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  • 2021-05-14 发布

2008高考天津数学理科试卷含详细解答全word版

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‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理工类)‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第I卷1至2页,第II卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第I卷 注意事项:‎ ‎ 1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.‎ ‎ 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.‎ ‎ 3.本卷共10小题,每小题5分,共50分.‎ 参考公式:‎ ‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.是虚数单位,( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )‎ A.2 B.‎3 ‎ C.4 D.5‎ ‎3.设函数,则是( )‎ A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 ‎4.设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.设椭圆上一点到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则到右准线的距离为( )‎ A.6 B.‎2 ‎ C. D.‎ ‎6.设集合,,,则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C.或 D.或 ‎7.设函数的反函数为,则( )‎ A.在其定义域上是增函数且最大值为1‎ B.在其定义域上是减函数且最小值为0‎ C.在其定义域上是减函数且最大值为1‎ D.在其定义域上是增函数且最小值为0‎ ‎8.已知函数则不等式的解集是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上是增函数.令,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( )‎ A.1344种 B.1248种 C.1056种 D.960种 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理工类)‎ 第Ⅱ卷 注意事项:‎ ‎1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.‎ ‎2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.‎ ‎3.本卷共12小题,共100分.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.‎ ‎11.的二项展开式中的系数是 (用数字作答).‎ ‎12.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 .‎ B A C D ‎13.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称,直线与圆相交于两点,且,则圆的方程为 .‎ ‎14.如图,在平行四边形中,,,‎ 则 .‎ ‎15.已知数列中,,,则 .‎ ‎16.设,若仅有一个常数使得对于任意的,都有满足方程,这时的取值的集合为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求乙投球的命中率;‎ ‎(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ A B C D P 如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知,,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明平面;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线与所成的角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 在数列与中,,,数列的前项和满足,为与的等比中项,.‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列与的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)设,证明.‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理工类)参考解答 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.‎ ‎1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.‎ ‎11.40 12.24 13. 14.3‎ ‎15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解法一:因为,所以,于是 ‎.‎ ‎.‎ 解法二:由题设得,即.‎ 又,从而,解得或.‎ 因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)解:因为,故.‎ ‎,.‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎18.本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解:设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件,‎ 由题意得 ‎,‎ 解得或(舍去),所以乙投球的命中率为.‎ ‎(Ⅱ)解:由题设和(Ⅰ)知,,,.‎ 可能的取值为0,1,2,3,故 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 的分布列为 的数学期望.‎ ‎19.本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)证明:在中,由题设,,,可得,于是.在矩形中,,又,所以平面.‎ ‎(Ⅱ)解:由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角.‎ A B C D P H E 在中,由余弦定理得 ‎.‎ 由(Ⅰ)知平面,平面,‎ 所以,因而,于是是直角三角形,‎ 故.‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎(Ⅲ)解:过点作于,过点作于,连结.‎ 因为平面,平面,所以.又,因而平面,故为在平面内的射影.由三垂线定理可知,.从而是二面角的平面角.‎ 由题设可得,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 于是在中,.‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎20.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解:,由导数的几何意义得,于是.‎ 由切点在直线上可得,解得.‎ 所以函数的解析式为.‎ ‎(Ⅱ)解:.‎ 当时,显然,这时在,内是增函数.‎ 当时,令,解得.‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在,内是增函数,在,内是减函数.‎ ‎(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,在上的最大值为与中的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当 ‎ 即 对任意的成立.‎ 从而得,所以满足条件的的取值范围是.‎ ‎21.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:设双曲线的方程为,由题设得 ‎ 解得 所以双曲线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)解:设直线的方程为,点,的坐标满足方程组 将①式代入②式,得,整理得 ‎.‎ 此方程有两个不等实根,于是,且 ‎.整理得 ‎. ③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎,.‎ 从而线段的垂直平分线的方程为 ‎.‎ 此直线与轴,轴的交点坐标分别为,.由题设可得 ‎.‎ 整理得 ‎,.‎ 将上式代入③式得,‎ 整理得 ‎,.‎ 解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎22.本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:由题设有,,解得.由题设又有,,解得.‎ ‎(Ⅱ)解法一:由题设,,,及,,‎ 进一步可得,,,,猜想 ‎,,.‎ 先证,.‎ 当时,,等式成立.当时用数学归纳法证明如下:‎ ‎(1)当时,,等式成立.‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,.‎ 由题设,‎ ‎, ①‎ ‎. ②‎ ‎①的两边分别减去②的两边,整理得,从而 ‎.‎ 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的成立.‎ 综上所述,等式对任何的都成立.‎ 再用数学归纳法证明,.‎ ‎(1)当时,,等式成立.‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,那么 ‎.‎ 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的都成立.‎ 解法二:由题设 ‎, ①‎ ‎. ②‎ ‎①的两边分别减去②的两边,整理得,,所以 ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ ‎,.‎ 将以上各式左右两端分别相乘,得 ‎,‎ 由(Ⅰ)并化简得 ‎,.‎ 上式对,也成立.‎ 由题设有,所以,即 ‎,.‎ 令,则,即.由得,.所以 ‎.即 ‎,.‎ 解法三:由题设有,,所以 ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ ‎,.‎ 将以上各式左右两端分别相乘,得 ‎,‎ 化简得 ‎,.‎ 由(Ⅰ),上式对,也成立.所以 ‎,.‎ 上式对也成立.‎ 以下同解法二,可得,.‎ ‎(Ⅲ)证明:‎ ‎.‎ 当,时,‎ ‎.‎ 注意到,故 ‎.‎ 当,时,‎ ‎.‎ 当,时,‎ ‎.‎ 当,时,‎ ‎.‎ 所以,‎ 从而时,有 总之,当时有,即.‎