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- 2021-05-14 发布
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一、选择题
1．数列{an}的通项公式是关于x的不等式x2－x＜nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．n2 B．n(n＋1)
C. D．(n＋1)(n＋2)
解析：选C.x2－(n＋1)x<0，∴00.∴q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
二、填空题
6．如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2、A2A3分别是以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心，AA3为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln＝________(用弧度制表示即可)．
解析：依题意，螺旋线第一圈的长度为π(1＋2＋3)，第二圈的长度为π(4＋5＋6)，第三圈的长度为π(7＋8＋9)，…，依次类推，第n圈的长度为π[(3n－2)＋(3n－1)＋3n]，所以螺旋线的总长度：
ln＝π(1＋2＋3＋…＋3n)＝(3n2＋n)π.
答案：(3n2＋n)π
7．已知函数f(x)是周期为4的函数，当0≤x≤4时，f(x)＝|x－2|－1，若f(x)的图象与射线y＝(x≥0)的交点的横坐标由小到大依次组成数列{an}，则|a2－a1|＝__________；|an－an－1|＝__________.
解析：由题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝，
因为函数f(x)的周期为4，所以画出函数f(x)及射线y＝(x≥0)的图象如图所示，易知|a2－a1|＝3.
同理由图可知|an－an－1|＝3或|an－an－1|＝1.
答案：3 3或1
8．(2012·高考四川卷)记[x]为不超过实数x的最大整数．例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝(n∈N*)．现有下列命题：
①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；
③当n≥1时，xn＞－1；
④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，当a＝5时，x1＝5，x2＝＝3，
x3＝＝2，因此①正确．
对于②，注意到当a＝3时，x1＝3，x2＝2，x3＝1，x4＝2，x5＝1，x6＝2，x7＝1，…，
此时数列{xn}除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此此时不存在正整数k，使得当n≥k时总有xn＝xk，故②不正确．
对于③，因为xn∈N*，且x1＝a，x1－(－1)＝a－＋1＝2＋>0，即x1>－1，若xn＋是正奇数，则xn＋1＝>≥＝－1；
若xn＋是正偶数，则xn＋1＝>≥>－1.综上所述，xn>－1成立，因此③正确．
对于④，因为xk＋1－xk≥0，所以－xk≥0，
即－xk≥0，－xk≥－xk≥0，－xk≥0，
xk≤.又由③知xk>－1，于是有－10，
即xk＋1
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