高考数学121变化率与导数导数的计算 4页

一、选择题 ‎1．函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝(　　)‎ A．－　B. C. D．e2‎ 解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f ′(x0)＝＝＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝.‎ 答案：B ‎2．阅读下图所示的程序框图，其中f ′(x)是f(x)的导数．已知输入f(x)＝sinx，运行相应的程序，输出的结果是(　　)‎ A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 解析：f1(x)＝(sinx)′＝cosx，‎ f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，‎ f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，‎ f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，‎ f5(x)＝(sinx)′＝cosx，它以4为周期进行变换，‎ 故f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.‎ 答案：D ‎3．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)‎ A．[0，) B．[，)‎ C．(，] D．[，π)‎ 解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝ ‎，因为ex＞0，所以由基本不等式得k≥，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π.‎ 答案：D ‎4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵s(t)＝t2＋，∴s′(t)＝2t－，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝.‎ 答案：D ‎5．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋x2，则f ′(1)＝(　　)‎ A．－1 B．－2 C．1 D．2‎ 解析：f ′(x)＝2f ′(1)＋2x，令x＝1，得f ′(1)＝－2，选B.‎ 答案：B ‎6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2011的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：f ′(x)＝2x＋b，由f ′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.‎ 于是＝＝＝－，‎ S2011＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7．函数y＝sinx＋cosx在x＝π处的切线方程是________________．‎ 解析：∵当x＝π时，y＝sinπ＋cosπ＝－1，‎ ‎∴切点为(π，－1)．‎ ‎∵y′＝cosx－sinx，∴k＝cosπ－sinπ＝－1，‎ 根据点斜式可得此切线的方程为：y＋1＝－1×(x－π)，即y＝－x＋π－1.‎ 答案：y＝－x＋π－1‎ ‎8．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于x轴的切线，则实数a的取值范围是__________．‎ 解析：依题意得f ′(x)＝3ax2＋＝0，(x＞0)有实根，‎ ‎∴a＝－＜0.‎ 答案：(－∞，0)‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．‎ 解析：设P(x0，y0)(x0＜0)．由题意知y′|＝3x－10＝2，‎ ‎∴x＝4.‎ ‎∴x0＝－2(x0＝2舍去)．‎ ‎∴y0＝15.‎ ‎∴点P的坐标为(－2,15)．‎ 答案：(－2,15)‎ 三、解答题 ‎10．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1①‎ y1＝－x＋x1－4②‎ ‎①代入②得x＋x1＋4＝0.‎ ‎∵P为切点，∴Δ＝2－16＝0，‎ 得k＝或k＝.‎ 当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.‎ 当k＝时，x1＝2，y1＝1.‎ ‎∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.‎ ‎(2)由(1)得P点坐标为(2,1)，‎ ‎∴过P点的切线的垂线为y＝－2x＋5.‎ 由，得或(舍)．‎ ‎∴点Q的坐标为.‎ ‎11．(2013·绍兴调研)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.‎ 解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，‎ 所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.‎ 因为t≠0，所以a＝－t2.‎ g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.‎ 又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，‎ 所以f′(t)＝g′(t)．‎ 而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.‎ 将a＝－t2代入上式得b＝t.‎ 因此c＝ab＝－t3.‎ 故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.‎ ‎12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ 解析：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.‎ 又f′(x)＝a＋，‎ 于是解得 故f(x)＝x－.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，‎ 由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(1＋)(x－x0)，‎ 即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．‎ 令x＝0得y＝－，‎ 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．‎ 令y＝x得y＝x＝2x0，‎ 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.‎