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- 2021-05-14 发布
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专题二十 不等式选讲
1.(15年福建理科)已知,函数的最小值为4.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由绝对值三角不等式得 的最小值为,故,即 ;(Ⅱ)利用柯西不等式求解.
试题解析:(Ⅰ)因为
当且仅当时,等号成立
又,所以,所以的最小值为,
所以.
(Ⅱ)由(1)知,由柯西不等式得
,
即.
当且仅当,即时,等号成立
所以的最小值为.
考点:1、绝对值三角不等式;2、柯西不等式.
2.(15年新课标2理科)设a,b,c,d均为正数,且a + b = c + d,证明:
(1)若ab > cd;则;
(2)是的充要条件。
3.(15年新课标2文科)设 均为正数,且.证明:
(I)若 ,则;
(II)是的充要条件.
【答案】
【解析】
试题分析:(I)由及,可证明,开方即得.(II)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.
试题解析:
解:(I)因为
考点:不等式证明.
4.(15年陕西理科)已知关于的不等式的解集为.
(I)求实数,的值;
(II)求的最大值.
【答案】(I),;(II).
【解析】
试题分析:(I)先由可得,再利用关于的不等式的解集为可得,的值;(II)先将变形为,再利用柯西不等式可得的最大值.
试题解析:(I)由,得
则解得,
(II)
当且仅当,即时等号成立,
故.
考点:1、绝对值不等式;2、柯西不等式.
5.(15年陕西文科)已知关于的不等式的解集为
(I)求实数的值;
(II)求的最大值.
【答案】(I) ;(II).
【解析】
试题分析:(I)由,得,由题意得,解得;
(II)柯西不等式得,当且仅当即时等号成立,故.
试题解析:(I)由,得
则,解得
(II)
当且仅当即时等号成立,
故
考点:1.绝对值不等式;2.柯西不等式.
6.(15年江苏)解不等式
【答案】
【解析】
试题分析:根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集,分别求解即可
试题解析:原不等式可化为或.
解得或.
综上,原不等式的解集是.
考点:含绝对值不等式的解法