高考文科数学大题专项练五解析几何A 7页

五　解析几何(A) 1.(2018·黄陵高三期中)已知 M 为圆 C:x 2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,点 Q 的坐标为 (-2,3). (1)若 P(a,a+1)在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (2)求|MQ|的最大值和最小值; (3)设 M(m,n),求 的最大值和最小值. 2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,A 点坐标为(- ,0),P 为椭 圆 C 上不同于 A,B 的任意一点,且满足 kAP·kBP=- . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 为椭圆 C 的右焦点,直线 PF 与椭圆 C 的另一交点为 Q,PQ 的中点为 M,若|OM|=|QM|, 求直线 PF 的斜率 k. 3.(2013·广东卷)已知抛物线 C 顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离 为 ,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 4.(2018·红桥区一模)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A,B 两点,且|AB|=2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上的一个动点,且点 P 在 y 轴的右侧.直线 PA,PB 与直线 x=4 分别交于 M,N 两点.若以 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点 E,F,求点 P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值. 1.解:(1)由点 P(a,a+1)在圆 C 上,可得 a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以 a=4,即 P(4,5). 所以|PQ|= =2 ,kPQ= = . (2)由 x2+y2-4x-14y+45=0 可得(x-2)2+(y-7)2=8, 所以圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 . 可得|QC|= =4 , 因此|MQ|max=|QC|+r=4 +2 =6 , |MQ|min=|QC|-r=4 -2 =2 . (3)分析可知, 表示直线 MQ 的斜率. 设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0,则 =k. 由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 ≤2 ,可得 2- ≤k≤2+ , 所以 的最大值为 2+ ,最小值为 2- . 2.解:(1)设 P(x,y)(x≠± ), 所以 kAP·kBP=- ,所以 · =- , 整理得 +y2=1(x≠± ), 但 A,B 两点在椭圆上, 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. (2)由题可知,斜率一定存在且 k≠0, 设过焦点 F 的直线方程为 x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), M(x0,y0), 联立 则(m2+2)y2+2my-1=0, 所以 所以 所以|OM|= , 而|QM|= |PQ| = · = · = · , 因为|OM|=|QM|, 所以 = · , 所以 m2= ,所以 k2=2,所以 k=± . 因此,直线 PF 的斜率为± . 3.解:(1)因为抛物线 C 的焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 , 所以 = , 得 c=1, 所以 F(0,1),即抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2=4y 得 y′= x, 所以切线 PA:y-y1= x1(x-x1), 有 y= x1x- +y1, 而 =4y1, 即切线 PA:y= x1x-y1, 同理可得切线 PB:y= x2x-y2. 因为两切线均过定点 P(x0,y0), 所以 y0= x1x0-y1,y0= x2x0-y2, 由此两式知点 A,B 均在直线 y0= xx0-y 上, 所以直线 AB 的方程为 y0= xx0-y, 即 y= x0x-y0. (3)设点 P 的坐标为(x′,y′), 由 x′-y′-2=0, 得 x′=y′+2, 则|AF|·|BF|= · = · = · =(y1+1)·(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1. 由 得 y2+(2y′-x′2)y+y′2=0, 有 y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2, 所以|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1 =y′2+(y′+2)2-2y′+1 =2(y′+ )2+ , 当 y′=- ,x′= 时, 即 P( ,- )时,|AF|·|BF|取得最小值 . 4.解:(1)由题意可得,2b=2,即 b=1, e= = ,得 = , 解得 a2=4, 椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. (2)法一　设 P(x0,y0)(00,解得 x0∈( ,2]. 则|x1-x2|=2 ( 0,解得 x0∈( ,2]. 该圆的直径为 -1-[ +1] = 2- , 圆心到 x 轴的距离为 -1+[ +1] = , 该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 =2 (