陕西高考数学理科试题及答案word 19页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）‎ 理科数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 试题分析：，，所以，故选A．‎ 考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．‎ ‎【分析及点评】 本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。‎ ‎2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师 的人数为（ ）‎ A．167 B．137 C．123 D．93‎ ‎【答案】B 考点：扇形图．‎ ‎【分析及点评】 本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。‎ ‎3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数 可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C 试题分析：由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．‎ 考点：三角函数的图象与性质．‎ ‎【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。‎ ‎4.二项式的展开式中的系数为15，则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C 考点：二项式定理．‎ ‎【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．‎ 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．‎ ‎【分析及点评】 三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 试题分析：因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．‎ 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．‎ ‎【分析及点评】 本题主要将三角函数与命题进行了简单结合，一方面要求学生三角恒等变化要特别熟悉，另一方面对命题的各种类型都要熟悉。但是，题目设置不算复杂，与往年基本相同。‎ ‎7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B 考点：1、向量的模；2、向量的数量积．‎ ‎【分析及点评】作为数学中很重要的一中工具，向量几乎每年必考，但是基本分布在两个位置，选填和圆锥曲线，但是选择题中一般难度都不会太大，以基础考核为主。‎ ‎8.根据右边的图，当输入x为2006时，输出的（ ）‎ A．28 B．10 C．4 D．2‎ ‎【答案】B ‎]‎ 试题分析：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的，故选B．‎ 考点：程序框图．‎ ‎【分析及点评】框图问题是高考中一个热点问题，尤其是循环结构，‎ 要求学生有良好的逻辑分析能力，此题难度不大，主要还是以基础为主。‎ ‎9.设，若，，，则下列关系 式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．‎ ‎【分析及点评】本题主要考察了函数单调性的应用以及基本不等式。要求学生一方面数学函数单调性以及不等关系的转化，另一方面对基本不等式的基本结构以及成立条件都要熟悉。‎ ‎10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料 的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎【答案】D 试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润 由题意可列，其表示如图阴影部分区域：‎ 当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．‎ 考点：线性规划．‎ ‎【分析及点评】本题主要考察线性规划及其应用，一方面对线性问题转化要求较高，另一方面对函数，尤其是变量关系的表示有较高要求。对文科生而言，难度较大。‎ ‎11.设复数，若，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 试题分析：‎ 如图可求得，，阴影面积等于 若，则的概率是，故选B．‎ ‎【分析及点评】本题主要将复数问题和几何概型进行了融合，并且对两者都有较高要求，较之往年，题目较为新颖。 ‎ 考点：1、复数的模；2、几何概型．‎ ‎12.对二次函数（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有 一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）‎ A．-1是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D. 点在曲线上 ‎【答案】A 考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析及点评】本题属于函数综合问题，要求学生对函数及其应用有较高的要求，极点、零点作为很多学生常常混淆的概念，在同一问题中出现，要求学生一方面对基本概念必须熟悉，另一方面对常见的零点和极点的判断方法有一定的了解。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．‎ 考点：等差中项．‎ ‎【分析及点评】本题主要考察了等差数列，对等差数列的相关性质有较高要求。‎ ‎14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p= ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．‎ ‎【分析及点评】本题将抛物线和双曲线进行综合，一方面要求学生对两者概念务必熟练，对参数及其以及也能很好掌握，但是在本题中，两者的融合方式较为简单，属于基础简单题型。‎ ‎15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则p的坐标 为 ．‎ ‎【答案】‎ 试题分析：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．‎ 考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．‎ ‎【分析及点评】本题主要考察了导数以及导数的几何意义，导数法求切线是高考重点内容，也是难点所在，要求较高，但此题以基础考核为主。‎ ‎16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表 示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．‎ ‎【答案】‎ 试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：．‎ 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．‎ ‎【分析及点评】本题主要考察了定积分的应用，对函数、导数、定积分等都有较高要求，尤其是应用定积分求面积，难度较大。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量 与平行．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．[来源:学科网ZXXK]‎ 试题解析：（I）因为，所以，‎ 由正弦定理，得 又，从而，‎ 由于，所以 ‎(II)解法一：由余弦定理，得 而 得，即 因为，所以.‎ 故ABC的面积为.‎ 考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.‎ ‎【分析及点评】本题主要考察了学生解三角形的能力，并渗透着三角恒等变换以及函数性质的理解，较之往年，难度不算大，属于基础题型。‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，‎ ‎，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．‎ ‎ ‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）．‎ 试题解析：（I）在图1中，‎ 因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE平面 又CDBE，所以CD平面.‎ ‎[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC 所以为二面角的平面角，所以.‎ 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，‎ 因为, ‎ 所以 得 ，.‎ 设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，‎ 则，得，取，‎ ‎，得，取，‎ 从而，‎ 即平面与平面夹角的余弦值为.‎ 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.‎ ‎【分析及点评】立体几何一直都是高考重点内容，几乎每年必考，但都是作为基础题型考核，主要考察学生垂直、平行的判定和性质以及线段和角度的计算，需要应用空间向量作为基本工具，对立体几何的基本概念和性质证明已经向量运算都有较高要求。‎ ‎19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，‎ 对其容量为的样本进行统计，结果如下：[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎（分钟）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35[来源:学科网ZXXK]‎ ‎40‎ 频数（次）‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎（I）求的分布列与数学期望；‎ ‎（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．‎ ‎【答案】（I）分布列见解析，；（II）．‎ 试题分析：（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟”，再算出的概率．‎ 试题解析：（I）由统计结果可得T的频率分步为 ‎（分钟）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ 频率 ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 以频率估计概率得T的分布列为 ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎40‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 从而 （分钟）‎ ‎(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.‎ 解法一：‎ ‎.‎ 解法二：‎ 故.‎ 考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.‎ ‎【分析及点评】概率统计是每年学生必考题型，但难度设置不大，今年也不例外，此题第一问求解分布列和数学期望，难度设置不大，属于基础题型；第二问主要求解概率，对学生要求较高，尤其是掌握一些基本解题思路：如“正难则反”解决起来会事半功倍。‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点 ‎，的直线的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 试题分析：（I）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．‎ 试题解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，‎ 则原点O到直线的距离，‎ 由，得，解得离心率.‎ ‎(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为. (1)‎ 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.‎ 易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得 设则 由，得解得.‎ 从而.‎ 于是.‎ 由，得，解得.‎ 故椭圆E的方程为.‎ 解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)‎ 依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.‎ 设则，，‎ 两式相减并结合得.‎ 易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率 因此AB直线方程为，代入(2)得 所以，.‎ 于是.‎ 由，得，解得.‎ 故椭圆E的方程为.‎ 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.‎ ‎【分析及点评】本题题型较之往年几乎没有改变，第一问，求解曲线离心率，属于基础题型，稍微有点圆锥曲线基础的学生应该都能完成；第二问求解曲线方程，较之往年变换较大，无论从难度和出题角度都会对学生造成较大干扰。‎ ‎21．（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，‎ ‎．‎ ‎（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；‎ ‎（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较 与的大小，并加以证明．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）当时， ，当时，，证明见解析．‎ 试题分析：（I）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小．‎ 试题解析：（I）则 所以在内至少存在一个零点.‎ 又，故在内单调递增，‎ 所以在内有且仅有一个零点.‎ 因为是的零点，所以，即，故.‎ ‎(II)解法一：由题设，‎ 设 当时, ‎ 当时, ‎ 若,‎ 若,‎ 所以在上递增，在上递减，‎ 所以，即.‎ 综上所述，当时, ；当时 解法二 由题设，‎ 当时, ‎ 当时, 用数学归纳法可以证明.‎ 当时, 所以成立.‎ 假设时，不等式成立，即.‎ 那么，当时，‎ ‎.‎ 又 令，则 所以当,,在上递减；‎ 当,,在上递增.‎ 所以，从而 故.即，不等式也成立.‎ 所以，对于一切的整数，都有.‎ 解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，‎ 所以,‎ 令 当时, ,所以.‎ 当时, ‎ 而，所以，.‎ 若, ,,‎ 当,,,‎ 从而在上递减,在上递增.所以，‎ 所以当又,，故 综上所述，当时, ；当时 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析及点评】本题题型较之往年有所改变，第一问求解导数，难度不大。第二问将函数、导数、数列进行综合，有些新意。对学生函数的综合能力和数列的性质以及不等式都有很高的要求。难度很大。‎ 请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，，求的直径．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先证，再证，进而可证 ‎；（II）先由（I）知平分，进而可得的值，再利用切割线定理可得的值，进而可得的直径．‎ 试题解析：（I）因为DE为圆O的直径，则，‎ 又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.‎ 又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.‎ ‎（II）由（I）知BD平分CBA，则,又，从而，‎ 所以，所以.‎ 由切割线定理得，即=6，‎ 故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.‎ 考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.‎ ‎【分析及点评】圆的相关证明是学生喜欢做的题型，但是也是出错率极高的题型。一方面有初中的基础，很多学生简单圆的问题比较亲切。另一方面由于初中基础限制以及高中的新变化，很多学生不能将前后很好的结合。‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的直角坐标方程；‎ ‎（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 试题分析：（I）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（II）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标．‎ 试题解析：（I）由，‎ 从而有.‎ ‎(II)设,则，‎ 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.‎ 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.‎ ‎【分析及点评】参数方程以及极坐标方程一直以来是极力推荐学生认真完成的题目，题型方面与平时练习变换不到，只要掌握一些基本转化关系以及解题思路，并不难做出来。‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（I）求实数，的值；‎ ‎（II）求的最大值．‎ ‎【答案】（I），；（II）．‎ 试题分析：（I）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（II）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．‎ 试题解析：（I）由，得 则解得,‎ ‎（II）‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故.‎ 考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.‎ ‎【分析及点评】本题主要考察了学生对不等式的理解，以及解不等式的能力，难度不算太大，但是由于很多学生对柯西不等式理解并不到位，所以第二问会对学生造成很大干扰。‎