高考圆锥曲线经典性质 8页

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  • 2021-05-13 发布

高考圆锥曲线经典性质

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椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)‎ 椭 圆 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的外角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ 5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.‎ 6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 7. 椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.‎ 8. 椭圆(a>b>0)的焦半径公式:‎ ‎,( , ).‎ 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.‎ 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.‎ 11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,‎ 即。‎ 12. 若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 13. 若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的内角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)‎ 1. 若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是.‎ 2. 若在双曲线(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 3. 双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.‎ 4. 双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( , ‎ 当在右支上时,,.‎ 当在左支上时,,‎ 5. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.‎ 6. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.‎ 7. AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。‎ 8. 若在双曲线(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 9. 若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)‎ 椭 圆 1. 椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过椭圆 (a>0, b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).‎ 3. 若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.‎ 4. 设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF‎1F2中,记 ‎, ,,则有.‎ 1. 若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 2. P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.‎ 3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ 4. 已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.‎ 5. 过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.‎ 6. 已知椭圆( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ 7. 设P点是椭圆( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .‎ 8. 设A、B是椭圆( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .‎ 9. 已知椭圆( a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 10. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 11. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 1. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ‎ ‎(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)‎ 2. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 3. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)‎ 双曲线 1. 双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过双曲线(a>0,b>o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).‎ 3. 若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则(或).‎ 4. 设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF‎1F2中,记, ,,则有.‎ 5. 若双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 6. P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.‎ 7. 双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条件是.‎ 8. 已知双曲线(b>a >0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.‎ ‎(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是.‎ 9. 过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交 x轴于P,则.‎ 1. 已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.‎ 2. 设P点是双曲线(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .‎ 3. 设A、B是双曲线(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,, ,,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .‎ 4. 已知双曲线(a>0,b>0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 5. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 6. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 7. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).‎ ‎(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).‎ 8. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 9. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.‎ 抛物线焦点弦性质总结30条 基础回顾 1. 以AB为直径的圆与准线相切;‎ 2. ‎;‎ 3. ‎;‎ 4. ‎;‎ 5. ‎;‎ 6. ‎;‎ 7. ‎;‎ 8. A、O、三点共线;‎ 9. B、O、三点共线;‎ 10. ‎;‎ 11. ‎(定值);‎ 12. ‎;;‎ 13. 垂直平分;‎ 14. 垂直平分;‎ 15. ‎;‎ 16. ‎;‎ 17. ‎;‎ 18. ‎;‎ 19. ‎;‎ 20. ‎;‎ 21. ‎.‎ 22. 切线方程 高考资源网www.ks5u.com 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处?‎ 结论1:交点在准线上 先猜后证:当弦轴时,则点P的坐标为在准线上.‎ 证明: 从略 结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.‎ ‎2、上述命题的逆命题是否成立?‎ 结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与x轴的交点作抛物线的切线,则过两切点AB的弦必过焦点.‎ 结论5过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.‎ ‎3、AB是抛物线(p>0)焦点弦,Q是AB的中点,l是抛物线的准线,,,过A,B的切线相交于P,PQ与抛物线交于点M.则有 结论6PA⊥PB.‎ 结论7PF⊥AB.‎ 结论8 M平分PQ.‎ 结论9 PA平分∠A1AB,PB平分∠B1BA.‎ 结论10‎ 结论11‎ 二)非焦点弦与切线 思考:当弦AB不过焦点,切线交于P点时,‎ 也有与上述结论类似结果:‎ 结论12 ①,‎ 结论13 PA平分∠A1AB,同理PB平分∠B1BA.‎ 结论14 ‎ 结论15 点M平分PQ 结论16 ‎ 相关考题 ‎1、已知抛物线的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点,且(>0),过A,B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,‎ ‎(1)证明:的值;‎ ‎(2)设的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值.‎ ‎2、已知抛物线C的方程为,焦点为F,准线为l,直线m交抛物线于两点A,B;‎ ‎(1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D,求证:;‎ ‎(2)若直线m过焦点F,分别过点A,B的两条切线相交于点M,求证:AM⊥BM,且点M在直线l上.‎ ‎3、对每个正整数n,是抛物线上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点, (1)试证:(n≥1)‎ ‎(2)取,并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点,求证:(n≥1)‎