- 176.50 KB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
理科数学 平面向量
第一部分 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量
-b的和的
运算叫做
a与b的差
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
【基础练习】
- 6 -
理科数学 平面向量
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)零向量与任意向量平行.( )
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
(3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( )
(5)在△ABC中,D是BC中点,则=(+).( )
2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号是( )
A.① B.③ C.①③ D.①②
3.(2017·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点,=-+,若=λ(λ∈R),则λ=( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.
5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=______,=________(用a,b表示).
6.(2017·嘉兴七校联考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1=________,λ2=________.
考点一 平面向量的概念
【例1】 下列命题中,不正确的是________(填序号).
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c.
【训练1】 下列命题中,正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
- 6 -
理科数学 平面向量
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.
答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (2017·潍坊模拟)在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则=( )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b
【训练2】 (1)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个靠近B点的三等分点,那么等于( )
A.- B.+
C.+ D.-
考点三 共线向量定理及其应用
【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
【训练3】已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则( )
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
第二部分 平面向量基本定理与坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
- 6 -
理科数学 平面向量
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
【基础练习】
1.(2017·东阳月考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )
A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)
2.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
3.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.
4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.
考点一 平面向量基本定理及其应用
【例1】 (2014·全国Ⅰ卷)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A. B. C. D.
【训练1】如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=________.
考点二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=( )
A.(-23,-12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(-7,0)
【训练2】 (1)已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为( )
A.(7,4) B.(7,14)
C.(5,4) D.(5,14)
(2)(2015·江苏卷)已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.
- 6 -
理科数学 平面向量
考点三 平面向量共线的坐标表示
【例3】 (1)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=________.
(2)(必修4P101练习7改编)已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且|AP|=|BP|,则点P的坐标为________.
【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是( )
A. B. C. D.
(2)若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数a的值为________.
第三部分 平面向量的数量积及其应用
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,记=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos__θ 叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos__θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(3)数量积几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
(2)模:|a|==.
(3)夹角:cos θ==.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律:(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
【基础练习】
1.(2015·全国Ⅱ卷)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(2017·湖州模拟)已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是________.
- 6 -
理科数学 平面向量
3.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|=________.
5.(必修4P104例1改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.
6.(2017·瑞安一中检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2),|b|=1,且a+b与a-2b垂直,则向量a·b=________;a与b的夹角θ的余弦值为________.
【考点突破】
考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知)
【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·等于( )
A.20 B. 15 C.9 D.6
(2)(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )
A.- B. C. D.
【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点D为AC的中点,点E满足=,则·=________.
(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.
考点二 平面向量的夹角与垂直
【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________.
【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量=,=,则∠ABC=( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.
考点三 平面向量的模及其应用
【例3】 (2017·云南统一检测)已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|=( )
- 6 -
理科数学 平面向量
- 6 -