高考圆锥曲线经典性质 8页

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）‎ 椭 圆 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的外角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ 5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.‎ 6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.‎ 8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：‎ ‎,( , ).‎ 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，‎ 即。‎ 12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的内角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）‎ 1. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.‎ 2. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 3. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.‎ 4. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ‎ 当在右支上时，,.‎ 当在左支上时，,‎ 5. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 6. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 7. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。‎ 8. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 9. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）‎ 椭 圆 1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.‎ 4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF‎1F2中，记 ‎, ,，则有.‎ 1. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 2. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.‎ 3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ 4. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.‎ 5. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ 6. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ 7. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ 8. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ 9. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 10. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 11. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 1. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ‎ ‎（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）‎ 2. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 3. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）‎ 双曲线 1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.‎ 4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF‎1F2中，记, ,，则有.‎ 5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.‎ 7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.‎ 8. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.‎ ‎（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.‎ 9. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交 x轴于P，则.‎ 1. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.‎ 2. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ 3. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ 4. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 5. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 6. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 7. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).‎ ‎(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).‎ 8. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 9. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.‎ 抛物线焦点弦性质总结30条 基础回顾 1. 以AB为直径的圆与准线相切；‎ 2. ‎;‎ 3. ‎;‎ 4. ‎;‎ 5. ‎;‎ 6. ‎;‎ 7. ‎;‎ 8. A、O、三点共线；‎ 9. B、O、三点共线；‎ 10. ‎；‎ 11. ‎（定值）；‎ 12. ‎；；‎ 13. 垂直平分；‎ 14. 垂直平分；‎ 15. ‎；‎ 16. ‎；‎ 17. ‎；‎ 18. ‎；‎ 19. ‎;‎ 20. ‎;‎ 21. ‎.‎ 22. 切线方程 高考资源网www.ks5u.com 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？‎ 结论1：交点在准线上 先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．‎ 证明: 从略 结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．‎ ‎2、上述命题的逆命题是否成立？‎ 结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．‎ 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．‎ ‎3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有 结论6PA⊥PB．‎ 结论7PF⊥AB．‎ 结论8 M平分PQ．‎ 结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．‎ 结论10‎ 结论11‎ 二)非焦点弦与切线 思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，‎ 也有与上述结论类似结果：‎ 结论12 ①，‎ 结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．‎ 结论14 ‎ 结论15 点M平分PQ 结论16 ‎ 相关考题 ‎1、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，‎ ‎（1）证明：的值；‎ ‎（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．‎ ‎2、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；‎ ‎（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：；‎ ‎（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．‎ ‎3、对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点， （1）试证：（n≥1）‎ ‎（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）‎