2008高考天津数学理科试卷含详细解答全word版 13页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．‎ ‎ 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．是虚数单位，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5‎ ‎3．设函数，则是（ ）‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则到右准线的距离为（ ）‎ A．6 B．‎2 ‎ C． D．‎ ‎6．设集合，，，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎7．设函数的反函数为，则（ ）‎ A．在其定义域上是增函数且最大值为1‎ B．在其定义域上是减函数且最小值为0‎ C．在其定义域上是减函数且最大值为1‎ D．在其定义域上是增函数且最小值为0‎ ‎8．已知函数则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）‎ A．1344种 B．1248种 C．1056种 D．960种 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．‎ ‎2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．‎ ‎3．本卷共12小题，共100分．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．‎ ‎11．的二项展开式中的系数是 （用数字作答）．‎ ‎12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ．‎ B A C D ‎13．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．‎ ‎14．如图，在平行四边形中，，，‎ 则 ．‎ ‎15．已知数列中，，，则 ．‎ ‎16．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A B C D P 如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设，证明．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．‎ ‎11．40 12．24 13． 14．3‎ ‎15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是 ‎．‎ ‎．‎ 解法二：由题设得，即．‎ 又，从而，解得或．‎ 因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）解：因为，故．‎ ‎，．‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，‎ 由题意得 ‎，‎ 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，．‎ 可能的取值为0，1，2，3，故 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 的分布列为 的数学期望．‎ ‎19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．‎ A B C D P H E 在中，由余弦定理得 ‎．‎ 由（Ⅰ）知平面，平面，‎ 所以，因而，于是是直角三角形，‎ 故．‎ 所以异面直线与所成的角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．‎ 因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．‎ 由题设可得，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 于是在中，．‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．‎ 由切点在直线上可得，解得．‎ 所以函数的解析式为．‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ 当时，显然，这时在，内是增函数．‎ 当时，令，解得．‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在，内是增函数，在，内是减函数．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 ‎ 即 对任意的成立．‎ 从而得，所以满足条件的的取值范围是．‎ ‎21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得 ‎ 解得 所以双曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得 ‎．‎ 此方程有两个不等实根，于是，且 ‎．整理得 ‎． ③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线的方程为 ‎．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得 ‎．‎ 整理得 ‎，．‎ 将上式代入③式得，‎ 整理得 ‎，．‎ 解得或．‎ 所以的取值范围是．‎ ‎22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，‎ 进一步可得，，，，猜想 ‎，，．‎ 先证，．‎ 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，．‎ 由题设，‎ ‎， ①‎ ‎． ②‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．‎ 综上所述，等式对任何的都成立．‎ 再用数学归纳法证明，．‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，那么 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．‎ 解法二：由题设 ‎， ①‎ ‎． ②‎ ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，，所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得 ‎，‎ 由（Ⅰ）并化简得 ‎，．‎ 上式对，也成立．‎ 由题设有，所以，即 ‎，．‎ 令，则，即．由得，．所以 ‎．即 ‎，．‎ 解法三：由题设有，，所以 ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得 ‎，‎ 化简得 ‎，．‎ 由（Ⅰ），上式对，也成立．所以 ‎，．‎ 上式对也成立．‎ 以下同解法二，可得，．‎ ‎（Ⅲ）证明：‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 注意到，故 ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 所以，‎ 从而时，有 总之，当时有，即．‎