高考湖南理科数学试题及答案word解析版 7页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2014年湖南，理1，5分】满足（为虚数单位）的复数（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，故选B．‎ ‎（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即，故选D．‎ ‎（3）【2014年湖南，理3，5分】已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）‎ ‎（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别令和可得且，则 ‎，故选C．‎ ‎（4）【2014年湖南，理4，5分】的展开式中的系数是（ ）‎ ‎（A）-20 （B）-5 （C）5 （D）20‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】第项展开式为，则时，，故选A．‎ ‎（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题：若，则；命题：若，则．在命题①；②；③；④中，真命题是（ ）‎ ‎ （A）①③ （B）①④ （C）②③ （D）②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时,两边乘以可得，所以命题为真命题,当时,因为，所以命题为假命题，所以②③为真命题，故选C．‎ ‎（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出 的属于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时,运行程序如下，，当时， ‎ ‎，则，故选D．‎ ‎（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打 磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径，‎ 则，故选B．‎ ‎（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】设两年的平均增长率为,则有，故选D．‎ ‎（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发，且，则函数的图象的一条对称轴是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】解法一：‎ 函数的对称轴为，‎ 因为，‎ 所以或，则是其中一条对称轴，故选A．‎ 解法二：‎ 由定积分的几何性质与三角函数图象可知是函数的一个对称中心，所以，所以，故选A．‎ ‎（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得函数的图像上存在点关于轴对称的点在函数的图像上，从而有，即．‎ 问题等价于函数在存在零点．‎ 解法一：‎ ‎，在单调递增，当时，，要使在存在零点，则，从而，故选B．‎ ‎ 解法二：‎ 问题等价于函数与的图象在有交点,在同 ‎ 一坐标系中作出这两个函数的图象，当的图象在左右平移的过程 ‎ 中，即可，即，故选B．‎ 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分．‎ ‎（11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线 ‎ ‎（为参数）交于两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标 ‎ 系，则直线的极坐标方程是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线的普通方程为,设直线的方程为，因为弦长，所以圆心 到直线的距离，所以圆心在直线上，故．‎ ‎（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知是的两条弦，，则 的半径等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设线段交于点延长交圆与另外一点，则，由三角形的勾股定理可得，由双割线定理可得，则直径．‎ ‎（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于的不等式的解集为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得．‎ ‎（二）必做题（14~16题）‎ ‎（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量满足约束条件，且的最小值为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出约束条件中三条直线的交点为，且的可行域 ‎ 如图,所以，则当为最优解时，，当为最优解时，，因为，所以．‎ ‎（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得，则．‎ ‎（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，为原点，，‎ 动点满足，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】动点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，可设的坐标为，‎ 则．‎ ‎，其中，‎ 当时，的取到最大值．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现 安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．‎ ‎（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ ‎（2）若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100‎ 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．‎ 解：记甲组研发新产品成功，乙组研发新产品成功．由题意知，‎ 且与，与，与，与都相互独立．‎ ‎（1）记至少有一种新产品研发成功，则，于是，‎ 故所求的概率为．‎ ‎（2）设企业可获利润为，则的可能取值为0,100,120,220．因，‎ ‎ ‎ 故所求的分布列为 ‎0‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎220‎ 数学期望为：．‎ ‎（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形中，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ 解：（1）在中，由余弦定理，得：，故由题设知，． ‎ ‎（2）设，则，因为，，‎ 所以, ，‎ 于是 在中，由正弦定理，，故． ‎ ‎（19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱的所有棱长都相等,，四边形和四边形为矩形．‎ ‎（1）证明:底面；‎ 图a ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ 解：（1）如图（a），因为四边形为矩形，所以，同理．‎ 因为，所以，而，因此平面，‎ 由题设知，故平面． ‎ ‎（2）解法一：‎ 如图（a），过作于，连接．由（1）知，平面， ‎ 所以平面，于是，又四棱柱的所有棱长都相 等，所以是菱形，因此，从而平面，所以， ‎ 于是平面，进而，所以为二面角的平面角，不妨设， ‎ 因为，所以，‎ 在中，易知,又．于是，‎ 图b 故．即二面角的余弦值为．‎ 解法二：‎ 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以是菱形，因此 ‎，又平面，从而两两垂直．如图（b），以 所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， ‎ 不妨设，因为，所以．‎ 于是相关各点的坐标为，易知，是平面 ‎ 平面的一个法向量．设是平面的一个法向量，‎ 则，即，取，则，‎ 所以．设二面角的大小为，易知是锐角，于是 ‎．二面角的余弦值为．‎ ‎（20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列满足．‎ ‎（1）若数列是递增数列，且成等差数列，求的值；‎ ‎（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式．‎ 解：（1）因为数列是递增数列，，而，因此，‎ 又成等差数列，所以，因而得．解得．‎ 当时，，这与是递增数列矛盾，故．‎ ‎（2）是递增数列，因而，于是 ① 但，‎ 所以 ② 由①，②知，，因此 ③‎ 因为是递减数列，同理可得，故 ④‎ 由③，④知，，于是 ‎．数列的通项公式为．‎ ‎（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于 两点时，求四边形面积的最小值．‎ 解：（1）因为，所以，即，因此，从而， ‎ ‎，所以，，椭圆方程为，双曲线的方程为．‎ ‎（2）因为直线不垂直于轴且过点，故课设直线的方程为．由 得．易知此方程的判别式大于0．设，则是上述方程的 两个实根，所以，因此，的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即．‎ 由，得，，‎ 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以 因为点在直线的异侧，所以，‎ 于是，从而 又因为，所以 四边形面积 而，故当时，取得最小值2．四边形面积的最小值为2．‎ ‎（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数，函数．‎ ‎（1）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．‎ 解：（1），（*）因为，‎ 所以当时，当时，，此时，函数在单调递增，当时, （舍去），当时，；当时，．‎ 故在区间单调递减，在单调递增的．‎ 综上所述：当时,，此时，函数在单调递增，当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的．‎ ‎（2）由（*）式知，当时，函数不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，又的极值点只可能是和，且由的定义可知，且，所以，，解得，此时，（*）式知，分别是的极小值点和极大值点，而 ‎．‎ ‎ 令，由且知当时，；‎ 当时，．记．‎ ‎ （ⅰ）当时，，所以，‎ 因此，在上单调递减，从而，故当时，．‎ ‎ （ⅱ）当时，，所以，因此，在上单调递减，‎ 从而，故当时，．‎ ‎ 综上所述，满足条件的的取值范围是为．‎