高考数学一轮达标试卷八圆锥曲线 6页

‎2010届高考数学一轮达标精品试卷(八)‎ 第8单元　圆锥曲线 ‎(时量:120分钟　150分)‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为 A．2 B．‎3 ‎ 　C． D． ‎2．已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是 A．　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎3．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为 A． B． C． D． ‎4．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为 ‎ A．10 B．‎9 C．8 D．6‎ ‎5．已知动点P（x，y）满足，则P点的轨迹是 A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎6．过抛物线y2＝ － x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x＝上的射影分别M，N，则∠MFN等于 ‎ A．45° B．60° C．90° D．以上都不对 ‎7．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，则k的取值范围是 ‎ 　A．(－，) B．(0，)‎ C．(－，0) D．(－，－1)‎ ‎8．已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程是 ‎ A．5x＋6y－28＝0 B．5x－6y－28＝‎0 C．6x＋5y－28＝0 D．6x－5y－28＝0‎ ‎9．若动点P（x，y）与两定点M（－a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是 ‎ A．除M、N两点外的圆 B．除M、N两点外的椭圆 C．除M、N两点外的双曲线 D．除M、N两点外的抛物线 ‎10．点（x，y）在曲线上，则 的取值范围是 A．[－，] 　　　B．[－，0) C．[－，0] D．(－∞，]‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．‎ ‎11．双曲线的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为 ．‎ ‎12．双曲线 的两个焦点F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 ．‎ ‎13．已知F1、F2是椭圆的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围是 ．‎ ‎14．椭圆C1：在第一象限部分的一点P，以P点横坐标作为长轴长，纵坐标作为短轴长作椭圆C2，如果C2的离心率等于C1的离心率，则P点坐标为 ．‎ ‎15．设P是双曲线y2＝4(x－1)上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点C到焦点F的距离．‎ ‎17．（本小题满分12分）已知双曲线x2－3y2＝3的右焦点为F，右准线为l，以F为左焦点，以l为左准线的椭圆C的中心为A，又A点关于直线y＝2x的对称点A’恰好在双曲线的左准线上，求椭圆的方程．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．‎ ‎ （1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；‎ ‎（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所 得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ‎⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；‎ ‎⑵过点T(－1，0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x0，0)，使得△ABE是等边三角形，求x0的值．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤ ； ‎ ‎（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，‎ 若△PF2Q的面积是20 ，求此时椭圆的方程．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8．‎ ‎ （1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；‎ ‎ （2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（每小题5分，共50分）：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D C D B B C D D D C 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎11．60°12． 13． 14． 15．‎ 三、解答题（共80分）‎ ‎16．解：由已知，AB的方程为y＝x－5，将其代入 ‎，则 AB的中点C的坐标为，于是 ‎17．解：依题意，F（2，0），l： 设所求方程为 其中心为 ∵A与A’关于直线y＝2x对称，∴A’的坐标为 又A’在直线。‎ 于是所求方程为 ‎18．解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0），C（2， ），D（－2，3）．依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．‎ ‎ （2）设这样的弦存在，其方程 ‎ 得 设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），则由 ‎∴弦MN所在直线方程为验证得知，这时适合条件．‎ 故这样的直线存在，其方程为 ‎19．解（1）设点M的坐标为（x，y），则由 ‎ 所以y2＝4x 由点Q在x轴的正半轴上，得x>0，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．‎ ‎ （2）设直线l：y＝k(x＋1)，其中k≠0代入y2＝4x，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0 ①‎ 设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得 所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为 令 ，所以，点E的坐标为 。因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于 ‎ ‎ 所以，‎ ‎20．（1）易得 ‎（2）证：由椭圆定义得：‎ ‎（3）解：设直线PQ的方程为 ．代入椭圆方程消去x得：‎ ‎，整理得：‎ ‎∴‎ 因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为 ‎21．解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 ∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8 ∴点M的轨迹C为F1、F2为焦点的椭圆，其方程为 ‎（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时。‎ ‎∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，‎ ‎∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B(x2，y2)‎ 由 恒成立．‎ 且 ‎∵，∴四边形OAPB是平行四边形 若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即 ‎∵‎ 即 ‎∴存在直线使得四边形OAPB为矩形。‎