创新方案高考数学一轮复习第九篇解析几何直线与圆锥曲线的位置关系理新人教版 7页

直线与圆锥曲线的位置关系 考向一　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)．‎ A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4]‎ 解析　由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1.答案　C ‎【训练1】 若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)．‎ A．至多为1 B．‎2 C．1 D．0‎ 解析　由题意知：＞2，即＜2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案　B 考向二　弦长及中点弦问题 ‎【例2】►若直线l与椭圆C：＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．‎ ‎[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．‎ 解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)当AB⊥x轴时，|AB|＝；‎ ‎(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知，得＝，即m2＝(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋‎3m2‎－3＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)·＝ ‎＝＝3＋.‎ 当k≠0时，上式＝3＋≤3＋＝4，‎ 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．此时|AB|＝2；当k＝0时，|AB|＝，综上所述|AB|max＝2.‎ ‎∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值Smax＝×|AB|max×＝.‎ ‎【训练2】 椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．‎ 解　法一　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝koc＝，‎ 代入上式可得b＝a.再由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，‎ 其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故2－4·＝4，‎ 将b＝a代入得a＝，∴b＝.∴所求椭圆的方程是＋＝1.‎ 考向三　圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题 ‎【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．‎ ‎(1)求过点O、F，并且与直线l：x＝－2相切的圆的方程；‎ ‎(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．‎ 解　(1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)，∵圆过点O，F，∴圆心M在直线x＝－上．‎ 设M，则圆半径r＝＝，‎ 由|OM|＝r，得 ＝，解得t＝±，‎ ‎∴所求圆的方程为2＋(y±)2＝.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，‎ 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.‎ ‎∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，‎ ‎∴方程有两个不等实根．‎ 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，‎ ‎∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．‎ 令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋，‎ ‎∵k≠0，∴－＜xG＜0，∴点G横坐标的取值范围为.‎ ‎【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，＝4.‎ ‎(1)求抛物线G的方程；‎ ‎(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．‎ 解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，‎ ‎∴ 又∵＝4，∴y2＝4y1，③‎ 由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，‎ 得抛物线G的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，‎ 由得x2－4kx－16k＝0，④‎ ‎∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.‎ ‎∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，‎ ‎∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，‎ 对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．‎ 考向四　定值(定点)问题 ‎【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A(－1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎(1)当|CD|＝时，求直线l的方程．‎ ‎(2)当点P异于A、B两点时，求证：O·O为定值．‎ ‎ (1)解　因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由已知得b＝1，c＝1，所以a＝，椭圆方程为＋x2＝1.‎ 直线l垂直于x轴时与题意不符．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得 ‎(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，‎ ‎|CD|＝·＝.‎ 由已知得＝，解得k＝±.‎ 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.‎ ‎(2)证明　直线l与x轴垂直时与题意不符．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，‎ 所以P点坐标为.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1·x2＝－，‎ 直线AC的方程为y＝(x＋1)，‎ 直线BD的方程为y＝(x－1)，‎ 将两直线方程联立，消去y得＝.‎ 因为－1＜x1，x2＜1，所以与异号．‎ 2＝ ‎＝·＝＝＝2.‎ 又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝＝－·，‎ ‎∴与y1y2异号，与同号，∴＝，解得x＝－k.‎ 因此Q点坐标为(－k，y0)．O·O＝·＝1.故O·O为定值．‎ ‎【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1.如图所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)．‎ ‎(1)求m2＋k2的最小值；‎ ‎(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，求证：直线l过定点．‎ ‎(1)解　设直线l的方程为y＝kx＋t(k＞0)，由题意，t＞0.‎ 由方程组得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k2＋1＞t2.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝.‎ 由于E为线段AB的中点，因此xE＝－，yE＝，‎ 此时kOE＝＝－.所以OE所在直线方程为y＝－x，又由题设知D(－3，m)，令x＝－3，得m＝，即mk＝1，所以m2＋k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，‎ 此时由Δ＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2＋k2取最小值2.‎ ‎(2)证明　由(1)知OD所在直线的方程为y＝－x，‎ 将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，‎ 解得G.又E，D，‎ 由距离公式及t＞0得|OG|2＝2＋2＝，‎ ‎|OD|＝ ＝，‎ ‎|OE|＝ ＝，‎ 由|OG|2＝|OD|·|OE|得t＝k，‎ 因此直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ 所以直线l恒过定点(－1,0)．‎ ‎【示例】►如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.‎ ‎(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；‎ ‎(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ ‎ [解答示范] (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：＋＝1，C2：＋＝1，(a＞b＞0)．‎ 设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，‎ 求得A(t，)，B.‎ 当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝.‎ ‎ (2)t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即＝， 解得t＝－＝－·a.‎ 因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以＜1，解得＜e＜1.(10分)‎ 所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；‎ 当＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.(12分)‎ ‎【试一试】 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎[尝试解答]　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：‎ －x＝1(x＞0)．‎ 化简得y2＝4x(x＞0)．‎ ‎(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，‎ Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①‎ 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)．‎ ·＜0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②‎ 又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2‎ ‎]＋1＜0，③‎ 由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2，④‎ 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.‎ 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．‎