分)(2014•上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 2 .
考点:
基本不等式.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
由已知可得y=,代入要求的式子,由基本不等式可得.
解答:
解:∵xy=1,
∴y=
∴x2+2y2=x2+≥2=2,
当且仅当x2=,即x=±时取等号,
故答案为:2
点评:
本题考查基本不等式,属基础题.
6.(4分)(2014•上海)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 arccos (结果用反三角函数值表示).
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,在轴截面中,求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角.
解答:
解:设圆锥母线与轴所成角为θ,
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,
∴==3,
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,
故圆锥的轴截面如下图所示:
则cosθ==,
∴θ=arccos,
故答案为:arccos
点评:
本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键.
7.(4分)(2014•上海)已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ﹣4sinθ)=1,则C与极轴的交点到极点的距离是 .
考点:
简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有
专题:
计算题;坐标系和参数方程.
分析:
由题意,θ=0,可得C与极轴的交点到极点的距离.
解答:
解:由题意,θ=0,可得ρ(3cos0﹣4sin0)=1,
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=.
故答案为:.
点评:
正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.
8.(4分)(2014•上海)设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=(a3+a4+…an),则q= .
考点:
极限及其运算.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由已知条件推导出a1=,由此能求出q的值.
解答:
解:∵无穷等比数列{an}的公比为q,
a1=(a3+a4+…an)
=(﹣a1﹣a1q)
=,
∴q2+q﹣1=0,
解得q=或q=(舍).
故答案为:.
点评:
本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用.
9.(4分)(2014•上海)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是 (0,1) .
考点:
指、对数不等式的解法;其他不等式的解法.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
直接利用已知条件转化不等式求解即可.
解答:
解:f(x)=﹣,若满足f(x)<0,
即<,
∴,
∵y=是增函数,
∴的解集为:(0,1).
故答案为:(0,1).
点评:
本题考查指数不等式的解法,函数的单调性的应用,考查计算能力.
10.(4分)(2014•上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示).
考点:
古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况,
再求选择的3天恰好为连续3天的情况,即可得到答案.
解答:
解:在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况,
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种,分别是(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),
(5,6,7),(6,7,8),(7,8,9),(8,9,10),
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,
故答案为:.
点评:
本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题.
11.(4分)(2014•上海)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b= ﹣1 .
考点:
集合的相等.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论.
解答:
解:根据集合相等的条件可知,若{a,b}={a2,b2},
则 ①或 ②,
由①得,
∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,即a=1,b=1,此时集合{1,1}不满足条件.
若b=a2,a=b2,则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,
∵互异的复数a,b,
∴b﹣a≠0,即a+b=﹣1,
故答案为:﹣1.
点评:
本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论.
12.(4分)(2014•上海)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3= .
考点:
正弦函数的图象;两角和与差的正弦函数.菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
先利用两角和公式对函数解析式化简,画出函数y=2sin(x+)的图象,方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1,x2,x3最后相加即可.
解答:
解:sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+)=a,
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,
令sin(x+)=,x+=2kπ+,即x=2kπ,或x+=2kπ+,即x=2kπ+,
∴此时x1=0,x2=,x3=2π,
∴x1+x2+x3=0++2π=.
故答案为:
点评:
本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想,较为直观的解决问题.
13.(4分)(2014•上海)某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为 0.2 .
考点:
离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
设小白得5分的概率至少为x,则由题意知小白得4分的概率为1﹣x,由此能求出结果.
解答:
解:设小白得5分的概率至少为x,
则由题意知小白得1,2,3,4分的概率为1﹣x,
∵某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,
E(ξ)=4.2,
∴4(1﹣x)+5x=4.2,
解得x=0.2.
故答案为:0.2.
点评:
本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机变量的数学期望的合理运用.
14.(4分)(2014•上海)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为 [2,3] .
考点:
直线与圆的位置关系.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
通过曲线方程判断曲线特征,通过+=,说明A是PQ的中点,结合x的范围,求出m的范围即可.
解答:
解:曲线C:x=﹣,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且xP∈[﹣2,0],
对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,
说明A是PQ的中点,Q的横坐标x=6,
∴m=∈[2,3].
故答案为:[2,3].
点评:
本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转化思想.
二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分
15.(5分)(2014•上海)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的( )
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定.
解答:
解:当a=5,b=0时,满足a+b>4,但a>2且b>2不成立,即充分性不成立,
若a>2且b>2,则必有a+b>4,即必要性成立,
故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件,
故选:B.
点评:
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础.
16.(5分)(2014•上海)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…8)是上底面上其余的八个点,则•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
专题:
计算题;平面向量及应用.
分析:
建立空适当的间直角坐标系,利用坐标计算可得答案.
解答:
解:=,
则•=()=||2+,
∵,
∴•=||2=1,
∴•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1,
故选A.
点评:
本题考查向量的数量积运算,建立恰当的坐标系,运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段.
17.(5分)(2014•上海)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( )
A.
无论k,P1,P2如何,总是无解
B.
无论k,P1,P2如何,总有唯一解
C.
存在k,P1,P2,使之恰有两解
D.
存在k,P1,P2,使之有无穷多解
考点:
一次函数的性质与图象.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用;直线与圆.
分析:
判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出a1,b1,P2,a2,b2的关系,然后求解方程组的解即可.
解答:
解:P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,
∴k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
,
①×b2﹣②×b1得:(a1b2﹣a2b1)x=b2﹣b1,
即(a1﹣a2)x=b2﹣b1.
∴方程组有唯一解.
故选:B.
点评:
本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解额指数的应用.
18.(5分)(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )
A.
[﹣1,2]
B.
[﹣1,0]
C.
[1,2]
D.
[0,2]
考点:
分段函数的应用.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
当a<0时,显然f(0)不是f(x)的最小值,当a≥0时,解不等式:a2﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2,问题解决.
解答:
解;当a<0时,显然f(0)不是f(x)的最小值,
当a≥0时,f(0)=a2,
由题意得:a2≤x++a,
解不等式:a2﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2,
∴0≤a≤2,
故选:D.
点评:
本题考察了分段函数的问题,基本不等式的应用,渗透了分类讨论思想,是一道基础题.
三、解答题(共5题,满分72分)
19.(12分)(2014•上海)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
利用侧面展开图三点共线,判断△P1P2P3是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体的体积.
解答:
解:根据题意可得:P1,B,P2共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60°,
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°,
∴∠P1=60°,同理∠P2=∠P3=60°,
∴△P1P2P3是等边三角形,P﹣ABC是正四面体,
∴△P1P2P3的边长为4,
VP﹣ABC==
点评:
本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法.
20.(14分)(2014•上海)设常数a≥0,函数f(x)=.
(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x);
(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.
考点:
反函数;函数奇偶性的判断.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)根据反函数的定义,即可求出,
(2)利用分类讨论的思想,若为偶函数求出a的值,若为奇函数,求出a的值,问题得以解决.
解答:
解:(1)∵a=4,
∴
∴,
∴,
∴调换x,y的位置可得,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(﹣x)对任意x均成立,
∴=,整理可得a(2x﹣2﹣x)=0.
∵2x﹣2﹣x不恒为0,
∴a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;
若f(x)为奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x)对任意x均成立,
∴=﹣,整理可得a2﹣1=0,
∴a=±1,
∵a≥0,
∴a=1,
此时f(x)=,满足条件;
综上所述,a=0时,f(x)是偶函数,a=1时,f(x)是奇函数.
点评:
本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题.
21.(14分)(2014•上海)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.
(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).
考点:
解三角形的实际应用.菁优网版权所有
专题:
解三角形.
分析:
(1)设CD的长为x,利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.
(2)利用正弦定理,建立方程关系,即可得到结论.
解答:
解:(1)设CD的长为x米,则tanα=,tanβ=,
∵0,
∴tanα≥tan2β>0,
∴tan,
即=,
解得0≈28.28,
即CD的长至多为28.28米.
(2)设DB=a,DA=b,CD=m,
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°,
由正弦定理得,
即a=,
∴m=≈26.93,
答:CD的长为26.93米.
点评:
本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.
22.(16分)(2014•上海)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.
(1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔;
(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;
(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分隔线.
考点:
直线的一般式方程;真题集萃.菁优网版权所有
专题:
计算题;直线与圆.
分析:
(1)把A、B两点的坐标代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),再根据η<0,得出结论.
(2)联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 (1﹣4k2)x2
=1,根据此方程无解,可得1﹣4k2≤0,从而求得k的范围.
(3)设点M(x,y),与条件求得曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.由于y轴为x=0,显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0,由η=1×(﹣1)=﹣1<0,可得x=0是一条分隔线.
解答:
(1)证明:把点(1,2)、(﹣1,0)分别代入x+y﹣1 可得(1+2﹣1)(﹣1﹣1)=﹣4<0,
∴点(1,2)、(﹣1,0)被直线 x+y﹣1=0分隔.
(2)解:联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 (1﹣4k2)x2=1,根据题意,此方程无解,故有 1﹣4k2≤0,
∴k≤﹣,或 k≥.
曲线上有两个点(﹣1,0)和(1,0)被直线y=kx分隔.
(3)证明:设点M(x,y),则 •|x|=1,故曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.
y轴为x=0,显然与方程①联立无解.
又P1(1,2)、P2(﹣1,2)为E上的两个点,且代入x=0,有 η=1×(﹣1)=﹣1<0,
故x=0是一条分隔线.
若过原点的直线不是y轴,设为y=kx,代入[x2+(y﹣2)2]x2=1,可得[x2+(kx﹣2)2]x2=1,
令f(x)=[x2+(kx﹣2)2]x2﹣1,
∵f(0)f(2)<0,
∴f(x)=0有实数解,即y=kx与E有公共点,
∴y=kx不是E的分隔线.
∴通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分隔线.
点评:
本题主要考查新定义,直线的一般式方程,求点的轨迹方程,属于中档题.
23.(16分)(2014•上海)已知数列{an}满足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.
(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;
(2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范围.
(3)若a1,a2,…ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,…ak的公差.
考点:
等比数列的性质;数列的求和.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(1)依题意:,又将已知代入求出x的范围;
(2)先求出通项:,由求出
,对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn,得到关于q的不等式组,解不等式组求出q的范围.
(3)依题意得到关于k的不等式,得出k的最大值,并得出k取最大值时a1,a2,…ak的公差.
解答:
解:(1)依题意:,
∴;又
∴3≤x≤27,
综上可得:3≤x≤6
(2)由已知得,,,
∴,
当q=1时,Sn=n,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,成立.
当1<q≤3时,,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,
∴
不等式
∵q>1,故3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2>2qn﹣2>0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0,令n=1,
得q2﹣3q+2≤0,
解得1≤q≤2,又当1≤q≤2,q﹣3<0,
∴qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≤q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)≤0成立,
∴1<q≤2,
当时,
,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,
∴此不等式即,
3q﹣1>0,q﹣3<0,
3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2<2qn﹣2<0,
qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≥q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)>0
∴时,不等式恒成立,
上,q的取值范围为:.
(3)设a1,a2,…ak的公差为d.由,且a1=1,
得
即
当n=1时,﹣≤d≤2;
当n=2,3,…,k﹣1时,由,得d≥,
所以d≥,
所以1000=k,即k2﹣2000k+1000≤0,
得k≤1999
所以k的最大值为1999,k=1999时,a1,a2,…ak的公差为﹣.
点评:
本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法;考查不等式组的解法;找好分类讨论的起点是解决本题的关键,属于一道难题.